Een manier om te vertegenwoordigen de Möbius strip ingebed in een drie-dimensionale Euclidische ruimte is door de parametrisatie:

x ( u , v ) = ( 1 + v 2 cos ⁡ u-2 ) cos ⁡ u {\displaystyle x(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u} y ( u , v ) = ( 1 + v 2 cos ⁡ u 2 ) de zonde ⁡ u {\displaystyle y(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u} z ( u , v ) = v 2 sin ⁡ u 2 {\displaystyle z(u,v)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}}} logboek ⁡ ( r ) sin ⁡ ( 1 2 θ ) = z cos ⁡ ( 1 2 θ ) ., {\displaystyle\log(r) \sin\left ({\tfrac {1}{2}} \theta\right)=z \cos\left ({\tfrac {1}{2}} \theta \ right).}

breedste isometrische inbedding in 3-spaceEdit

als een gladde möbiusstrip in drie – ruimte een rechthoekige is – dat wil zeggen, gemaakt door het identificeren van twee tegenover elkaar liggende zijden van een geometrische rechthoek met buigen maar niet strekken van het oppervlak-dan is een dergelijke inbedding mogelijk als de aspect ratio van de rechthoek groter is dan 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} , met de kortere zijden geïdentificeerd., (Voor een kleinere beeldverhouding is het niet bekend of een soepele inbedding mogelijk is. Aangezien de beeldverhouding afneemt naar 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}}, lijkt een dergelijke inbedding een vorm te benaderen die kan worden gezien als een strook van drie gelijkzijdige driehoeken, die over elkaar gevouwen wordt om een gelijkzijdige driehoek te bezetten.

als de möbiusstrook in drie-Ruimte echter maar één keer continu differentieerbaar is (klasse C1), dan laat de stelling van Nash-Kuiper zien dat er geen ondergrens bestaat.,

een methode om een Möbius-strook te maken van een rechthoekige strook die te breed is om gewoon te draaien en te verbinden (bijvoorbeeld een rechthoek met slechts één eenheid lang en één eenheid breed) is om eerst de brede richting heen en weer te vouwen met een even aantal vouwen—een “accordeonvouw”—zodat de gevouwen strook smal genoeg wordt om te worden gedraaid en verbonden, net zoals een enkele strook lang genoeg kan worden samengevoegd. Met twee vouwen, bijvoorbeeld, zou een 1 × 1 strook een 1 × folded gevouwen strook worden waarvan de doorsnede in de vorm van een ‘N’ is en zou een ‘N’ blijven na een halve draai., Deze gevouwen strook, drie keer zo lang als het breed is, zou lang genoeg zijn om vervolgens aan de uiteinden aan te sluiten. Deze methode werkt in principe, maar wordt onpraktisch na voldoende vouwen, als papier wordt gebruikt. Met Normaal papier kan deze constructie plat worden gevouwen, met alle lagen van het papier in een enkel vlak, maar wiskundig is het niet duidelijk of dit mogelijk is zonder het oppervlak van de rechthoek uit te rekken.,

TopologyEdit

De möbiusstrip is een tweedimensionale compacte variëteit (d.w.z. een oppervlak) met grens. Het is een standaard voorbeeld van een oppervlak dat niet richtbaar is. In feite is de möbiusstrook de belichaming van het topologische fenomeen van niet-oriënteerbaarheid., Dit komt omdat tweedimensionale vormen (oppervlakken) de laagstdimensionale vormen zijn waarvoor niet-oriënteerbaarheid mogelijk is en de möbiusstrook het enige oppervlak is dat topologisch een subruimte is van elk niet-oriënteerbaar oppervlak. Als gevolg daarvan is elk oppervlak niet oriënteerbaar dan en alleen als het een Möbiusband als subruimte bevat.

De möbiusstrip is ook een standaardvoorbeeld dat wordt gebruikt om het wiskundige concept van een vezelbundel te illustreren. In het bijzonder is het een niet-triviale bundel over de cirkel S1 met zijn vezel gelijk aan het eenheidsinterval, I = ., Kijkend alleen naar de rand van de möbiusstrook geeft een niet-triviale tweepuntsbundel (of Z2) over S1.

