(2)

n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\ldots }

Waves can only form standing waves on this string if they have a wavelength that satisfies this relationship with L., Hvis bølgene reiser med hastighet v langs strengen, så god frekvens av stående bølger er begrenset til

f = λ v = n v 2 L . {\displaystyle f={\frac {v}{\lambda }}={\frac {nv}{2L}}.}

Den stående bølgen med n = 1 svinger på grunnleggende frekvens og har en bølgelengde som er to ganger lengden av strengen. Høyere heltall verdier av n tilsvarer moduser av pendling kalles harmoniske eller overtoner. Noen av stående bølger på strengen vil ha n + 1 noder, inkludert fast endene og n anti-noder.,

for Å sammenligne dette eksemplet er noder til beskrivelse av noder for stående bølger i uendelige lengde streng, merk at Ligning (2) kan omskrives som

λ = 4 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},} n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n=2,4,6,\ldots }

I denne varianten av uttrykket for den bølgelengde, n må være selv., Krysser å multiplisere vi se at fordi L er en node, det er et enda flere på en kvart bølgelengde,

L = n λ 4 , {\displaystyle L={\frac {n\lambda }{4}},} n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n=2,4,6,\ldots }

Dette eksemplet viser en slags resonans og frekvenser som produserer stående bølger kan bli referert til som resonansfrekvenser.

Stående bølger på en streng med en fast endEdit

Neste, vurdere det samme streng av lengde L, men denne gangen er det bare fast ved x = 0. Ved x = L, string er fri til å bevege seg i y-retning., For eksempel string kan være bundet til x = L til en ring som kan gli fritt opp og ned på en stang. Strengen igjen har liten demping og er drevet av en liten drivende kraft i x = 0.

I dette tilfellet, Ligning (1) fortsatt beskriver den stående bølge mønster som kan danne på strengen, og strengen har den samme grensen tilstand av y = 0 når x = 0. Imidlertid, ved x = L der strengen kan bevege seg fritt bør det være en anti-noden med maksimal amplitude på y. Gjennomgang av Ligning (1), for x = L den største amplituden av y oppstår når

synd ⁡ ( 2 π L λ ) = 1., {\displaystyle \synd \left({2\pi L \over \lambda }\right)=1.}

Dette fører til et annet sett av bølgelengder enn i de to faste ender eksempel. Her bølgelengde av stående bølger er begrenset til

λ = 4 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},} n = 1 , 3 , 5 , … {\displaystyle n=1,3,5,\ldots }

God, frekvensen er begrenset til

f = n v 4 L . {\displaystyle f={\frac {nv}{4L}}.}

Merk at i dette eksemplet n tar bare odd verdier. Fordi L er en anti-node, det er et odde multiplum av en kvart bølgelengde., Dermed grunnleggende modus i dette eksemplet har bare en fjerdedel av et komplett sinus syklus–null ved x = 0 og den første toppen ved x = L–den første harmoniske har tre fjerdedeler av en komplett sinus syklus, og så videre.

Dette eksemplet viser også en type resonans og frekvenser som produserer stående bølger kalles resonansfrekvenser.

Stående bølge i en pipeEdit

Vurdere en stående bølge i et rør med lengde L., Luften inne i røret fungerer som medium for langsgående lydbølger reise til høyre eller venstre gjennom røret. Mens transverse bølger på strengen fra de tidligere eksemplene varierer i deres vekt vinkelrett på retningen av bølgebevegelse, bølgene reiser gjennom luften i røret variere i forhold til sine press og langsgående forskyvning langs retning av bølgebevegelse., Bølgen forplanter ved vekselvis å komprimere og utvide luft i segmenter av røret, som fortrenger luften litt ut fra resten posisjon og overfører energi til nærliggende segmenter gjennom de kreftene som utøves av vekselvis høyt og lavt lufttrykk. Ligninger som ligner de for bølger på en streng kan være skrevet for endring i trykket Δp på grunn av en høyre – eller venstre-reiser bølge i røret.,

