En måte å representere Möbius bånd som er innebygd i tre-dimensjonale Euclidean plass av parametrization:

x ( u , v ) = ( 1 + v 2 cos ⁡ u 2 ) cos ⁡ u {\displaystyle x(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u} y ( u , v ) = ( 1 + v 2 cos ⁡ u 2 ) synd ⁡ u {\displaystyle y(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\synd u} z ( u , v ) = v 2 synd ⁡ u 2 {\displaystyle z(u,v)={\frac {v}{2}}\synd {\frac {u}{2}}} logg ⁡ ( r ) synd ⁡ ( 1 2 θ ) = z cos ⁡ ( 1 2 θ ) ., {\displaystyle \log(r)\synd \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)=z\cos \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right).}

Bredeste isometrisk innebygging i 3-spaceEdit

Hvis en jevn Möbius bånd i tre-plass er en rektangulær en som er opprettet fra å identifisere to motsatte sider av en geometrisk rektangel med bøying, men ikke strekker til overflaten – vil en slik en embedding er kjent for å være mulig hvis skjermformatet av rektangelet som er større enn 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} , med kortere sider identifisert., (For et mindre aspekt ratio, det er ikke kjent om en jevn innebygging er mulig.) Som sideforhold avtar mot 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} , slik innebygging ser ut til å nærme seg en form som kan være tenkt som en stripe av tre likesidet trekanter, kastet seg på toppen av en annen til å okkupere en likesidet trekant.

Hvis Möbius bånd i tre-plass er bare en gang kontinuerlig differensiable (klasse C1), men så teoremet av Nash-Kuiper viser at ingen nedre grense eksisterer.,

En metode for å gjøre et Möbius bånd fra et rektangulært bånd for stor til å bare vri og bli med (f.eks., et rektangel bare én enhet lang og en enhet bredt) er å først kaste bredt retning frem og tilbake ved hjelp av et likt antall folder—en «trekkspill fold»—slik at brettet strip blir smal nok til at det kan være vridd og sluttet seg til, mye som en eneste lang nok stripe kan bli medlem. Med to folder, for eksempel en 1 × 1 stripe ville bli en 1 × ⅓ kastet strip hvis tverrsnittet er i form av en » N » og vil være en ‘N’ etter en halv-vri., Dette brettet strip, og tre ganger så lang som den er bred, ville være lenge nok til å bli med på endene. Denne metoden fungerer i prinsippet, men blir upraktisk når tilstrekkelig mange folder, hvis papiret er brukt. Du bruker vanlig papir, denne konstruksjonen kan foldes flatt, med alle lagene av papir i ett plan, men matematisk, om dette er mulig uten å strekke overflaten av rektangelet er ikke klart.,

TopologyEdit

Möbius bånd er en to-dimensjonal kompakt manifold (dvs. en overflate) med grense. Det er en vanlig eksempel på en overflate som ikke er stiv. Faktisk, Möbius bånd er epitome av topologiske fenomenet nonorientability., Dette er fordi to-dimensjonale figurer (flatene) er lavest-dimensjonale figurer som nonorientability er mulig og Möbius bånd er bare overflaten som er topologically et underrom av hver ikkeorienterbare overflaten. Som et resultat, noen overflaten er ikkeorienterbare hvis og bare hvis det inneholder et Möbius-båndet som et underrom.

Möbius bånd er også en standard eksempel brukes til å illustrere matematiske konsept av en fiber i en bunt. Spesielt, det er en nontrivial bunt over sirkel S1 med sin fiber lik enhet intervallet I = ., Se bare på kanten av Möbius bånd gir en nontrivial to punkt (eller Z2) bunt over S1.