Computergraficsedit

een eenvoudige constructie van de möbiusstrip die kan worden gebruikt om deze in computergrafieken of modelleringspakketten af te beelden is:

• neem een rechthoekige strip. Draai het rond een vast punt dat niet in zijn vlak ligt. Draai bij elke stap ook de strook langs een lijn in het vlak (de lijn die de strook in tweeën deelt) en loodrecht op de hoofdbaanradius. Het oppervlak gegenereerd op een volledige revolutie is de Möbius strip.,
• neem een Möbius-strook en snijd deze langs het midden van de strook. Dit vormt een nieuwe strook, dat is een rechthoek verbonden door het draaien van een uiteinde een hele draai. Door het weer in het midden te snijden, vormt dit twee in elkaar grijpende hele-Draai strips.

geometrie van de open Möbius bandEdit

Deze meetkunde kan geconstrueerd worden als een oppervlak met een constante positieve, negatieve of nul (Gaussiaanse) kromming., In het geval van negatieve en nulkromming kan de Möbiusband worden geconstrueerd als een (geodesisch) compleet oppervlak, wat betekent dat alle geodesics (“rechte lijnen” op het oppervlak) onbeperkt kunnen worden verlengd in beide richtingen.

constante negatieve kromming: net als het vlak en de open cilinder, geeft de open Möbiusband niet alleen een volledige metriek van constante negatieve kromming 0 toe, maar ook een volledige metriek van constante negatieve kromming, zeg -1., Een manier om dit te zien is om te beginnen met het bovenste halfvlak (Poincaré) model van het hyperbolische vlak ℍ, namelijk ℍ = { (x, y )22 | y > 0} met de Riemann-metriek gegeven door (DX2 + DY2) / y2. De oriëntatie-bewarende isometrie van deze metriek zijn alle afbeeldingen f : ℍ → ℍ van de vorm f(z) := (az + b) / (cz + d), waar A, b, c, d reële getallen zijn die voldoen aan ad − bc = 1. Hier is z een complex getal met Im(z) > 0, en we hebben ℍ geïdentificeerd met {z ∈ ℂ | im(Z) > 0} begiftigd met de Riemann-metriek die werd genoemd., Dan wordt één oriëntatie-omkerende isometrie g van ℍ gegeven door g(z) := −z, waarbij z het complexe conjugaat van z aangeeft. deze feiten impliceren dat de afbeelding h : ℍ → given gegeven door h(z) := -2 z z een oriëntatie-omkerende isometrie van ℍ is die een oneindige cyclische groep G van isometrie genereert. (Het kan worden uitgedrukt als h(z) = (√2i z + 0) / (0z − I/√2), en het vierkant is de isometrie h(h(z)) := 4 z z, die kan worden uitgedrukt als (2z + 0) / (0z + 1⁄2).) Het quotiënt ℍ / G van de actie van deze groep kan gemakkelijk gezien worden als topologisch een Möbiusband., Maar het is ook gemakkelijk om te controleren of het compleet en niet-compact is, met een constante negatieve kromming gelijk aan -1.

de groep van isometrieën van deze Möbiusband is 1-dimensionaal en isomorf met de speciale orthogonale groep SO(2).

(constante) kromming nul:deze kan ook worden geconstrueerd als een volledig oppervlak, door te beginnen met het gedeelte van het vlak R2 dat is gedefinieerd door 0 ≤ y ≤ 1 en (x, 0) te identificeren met (−x, 1) voor alle x in R (de reële waarden). De resulterende metriek maakt de open Möbiusband tot een (geodetisch) compleet vlak oppervlak (dat wil zeggen dat de Gaussiaanse kromming overal gelijk is aan 0)., Dit is de enige metric op de Möbius band, tot uniforme schaal, die zowel plat als compleet is.

de groep van isometrieën van deze Möbiusband is 1-dimensionaal en isomorf met de orthogonale groep SO(2).

constante positieve kromming: een Möbiusband met constante positieve kromming kan niet volledig zijn, omdat bekend is dat de enige complete oppervlakken met constante positieve kromming de bol en het projectieve vlak zijn., Het projectieve vlak P2 van constante kromming +1 kan geconstrueerd worden als het quotiënt van de eenheidsbol S2 in R3 door de antipodale afbeelding A: S2 → S2, gedefinieerd door A(x, y, z) = (−x, −y, −z). De open Möbius-band is homeomorf met het eens doorboorde projectieve vlak, dat wil zeggen, P2 met elk punt verwijderd. Dit kan worden beschouwd als het dichtst dat een Möbiusband met constante positieve kromming een compleet oppervlak kan worden: slechts één punt verderop.