Δ p R ( x , t ) = p maks synd ⁡ ( 2 π x λ − ω t ) , {\displaystyle \Delta p_{\text{R}}(x,t)=p_{\text{max}}\synd \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right),} Δ p L ( x , t ) = p maks synd ⁡ ( 2 π x λ + ω t ) , {\displaystyle \Delta p_{\text{L}}(x,t)=p_{\text{max}}\synd \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right),}

hvor

• pmax er trykket amplitude eller maksimal økning eller reduksjon i lufttrykket på grunn av hver bølge,
• ω er vinklet frekvens eller tilsvarende 2π ganger frekvensen f,
• λ er bølgelengden til bølgen.,

Hvis identiske høyre – og venstre-reiser bølger reise gjennom røret, den resulterende blandingen er beskrevet av summen

Δ p ( x , t ) = Δ p R ( x , t ) + Δ p L ( x , t ) = 2 p maks synd ⁡ ( 2 π x λ ) cos ⁡ ( ω t ) . {\displaystyle \Delta p(x,t)=\Delta p_{\text{R}}(x,t)+\Delta p_{\text{L}}(x,t)=2p_{\text{max}}\synd \left({2\pi x \over \lambda }\right)\cos(\omega t).}

Merk at denne formelen for trykket er av samme form som Ligning (1), slik at en stasjonær trykkbølge former som er løst i verdensrommet og svinger i tid.,

Hvis enden av et rør er stengt, trykket er maksimal siden den lukkede enden av røret utøver en kraft som begrenser bevegelse av luft. Dette tilsvarer et trykk anti-node. Hvis den enden av røret er åpent, trykk variasjonene er svært liten, noe som tilsvarer et trykk node. Den nøyaktige plasseringen av trykket node på en åpen slutt er det faktisk litt utenfor den åpne enden av røret, så den effektive lengden av røret i den hensikt å avgjøre resonansfrekvenser er litt lengre enn sin fysiske lengde. Denne forskjellen i lengde er ignorert i dette eksemplet., I form av refleksjoner, åpne endene delvis reflektere bølger tilbake i røret, slik at noen energi til å bli sluppet ut i luft utenfra. Ideelt sett lukket ender reflektere hele bølgen tilbake i den andre retningen.

tenk Først gjennom et rør som er åpen i begge ender, for eksempel en åpen pipe organ eller en opptaker.,ds, de grensebetingelser er analogt til streng med to faste ender,

Δ p ( 0 , t ) = 0 , {\displaystyle \Delta p(0,t)=0,} Δ p ( L , t ) = 2 p maks synd ⁡ ( 2 π L λ ) cos ⁡ ( ω t ) = 0 , {\displaystyle \Delta p(L,t)=2p_{\text{max}}\synd \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\omega t)=0,}

som bare oppstår når bølgelengden av stående bølger er

λ = 2 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},} n = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}

eller tilsvarende når frekvensen er

f = n v 2 L , {\displaystyle f={\frac {nv}{2L}},}

der v er hastigheten til lyden.,

Neste, bør du vurdere et rør som er åpen, og har derfor et press node ved x = 0 og lukket, og har derfor et press anti-noden ved x = L. Eksempler inkluderer en flaske og en klarinett. Dette røret har grensebetingelser analogt til strengen med bare én fast slutten. Sin stående bølger har bølgelengder begrenset til

λ = 4 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},} n = 1 , 3 , 5 , … , {\displaystyle n=1,3,5,\ldots ,}

eller tilsvarende frekvensen av stående bølger er begrenset til

f = n v 4 L . {\displaystyle f={\frac {nv}{4L}}.,}

Merk at for de tilfeller hvor den ene enden er stengt, n tar bare odd verdier akkurat som i tilfellet med streng faste i bare den ene enden.

Så langt, bølgen har blitt skrevet i form av press sin som en funksjon av posisjonen x og tid., Alternativt, bølgen kan være skriftlig i form av sin langsgående vekt i luft, der luften i et segment av røret beveger seg fram og tilbake litt i x-retning som trykket varierer, og bølgene reiser i en eller begge retninger. Endring i trykket Δp og langsgående vekt s er i slekt som

Δ p = − ρ v 2 ∂ s ∂ x , {\displaystyle \Delta p=-\rho-v^{2}{\frac {\delvis s}{\delvis x}},}

hvor ρ er tettheten av luften., I form av langsgående vekt, lukket endene av rørene svarer til noder ettersom luften bevegelighet er begrenset og åpne endene tilsvarer anti-noder siden luften er fri til å bevege seg. En lignende, enklere å visualisere fenomenet oppstår i longitudinelle bølger forplanter seg langs en fjær.