Datamaskinen graphicsEdit

En enkel konstruksjon av Möbius bånd som kan brukes til å fremstille det på computer graphics eller modellering pakker er:

• Ta et rektangulært bånd. Rotere det rundt et fast punkt ikke i sin plan. På alle trinn, også rotere stripe langs en linje i sin plan (linjen som deler de bånd i to) og loddrett i forhold til de viktigste orbital radius. Overflaten er generert på en fullstendig revolusjon er Möbius bånd.,
• Ta et Möbius bånd og klippe det sammen midt på the strip. Dette danner en ny stripe, som er et rektangel sluttet ved å vri den ene enden en hel omdreining. Ved å kutte den ned på midten igjen, dette danner to sammenflettede hele slå strimler.

Geometri åpne Möbius bandEdit

Det kan bygges opp som en overflate av konstant positiv, negativ eller null (Gaussisk) kurvatur., I tilfeller av negative og null kurvatur, den Möbius-båndet kan være bygget som en (geodesically) komplett overflate, noe som betyr at alle geodesics («rette linjer» på overflaten) kan bli forlenget på ubestemt tid i begge retninger.

Konstant negativ krumning:Som flyet og åpen sylinder, åpne Möbius-båndet innrømmer ikke bare en fullstendig beregning av konstant krumning 0, men også en komplett beregning av konstant negativ krumning, sier -1., En måte å se dette på er å begynne med den øvre halvparten fly (Poincaré) modell av hyperbolske plan ℍ, nemlig ℍ = { (x, y) ∈ ℝ2 | y > 0} med Riemannian beregning gitt ved (dx2 + dy2) / y2. Orientering-å bevare isometries av denne beregningen er alle kart-f : ℍ → ℍ på formen f(z) := (a + b) / (cz + d), der a, b, c, d er reelle tall tilfredsstillende ad − bc = 1. Her z er et komplekst tall med Im(z) > 0, og vi har identifisert ℍ med {z ∈ ℂ | Im(z) > 0} utstyrt med Riemannian beregningen som ble nevnt., Deretter en orientering i revers isometry g av ℍ er gitt ved g(z) := −z, der z betegner det komplekse konjugat av z. Disse fakta innebærer at kartleggingen h : ℍ → ℍ gitt ved h(z) := -2⋅z er en retning-reversering isometry av ℍ som genererer en uendelig syklisk gruppe G av isometries. (Det kan være uttrykt som h(z) = (√2i z + 0) / (0z − jeg/√2), og plassen er isometry h(h(z)) := 4⋅z, som kan uttrykkes som (2z + 0) / (0z + 1⁄2).) Kvotienten ℍ / G på handling av denne gruppen kan lett bli sett på å være topologically et Möbius-bånd., Men det er også lett å kontrollere at den er fullstendig og ikke-kompakt, med konstant negativ krumning lik -1.

gruppen av isometries av denne Möbius-båndet er 1-dimensjonale og er isomorphic til spesielle ortogonale gruppe, SLIK at(2).

(Konstant) null kurvatur:Dette kan også være konstruert som et komplett overflate, ved å starte med del av flyet R2 definert ved 0 ≤ y ≤ 1, og peke ut (x, 0), (−x, 1) for alle x i R (the real). Den resulterende metrisk gjør det åpne Möbius-båndet i en (geodesically) fullstendig flat overflate (dvs., etter å ha Gaussian kurvatur lik 0 overalt)., Dette er bare beregning på Möbius-bånd, opp til uniform skalering, som er både flatskjerm og komplett.

gruppen av isometries av denne Möbius-båndet er 1-dimensjonale og er isomorphic til ortogonale gruppe, SLIK at(2).

Konstant positiv krumning:Et Möbius-båndet av konstant positiv krumning kan ikke være komplett, siden det er kjent at den eneste komplette flater med konstant positiv krumning er sfæren og projektiv flyet., Den projiserende flyet P2 med konstant krumning +1 kan bygges opp som kvotienten av enheten sfære S2 i R3 av antipodal Et kart: S2 → S2, definert ved(x, y, z) = (−x, −y −z). Åpne Möbius-båndet er homeomorphic til gang-punktert projektiv flyet, det er, P2 med alle ett poeng fjernet. Dette kan være tenkt som det nærmest som et Möbius-båndet av konstant positiv krumning kan komme til å bli et komplett overflate: bare ett poeng unna.

