Elementære proofEdit
la oss Anta at P(p/q) = 0 for noen coprime p, q ∈ ℤ:
P ( P-q ) = n ( p-q ) n + n − 1 ( p-q ) n − 1 + ⋯ + 1 ( p-q ) + 0 = 0. {\displaystyle P({\tfrac {p}{q}})\ =\ a_{n}({\tfrac {p}{q}})^{n}+a_{n-1}({\tfrac {p}{q}})^{n-1}+\cdots +a_{1}({\tfrac {p}{q}})+a_{0}\ =\ 0.}
for Å slette denominators,
n p n + n − 1 s n − 1 q + ⋯ + 1 p q n − 1 + a 0 q n = 0. {\displaystyle a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0.,}
Skiftende a0 sikt til høyre side og factoring ut p på venstre side gir:
p ( a n s n − 1 + n − 1 q p n − 2 + ⋯ + 1 q n − 1 ) = − a 0 q n . {\displaystyle p\left(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}\right)=-a_{0}q^{n}.}
Derfor, s deler a0qn. Men p er coprime til q og derfor qn, så av Euklids lemma p må dele de resterende faktor a0.
På den annen side, å skifte en sikt for å høyre side og factoring ut q på venstre side gir:
q ( n − 1 s n − 1 + n − 2 q p n − 2 + ⋯ + 0 q n − 1 ) = − a n s n ., {\displaystyle q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1}\right)=-a_{n}p^{n}.}
Resonnement som før, det følger at q deler en.
Bevis ved hjelp av Gauss’ lemmaEdit
Skal det være en nontrivial faktor å dele alle koeffisientene i polynomet, så man kan dele av de største felles divisor av koeffisientene slik som å oppnå en primitiv polynom i den forstand av Gauss ‘ s lemma, og dette endrer ikke satt av rasjonell røtter og bare styrker divisibility forhold., At lemma sier at hvis det polynom faktorer i Q, da er det også faktorer i Z som et produkt av primitive polynomer. Nå enhver rasjonell root p/q tilsvarer en faktor av grad 1 i Q i polynomet, og dens primitive representant er så qx − p, forutsatt at p og q er coprime. Men noen flere i Z av qx − p har ledende sikt delelig med q og konstant sikt delelig med p, noe som beviser uttalelse., Dette argumentet viser at mer generelt, alle irreducible faktor P kan være ment å ha heltall koeffisienter, og ledende og konstante koeffisienter å dele tilsvarende koeffisienter i S.