uit algebra en calculus kunt u zich herinneren dat een functie één-op-één en onto kan zijn, en deze eigenschappen zijn gerelateerd aan de vraag of de functie al dan niet inverteerbaar is. We bekijken nu deze belangrijke ideeën. In de geavanceerde wiskunde wordt het woord injectief vaak gebruikt in plaats van één-op-één, en surjectief wordt gebruikt in plaats van onto. Hier zijn de exacte definities:

Hieronder is een visuele beschrijving van definitie 12.4., In essentie betekent injectief dat ongelijke elementen in a altijd naar ongelijke elementen in B. surjectief betekent dat elk element van B een pijl heeft die ernaar wijst, dat wil zeggen dat het gelijk is aan f (a) Voor sommige a in het domein van f.

Er zijn vier mogelijke injectieve/surjectieve combinaties die een functie kan bezitten. Dit wordt hieronder geïllustreerd voor vier functies \(a \ rightarrow B\). Functies in de eerste kolom zijn injectief, die in de tweede kolom zijn niet injectief. Functies in de eerste rij zijn surjectief, die in de tweede rij niet.,

we merken terloops op dat, volgens de definities, een functie surjectief is dan en alleen als zijn codomein gelijk is aan zijn bereik.

How to show a function \(f: A \ rightarrow B\) is injectief:

van deze twee benaderingen is het contrapositief vaak het makkelijkst te gebruiken, vooral als f wordt gedefinieerd door een algebraïsche formule. Dit komt omdat de contrapositieve benadering begint met de vergelijking \(f(A) = f(a’)\) en overgaat naar de vergelijking \(a = a’\). In de algebra, zoals je weet, is het meestal makkelijker om te werken met vergelijkingen dan ongelijkheden.,

hoe een functie \(f : a \rightarrow B\) te tonen is surjectief:

veronderstel \(b \in B\).

oefening \(\Paginindex{1}\)

laat \(A= \{1,2,3,4\}\) en \(B = \{A,b,c\}\). Geef een voorbeeld van een functie \(f: a \ rightarrow B\) die noch injectief, noch surjectief is.,

Exercise \(\PageIndex{2}\)

Exercise \(\PageIndex{3}\)

Exercise \(\PageIndex{4}\)

Exercise \(\PageIndex{5}\)

Exercise \(\PageIndex{6}\)

Exercise \(\PageIndex{7}\)

Exercise \(\PageIndex{8}\)

Exercise \(\PageIndex{9}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R}-\{5\}\) defined by \(f(x)= \frac{5x+1}{x-2}\) is bijective.

Exercise \(\PageIndex{10}\)

Prove the function \(f : \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}\) defined by \(f(x) = (\frac{x+1}{x-1})^{3}\) is bijective.,

Exercise \(\PageIndex{11}\)

Exercise \(\PageIndex{12}\)

Exercise \(\PageIndex{13}\)

Exercise \(\PageIndex{14}\)

Exercise \(\PageIndex{15}\)

Exercise \(\PageIndex{16}\)

Exercise \(\PageIndex{17}\)

Exercise \(\PageIndex{18}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) defined as \(f (n) = \frac{(-1)^{n}(2n-1)+1}{4}\) is bijective.