Alle vanlige enkle polygoner (et enkelt polygon er en som ikke overlapper seg selv hvor som helst) er konveks. De som har samme antall sider er også lik.

En n-sidig regelmessig konveks mangekant er merket med sin Schläfli symbol {n}. For n < 3, har vi to utarte tilfeller:

Monogon {1} Utarte i ordinær plass. (De fleste myndigheter ikke hensyn monogon som en sann polygon, delvis på grunn av dette, og også fordi formler nedenfor ikke fungerer, og dens struktur er ikke noen abstrakt polygon.,) Digon {2}; en «dobbel linje segmentet» Degenerert i ordinær plass. (Noen myndigheter ikke hensyn digon som en sann polygon på grunn av dette.)

I visse sammenhenger er alle polygoner ansett som vil være vanlig. I slike tilfeller er det vanlig å slippe prefiks vanlig. For eksempel, alle ansikter av uniform polyedre må være regelmessig og ansiktene vil bli beskrevet som trekant, firkant, femkant, etc.,

AnglesEdit

For en regelmessig konveks n-gon, hver indre vinkel har et mål:

180 ( n − 2 ) n {\displaystyle {\frac {180(n-2)}{n}}} grader; ( n − 2 ) π n {\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}} radianer, eller ( n − 2 ) 2 n {\displaystyle {\frac {(n-2)}{2n}}} full slår

Som n tilnærminger uendelig, og den interne vinkel tilnærminger 180 grader. For et regulært polygon med 10 000 sider (en myriagon) den interne vinkel er 179.964°. Etter hvert som antall sider øke den interne vinkel kan komme svært nær 180°, og formen av den polygon tilnærminger som av en sirkel., Men polygon kan aldri bli en sirkel. Verdien av den interne vinkel kan aldri bli nøyaktig lik 180°, som omkrets effektivt ville bli en rett linje. Av denne grunn, og en sirkel er ikke et polygon med et uendelig antall sider.

DiagonalsEdit

For en regulær n-gon innskrevet i en enhet-radius sirkel, produktet av avstandene fra et gitt toppunktet til alle andre noder (inkludert tilstøtende noder og noder er forbundet med en diagonal) er lik n.,

– Poeng i planeEdit

For en vanlig enkel n-gon med circumradius R og avstander di fra et vilkårlig punkt i planet til knutepunktene, har vi

∑ i = 1 n d jeg 4 n + 3 R 4 = ( ∑ i = 1 n d i 2 n + R 2 ) 2 . {\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}}{n}}+3R^{4}=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}}{n}}+R^{2}\right)^{2}.,2 k {\displaystyle S_{n}^{(2 m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2}}{\binom {2}{k}}R^{2}(S_{n}^{(2)}-R^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}}

og n S ( 2 m ) = ( S n ( 2 ) ) m + vann k = 1 ⌊ m 2 ⌋ 1 2 k ( m 2 k ) ( 2 k k ) ( S n ( 4 ) − ( E) n ( 2 ) ) 2 ) k ( S n ( 2 ) ) m − 2 k {\displaystyle S_{n}^{(2 m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2}}{\binom {2}{k}}(S_{n}^{(4)}-(S_{n}^{(2)})^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}}

hvor m {\displaystyle m} er et positivt heltall mindre enn n {\displaystyle n} .,

Hvis L {\displaystyle L} er avstanden fra et vilkårlig punkt i planet til centroid av en vanlig n {\displaystyle n} -gon med circumradius R {\displaystyle R} , deretter

∑ i = 1 n d jeg 2 m = n ( ( R 2 + L 2 ) m + ∑ k = 1 ⌊ m 2 ⌋ ( m 2 k ) ( 2 k k ) R 2 k L 2 k ( R 2 + L 2 ) m − 2 k ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}=n((R^{2}+L^{2})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2}}{\binom {2}{k}}R^{2}L^{2}(R^{2}+L^{2})^{m-2})}

hvor m {\displaystyle m} = 1,2,…, n {\displaystyle n} -1.,

Interiør pointsEdit

For en regulær n-gon, summen av den vinkelrette avstand fra ethvert interiør punkt til n sider er n ganger apothem:p. 72 (den apothem blir avstanden fra sentrum til hvilken som helst side). Dette er en generalisering av Viviani teorem for n=3 tilfelle.,dem, og området, En av regulære polygoner av n sider og circumradius 1, med base, b av et rektangel med samme området, den grønne linjen viser tilfellet n = 6

circumradius R fra midten av et regulært polygon til ett av hjørnene er relatert til siden lengde s eller til apothem en av

R = s 2 synd ⁡ ( π n ) = a cos ⁡ ( π n ) {\displaystyle R={\frac {s}{2\synd \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}

For constructible polygoner, algebraiske uttrykk for disse relasjonene eksisterer; se Bicentric polygon#Regulære polygoner.,

summen av perpendiculars fra en regulær n-gon s noder til en linje som tangerer circumcircle er lik n ganger circumradius.:p. 73

summen av de kvadrerte avstander i forhold til hjørnene i en regulær n-gon til hvilket som helst punkt på sin circumcircle er lik 2nR2 der R er circumradius.:p.73

summen av de kvadrerte avstander i forhold til midtverdiene av sidene i en regulær n-gon til et punkt på circumcircle er 2nR2 − ns2/4, der s er siden lengde og R er circumradius.:p., 73

3 ( ∑ i = 1 n d jeg 2 ) 2 = 2 n ∑ i = 1 n d jeg 4 {\displaystyle 3(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2})^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}} .

DissectionsEdit

Coxeter sier at hver zonogon (en 2m-gon som motsatte sider er parallelle og like lange) kan bli dissekert i ( n-2 ) {\displaystyle {\tbinom {n}{2}}} eller m(m-1)/2 parallelograms.Disse tilings finnes undergrupper av hjørner, kanter og overflater i ortogonale projeksjoner m-kuber.,Særlig dette er sant for regulære polygoner med jevnt mange sider, i hvilket tilfelle parallelograms er alle rhombi.Listen OEIS: A006245 gir antall løsninger for mindre polygoner.,f en konveks regulære n-sidig polygon har siden s, circumradius R, apothem en, og omkrets p er gitt ved

A = 1 2 n s a = 1 2 s = 1 4 n-s 2 barneseng ⁡ ( π n ) = n 2 tan ⁡ ( π n ) = 1 2 n R 2 synd ⁡ ( 2 π n ) {\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\barneseng \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\synd \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)}

Av alle n-gons med en gitt kanten, er det den med det største området er vanlig.