de groep van isometrie van deze Möbiusband is ook 1-dimensionaal en isomorf met de orthogonale groep O(2).,

de ruimte van niet-georiënteerde lijnen in het vlak is diffeomorf met de open Möbius-band. Om te zien waarom, laat L(θ) de lijn door de oorsprong aangeven onder een hoek θ tot de positieve x-as. Voor elke L (θ) is er de familie P(θ) van alle lijnen in het vlak die loodrecht staan op L(θ). Topologisch gezien is de familie p (θ) slechts een lijn (omdat elke lijn in P(θ) de lijn L(θ) in slechts één punt snijdt). Op deze manier vertegenwoordigt lijn L(θ) de waarde van een lijn van verschillende lijnen in het vlak, aangezien θ toeneemt in het bereik 0° ≤ θ < 180°., Maar wanneer θ 180° bereikt, is L(180°) identiek aan L(0), en dus zijn de families P(0°) en P (180°) van loodrechte lijnen ook identieke families. De lijn L (0°) is echter teruggekeerd naar zichzelf, aangezien L(180°) in de tegenovergestelde richting wees. Elke lijn in het vlak komt overeen met precies één lijn in een familie P(θ), Voor precies één θ, Voor 0° ≤ θ < 180°, en P(180°) is identiek aan P(0°) maar keert terug in de tegenovergestelde richting. Dit zorgt ervoor dat de ruimte van alle lijnen in het vlak – de Vereniging van alle L(θ) Voor 0° ≤ θ ≤ 180° – een open Möbiusband is.,

de groep van bijectieve lineaire transformaties GL(2, R) van het vlak op zichzelf (reële 2 × 2-matrices met niet-nuldeterminant) induceert op natuurlijke wijze bijjecties van de lijnenruimte in het vlak op zichzelf, die een groep zelf-homeomorfismen van de lijnenruimte vormen. Vandaar dat dezelfde groep een groep van zelf-homeomorfismen vormt van de Möbiusband zoals beschreven in de vorige paragraaf. Maar er is geen metriek op de lijnenruimte in het vlak die invariant is onder de werking van deze groep homeomorfismen. In deze zin heeft de ruimte van lijnen in het vlak geen natuurlijke metriek op.,

Dit betekent dat de Möbiusband een natuurlijke 4-dimensionale Lie-groep van zelf-homeomorfismen bezit, gegeven door GL(2, R), maar deze hoge mate van symmetrie kan niet worden weergegeven als de groep van isometrie van een metriek.

Möbiusband met ronde boundaryEdit

de rand of grens van een möbiusstrook is homeomorf (topologisch equivalent) met een cirkel. Onder de gebruikelijke inbeddingen van de strip in de Euclidische ruimte, zoals hierboven, is de grens geen echte cirkel., Het is echter mogelijk om een möbiusstrook in drie dimensies in te bedden, zodat de grens een perfecte cirkel is die in een bepaald vlak ligt. Zie bijvoorbeeld de figuren 307, 308 en 309 van “meetkunde en verbeelding”.

een veel meer geometrische inbedding begint met een minimale Klein-fles ondergedompeld in de 3-sfeer, zoals ontdekt door Blaine Lawson. We nemen dan de helft van deze klein fles om een Möbius band ingebed te krijgen in de 3-sfeer (de eenheidsbol in 4-ruimte)., Het resultaat wordt soms de “Soedanese Möbius Band” genoemd, waar “Soedanees” niet verwijst naar het land Soedan, maar naar de namen van twee topologen, Sue Goodman en Daniel Asimov. Het toepassen van stereografische projectie op de Soedanese band plaatst het in driedimensionale ruimte, zoals hieronder te zien is-een versie te danken aan George Francis is hier te vinden.