gruppen av isometries av denne Möbius-båndet er også 1-dimensjonale og isomorphic til ortogonale gruppe O(2).,

I løpet av unoriented linjer i planet er diffeomorphic å åpne Möbius-bånd. For å se hvorfor, la L(θ) betegne linje gjennom opprinnelse i en vinkel θ til den positive x-aksen. For hver L(θ) det er familien P(θ) for alle linjer i planet som er vinkelrett på L(θ). Topologically, familien P(θ) er en linje (fordi hver linje i P(θ) krysser linjen L(θ) i bare ett poeng). På denne måten, så θ øker i området 0° ≤ θ < 180°, linjen L(θ) representerer en linje er verdt av forskjellige linjer i planet., Men når θ når 180°, L(180°) er identisk med L(0), og så familiene P(0°) og S(180°) av vinkelrette linjer er også identisk familier. Linjen L(0°), men har kommet tilbake til seg selv som L(180°) pekte i motsatt retning. Hver linje i planet tilsvarer nøyaktig en linje i enkelte familie P(θ), for nøyaktig ett θ, for 0° ≤ θ < 180°, og S(180°) er identisk med P(0°), men returnerer peker i motsatt retning. Dette sikrer at plass til alle linjer i planet – unionen av alle de L(θ) for 0° ≤ θ ≤ 180° – er en åpen Möbius-bånd.,

gruppen av bijective lineære transformasjoner GL(2 R) på flyet til seg selv (real 2 × 2 matrise med ikke-null determinant) naturlig induserer bijections i løpet av linjer i planet til seg selv, som danner en gruppe av selv-homeomorphisms av plass på linjene. Derfor den samme gruppen danner en gruppe av selv-homeomorphisms av Möbius-båndet som ble beskrevet i forrige avsnitt. Men det er ingen beregning på plass av linjer i planet som er invariant under virkningen av denne gruppen av homeomorphisms. I denne forstand, den plass av linjer i planet har ingen naturlige beregning på det.,

Dette betyr at Möbius-båndet har en naturlig 4-dimensjonale Ligge gruppe av selv-homeomorphisms, gitt av GL(2, R), men dette høy grad av symmetri kan ikke bli stilt ut som den gruppen av isometries av noen beregning.

Möbius bånd med runde boundaryEdit

Den kanten, eller grense, av en Möbius bånd er homeomorphic (topologically tilsvarende) til en sirkel. Under vanlige embeddinger av strip i Euclidean plass, som over, grensen er ikke en ekte sirkel., Det er imidlertid mulig å legge inn en Möbius bånd i tre dimensjoner, slik at grensen er en perfekt sirkel liggende i noen plan. For eksempel, se figur 307, 308 og 309 av «Geometri og fantasi».

En mye mer geometriske innebygging begynner med en minimal Klein flaske midt i den 3-sfæren, som ble oppdaget av Blaine Lawson. Vi så ta halvparten av dette Klein flaske for å få et Möbius-båndet som er innebygd i 3-sfæren (enhet sfære 4-plass)., Resultatet er noen ganger kalt «Sudanske Möbius-Båndet», der «sudanske» refererer ikke til land som Sudan, men til navnene på to topologists, Sue Goodman og Daniel Asimov. Søker stereografisk projeksjon til den Sudanske bandet plasserer den i tre-dimensjonale rommet, som kan sees nedenfor – en versjon på grunn av George Francis kan bli funnet her.