Vi kan også vurdere et rør som er lukket i begge ender. I dette tilfellet er begge ender vil bli trykket anti-noder eller tilsvarende begge ender vil være vekt noder., Dette eksemplet er analogt til tilfelle der begge ender er åpne, bortsett fra den stående bølge mønster har en π⁄2 phase shift langs x-retning for å flytte plasseringen av nodene og anti-noder. For eksempel, den lengste bølgelengden som gir gjenlyd–grunnleggende modus–er igjen to ganger lengden av røret, bortsett fra at endene av røret har trykket anti-noder i stedet for press noder. Mellom endene det er et press node., I tilfelle av to lukkede ender, den bølgelengden er igjen begrenset til

λ = 2 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},} n = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}

og frekvensen er igjen begrenset til

f = n v 2 L . {\displaystyle f={\frac {nv}{2L}}.}

En Rubens’ t gir en måte å visualisere trykket varianter av stående bølger i et rør med to lukkede ender.,

2D stående bølge med en rektangulær boundaryEdit

Neste, vurdere tverrgående bølger som kan bevege seg langs en todimensjonal overflate i en rektangulær grensen av lengden Lx i x-retning og lengde Ly i y-retning. Eksempler på denne type bølge er vann bølger i et basseng eller bølger på et rektangulært ark som har blitt trukket stramt. Bølgene fortrenge overflaten i z-retning, med z = 0 er definert som høyden av overflaten når det er stille.,

I to dimensjoner og Kartesiske koordinater, bølge-ligningen

∂ 2 z ∂ t 2 = c 2 ( ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 ) , {\displaystyle {\frac {\delvis ^{2}z}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac {\delvis ^{2}z}{\delvis x^{2}}}+{\frac {\delvis ^{2}z}{\delvis y^{2}}}\right),}

hvor

• z(x,y,t) er den vekt på overflaten,
• c er hastigheten til bølgen.

for Å løse dette differensial ligningen, la oss først løse for sine Fourier transform, med

Z ( x , y , ω ) = ∫ − ∞ ∞ z ( x , y , t ) e − i o t d t ., {\displaystyle Z(x,y,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }z(x,y,t)e^{-i\omega t}dt.}

Ta den Fourier transform for bølge-ligningen,

∂ 2 Z ∂ x 2 + ∂ 2 Z ∂ y 2 = − ω 2 c 2 Z ( x , y , ω ) . {\displaystyle {\frac {\delvis ^{2}Z}{\delvis x^{2}}}+{\frac {\delvis ^{2}Z}{\delvis y^{2}}}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}Z(x,y,\omega ).}

Dette er en egenverdi problem der frekvenser svarer til eigenvalues som da tilsvarer frekvens-spesifikke modi, eller eigenfunctions. Spesielt, dette er en form for Helmholtz ligningen, og det kan løses ved separasjon av variable., Anta

Z = X ( x ) Y ( y ) . {\displaystyle Z=X(x)Y(y).}

å Dele Helmholtz ligningen med Z,

1 X ( x ) ∂ 2 X ∂ x 2 + 1 Y ( y ) ∂ 2 Y ∂ y 2 + ω 2 c 2 = 0. {\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\delvis ^{2}X}{\delvis x^{2}}}+{\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\delvis ^{2}Y}{\delvis y^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0.}

Dette fører til to sammen ordinære differensialligninger. X-leddet lik en konstant med hensyn til x som vi kan definere som

1 X ( x ) ∂ 2 X ∂ x 2 = ( jeg k-x ) 2 . {\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\delvis ^{2}X}{\delvis x^{2}}}=(ik_{x})^{2}.,}

Løse for X(x)

X ( x ) = A k x e i k x x + B k x e − jeg k-x-x . {\displaystyle X(x)=A_{k_{x}}e^{ik_{x}x}+B_{k_{x}}e^{-ik_{x}x}.}

Denne x-avhengighet er sinusformet–minner om Euler ‘ s formel–med konstanter Akx og Bkx bestemt av grensebetingelser., Likeledes, y sikt er lik en konstant med hensyn til y som vi kan definere som