uit Lawson ‘ s minimale Klein-fles afleiden we een inbedding van de band in de 3-Sfeer S3, beschouwd als een deelverzameling van C2, die geometrisch gelijk is aan R4., We geven hoeken η, φ aan complexe getallen z1, z2 via

z 1 = sin η η E I φ {\displaystyle z_{1}=\sin \eta \,e^{i\varphi }} z 2 = cos η η e I φ / 2 . {\displaystyle z_{2}= \ cos \ eta \, e^{i \ varphi / 2}.}

om een inbedding van de möbiusstrip in R3 te verkrijgen, geeft men S3 aan R3 door middel van een stereografische projectie. Het projectiepunt kan elk punt op S3 zijn dat niet op de ingebedde möbiusstrook ligt (dit sluit alle gebruikelijke projectiepunten uit). Een mogelijke keuze is { 1 / 2,i / 2 } {\displaystyle \left\{1/{\sqrt {2}}, i/{\sqrt {2}}\right\}} ., Stereografische projecties brengen cirkels op cirkels in kaart en behouden de cirkelvormige grens van de strook. Het resultaat is een soepele inbedding van de Möbius strip in R3 met een cirkelvormige rand en geen zelf-kruisingen.

De Soedanese Möbiusband in de drie-bol S3 is geometrisch een vezelbundel over een grootcirkel, waarvan de vezels grote halve cirkels zijn. Het meest symmetrische beeld van een stereografische projectie van deze band in R3 wordt verkregen door gebruik te maken van een projectiepunt dat op die grootcirkel ligt die door het middelpunt van elke halve cirkel loopt., Elke keuze van zo ‘ n projectiepunt resulteert in een beeld dat congruent is aan elk ander. Maar omdat zo ‘ n projectiepunt op de Möbiusband zelf ligt, zijn twee aspecten van het beeld significant verschillend van het geval (hierboven geà llustreerd) waar het punt niet op de band ligt: 1) het beeld in R3 is niet de volledige Möbiusband, maar de band met één punt verwijderd (van de middellijn); en 2) het beeld is onbegrensd – en omdat het steeds verder van de oorsprong van R3 raakt, benadert het steeds meer een vlak., Toch heeft deze versie van het stereografische beeld een groep van 4 symmetrieën in R3 (het is isomorf met de Klein 4-groep), in vergelijking met de begrensde versie die hierboven is afgebeeld met zijn groep van symmetrieën de unieke groep van orde 2. (Als alle symmetrieën en niet alleen oriëntatie-bewarende isometrie van R3 zijn toegestaan, verdubbelt het aantal symmetrieën in elk geval.)

maar de meest geometrisch symmetrische versie van alles is de oorspronkelijke Soedanese Möbiusband in de drie-sfeer S3, waar de volledige groep van symmetrieën isomorf is met de Lie-groep O(2)., Met een oneindige kardinaliteit (die van het continuüm), is deze veel groter dan de symmetriegroep van elke mogelijke inbedding van de Möbiusband in R3.

Projectieve meetkundedit

met behulp van projectieve meetkunde kan een open Möbiusband worden beschreven als de verzameling oplossingen voor een veeltermvergelijking. Het toevoegen van een polynomiale ongelijkheid resulteert in een gesloten Möbius band. Deze relateren möbiusbanden aan de meetkunde van lijnbundels en de werking van het opblazen in de algebraïsche meetkunde.

= {(λ a, λ B): λ ∈ R ∖ { 0 } } ., {\displaystyle = \{(\lambda a,\lambda B):\lambda \in \mathbf {R} \setminus \{0\}\}.}

een realisatie van een open Möbiusband wordt gegeven door de verzameling

m = { ( ( x , y ) , ) ∈ R 2 × R P 1 : A x = B y } . {\displaystyle M=\{((x,y),)\in \mathbf {r} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=door\}.,} M = { ( ( x , y)) ∈ R 2 × R P 1 : A x = B, y , B ≠ 0 } = { ( x , y , m ) ∈ R 3 : m x = y } , {\displaystyle {\begin{aligned}M’&=\{((x,y))\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=Door,\ B\neq 0\}\\&=\{(x,y,m)\in \mathbf {R} ^{3}:mx=y\},\end{aligned}}}

waar is m komt overeen met de A / B {\displaystyle A/B} .

Er is een realisatie van de gesloten Möbiusband als een vergelijkbare verzameling, maar met een extra ongelijkheid om een grens te creëren:

n = { ( ( x , y ) , ) ∈ R 2 × R P 1 : A x = B y , x 2 + y 2 ≤ 1 } ., {\displaystyle N=\{((x,y),)\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=By,\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}.}