Fra Lawson er minimal Klein flaske vi utlede en innebygging av bandet i 3-sphere S3, regnes som en undergruppe av C2, som er geometrisk det samme som R4., Vi kart vinkler η, φ til komplekse tall z1, z2 via

z 1 = sin ⁡ η e jeg φ {\displaystyle z_{1}=\synd \eta \,e^{i\varphi }} z 2 = cos ⁡ η e jeg φ / 2 . {\displaystyle z_{2}=\cos \eta \,e^{i\varphi /2}.}

for Å få en embedding av Möbius bånd i R3 et kart S3 til R3 via en stereografisk projeksjon. Projeksjon punktet kan være hvilket som helst punkt på S3 som ikke ligger på den innebygde Möbius bånd (dette utelukker alle de vanlige projeksjon poeng). Ett mulig valg er { 1 / 2 , i / 2 } {\displaystyle \left\{1/{\sqrt {2}},jeg/{\sqrt {2}}\right\}} ., Stereografisk anslag kart sirkler til kretser og bevarer den sirkulære grensen av the strip. Resultatet er en jevn innebygging av Möbius bånd i R3 med en rund kant og ingen selv-kryss.

Den Sudanske Möbius-båndet i tre-sfæren S3 er en geometrisk fiber pakken over en stor sirkel, der fibrene er store halvsirkler. Den mest symmetrisk bilde av en stereografisk projeksjon av dette bandet i R3 er innhentet ved hjelp av en projeksjon punkt som ligger på stor sirkel som går gjennom midtpunktet av hver av halvsirkler., Hvert valg av en slik projeksjon punkt resulterer i et bilde som er sammenfallende for alle andre. Men fordi en slik projeksjon point ligger på Möbius-båndet selv, er to sider av bildet er vesentlig forskjellig fra tilfelle (illustrert ovenfor), der poenget er ikke om bandet: 1) bildet i R3 er ikke fullstendig Möbius-bånd, men heller bandet med ett poeng fjernet (fra senterlinje); og 2) bildet er fantastisk – og som det blir stadig langt fra opprinnelsen av R3, er det i økende grad er tilnærmet lik et fly., Men denne versjonen av stereografisk bildet har en gruppe på 4 symmetrier i R3 (det er isomorphic til Klein 4-gruppe), som sammenlignet med avgrenset versjon illustrert over å ha sin gruppe av symmetrier unik gruppe av orden 2. (Hvis alle symmetrier og ikke bare orientering-å bevare isometries av R3 er tillatt, antall symmetrier i hvert enkelt tilfelle dobles.)

Men den mest geometrisk symmetrisk versjon av alt er den opprinnelige Sudanske Möbius-båndet i tre-sfæren S3, hvor full gruppe av symmetrier er isomorphic å Ligge i gruppe O(2)., Å ha en uendelig cardinality (som av kontinuum), dette er langt større enn den symmetrien gruppen av alle mulige innebygging av Möbius-båndet i R3.

Projektiv geometryEdit

ved Hjelp av projektiv geometri, en åpen Möbius-båndet kan beskrives som et sett av løsninger til et polynom ligningen. Legge til et polynom ulikhet resulterer i en lukket Möbius-bånd. Disse knytter seg Möbius bånd til geometrien på linje bunter og drift av blåser opp i algebraisk geometri.

= { ( En λ , λ B ) : λ ∈ R ∖ { 0 } } ., {\displaystyle =\{(\lambda-En,\lambda B):\lambda \i \mathbf {R} \setminus \{0\}\}.}

En realisering av et åpent Möbius-båndet er gitt ved å sette

M = { ( ( x , y)) ∈ R 2 × R P 1 : A x = B y } . {\displaystyle M=\{((x,y),)\i \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=Av\}.,} M ‘= { ( ( x , y)) ∈ R 2 × R P 1 : A x = B y , B ≠ 0 } = { ( x , y , m ) ∈ R 3 : m x = y } , {\displaystyle {\begin{justert}M’&=\{((x,y),)\i \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=Av,\ B\neq 0\}\\&=\{(x,y,m)\i \mathbf {R} ^{3}:mx=y\},\end{justert}}}

hvor m tilsvarer A / B {\displaystyle A/B} .

Det er en erkjennelse av den lukkede Möbius-båndet som et tilsvarende sett, men med en ekstra ulikhet for å opprette en grense:

N = { ( ( x , y)) ∈ R 2 × R P 1 : A x = B y , x 2 + y 2 ≤ 1 } ., {\displaystyle N=\{((x,y),)\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=By,\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}.}