1 Y ( y ) ∂ 2 Y ∂ y 2 = ( jeg k y ) 2 = k x 2 − ω 2 c 2 , {\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\delvis ^{2}Y}{\delvis y^{2}}}=(ik_{y})^{2}=k_{x}^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}},}

og spredning forhold for denne bølgen er derfor

ω = c k x 2 + k y 2 . {\displaystyle \omega =c{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.}

å Løse partielle ligningen for y sikt,

Y ( y ) = k k v e i k y y + D k y e − jeg k y y . {\displaystyle Y(y)=C_{k_{y}}e^{ik_{y}y}+D_{k_{y}}e^{-ik_{y}y}.,}

å Multiplisere disse funksjonene sammen og bruke den inverse Fourier transform, z(x,y,t) er en superposisjon av moduser der hver modus er produktet av sinusformet funksjoner for x, y og t,

z ( x , y , t ) ∼ e ± jeg k x x e ± jeg k y y e ± jeg ω t . {\displaystyle z(x,y,t)\sim-e^{\pm ik_{x}x}e^{\pm ik_{y}y}e^{\pm jeg\omega t}.}

Den konstanter at du kan bestemme nøyaktig sinusformet funksjoner avhenger av grensebetingelser og opprinnelige betingelser., For å se hvor grensen vilkår gjelder, se på et eksempel som ark som har blitt trukket stramt der z(x,y,t) må være satt alle rundt rektangulære grensen. For x-avhengighet, z(x,y,t) må variere på en måte som det kan være med null i både x = 0 og x = Lx for alle verdier av y og t.,sjon som tilfredsstiller denne grensen tilstanden er

synd ⁡ k x x , {\displaystyle \synd {k_{x}x},}

med kx begrenset til

k x = n (π L x , n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle k_{x}={\frac {n\pi }{L_{x}}},\quad n=1,2,3,\dots }

på samme måte, y avhengighet av z(x,y,t) må være null på både y = 0 og y = Ly, som er fornøyd med

synd ⁡ k j j , k y = m π L , m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \synd {k_{y}y},\quad k_{y}={\frac {m\pi }{L_{y}}},\quad m=1,2,3,\dots }

Begrense bølgen tall til disse verdiene også begrenser frekvenser som appellerer til

ω = c π ( n L x ) 2 + ( m-L ) 2 ., {\displaystyle \omega =c\pi {\sqrt {\left({\frac {n}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {m}{L_{y}}}\right)^{2}}}.}

Hvis den opprinnelige betingelser for z(x,y,0) og sin tid derivat ż(x,y,0) er valgt slik t-avhengighet er en cosinus-funksjonen, deretter stående bølger for dette systemet ta form

z ( x , y , t ) = z maks synd ⁡ ( n π x L x ) synd ⁡ ( m π y L y ) cos ⁡ ( ω t ) . {\displaystyle z(x,y,t)=z_{\text{max}}\synd \left({\frac {n\pi x}{L_{x}}}\right)\synd \left({\frac {m\pi y}{L_{y}}}\right)\cos \left(\omega t\right).,} n = 1 , 2 , 3 , m … = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\dots \quad m=1,2,3,\dots }

Så, stående bølger inne i denne faste rektangulære grensen svinge i gang på visse resonansfrekvenser parameterized av naturlige tall n og m. Som de oscillerer i tid, har de ikke skal reise og deres romlige variasjonen er sinusformet i både x – og y-retningene slik at de tilfredsstiller grensebetingelser. Den grunnleggende modus, n = 1 og m = 1, har et enkelt antinode i midten av rektangelet., Varierende n og m gir komplisert, men forutsigbar to-dimensjonale mønstre av noder og antinodes inne i rektangelet.

Merk fra spredning forhold at det i visse situasjoner forskjellige moduser–noe som betyr at forskjellige kombinasjoner av n og m–kan resonere på samme frekvens, selv om de har forskjellige former for sine x – og y-avhengighet. For eksempel hvis grensen er firkantet, Lx = Ly modusene n = 1 og m = 7, n = 7 og m = 1 og n = 5 og m = 5 alle resonere på

ω = c π L x 50 . {\displaystyle \omega ={\frac {c\pi }{L_{x}}}{\sqrt {50}}.}