mobiele kennisgeving tonen alle notities verbergen alle notities

sectie 5-3: Dotproduct

soms wordt het dotproduct het scalaire product genoemd. Het dot product is ook een voorbeeld van een innerlijk product en zo hoort u het soms ook wel een innerlijk product.

Hier zijn enkele eigenschappen van het dot product.

Properties

De bewijzen van deze eigenschappen zijn meestal “computationele” bewijzen en dus gaan we slechts een paar van hen doen en de rest aan u overlaten om te bewijzen.,

bewijs van \(\vec u\centerdot \left( {\vec v + \vec w} \right) = \vec u\centerdot \vec v + \vec u\centerdot \vec w\)

bewijs van : als \(\vec v\centerdot \vec v = 0\) dan \(\vec v = \vec 0\)

we kunnen dan de volgende stelling hebben.

stelling

bewijs

De formule uit deze stelling wordt vaak gebruikt om een puntproduct te berekenen, maar in plaats daarvan om de hoek tussen twee vectoren te vinden., Merk ook op dat terwijl de schets van de twee vectoren in het bewijs voor tweedimensionale vectoren is, de stelling geldig is voor vectoren van elke dimensie (zolang ze natuurlijk dezelfde dimensie hebben).

laten we een voorbeeld hiervan bekijken.

het dotproduct geeft ons een zeer mooie methode om te bepalen of twee vectoren loodrecht staan en het geeft een andere methode om te bepalen of twee vectoren parallel zijn. Merk ook op dat we vaak de term orthogonaal gebruiken in plaats van loodrecht.

nu, als twee vectoren orthogonaal zijn dan weten we dat de hoek tussen hen 90 graden is., Uit \(\eqref{eq:eq2}\) vertelt dit ons dat als twee vectoren orthogonaal zijn dan,

\

hetzelfde, als twee vectoren parallel zijn dan is de hoek tussen hen ofwel 0 graden (wijzend in dezelfde richting) of 180 graden (wijzend in de tegenovergestelde richting). Nogmaals gebruikmakend van \(\eqref{eq: eq2}\) zou dit betekenen dat een van de volgende waar zou moeten zijn.

\

er zijn ook een aantal mooie toepassingen van het dot product waar we naar moeten kijken.,

projecties

Er is een mooie formule voor het vinden van de projectie van \(\vec b\) op \(\vec a\). Hier is het,

merk op dat we ook heel voorzichtig moeten zijn met notatie hier. De projectie van \(\vec A\) op \(\vec b\)wordt gegeven door

\

Hier is een voorbeeld.

voor vergelijkingsdoeleinden laten we het ook andersom doen.

zoals we kunnen zien uit de vorige twee voorbeelden zijn de twee projecties verschillend dus wees voorzichtig.,

richting Cosines

Deze toepassing van het puntproduct vereist dat we in driedimensionale ruimte zijn, in tegenstelling tot alle andere toepassingen die we tot op dit punt hebben bekeken.

Hier is een schets van een vector en de richting hoeken.

de formules voor de richting cosines zijn,

laten we het eerste punt product hierboven controleren. We laten de rest aan jou over om het te verifiëren.

\

Hier zijn een paar leuke feiten over de richting cosines.

laten we een snel voorbeeld geven met betrekking tot richting cosines.