Over 2000 år siden av den greske matematikeren Euklids kom opp med en liste på fem postulater som han trodde geometri bør bygges. En av dem, den femte, var tilsvarende en uttalelse vi er alle kjent med at vinklene i en trekant legge opp til 180 grader. Imidlertid, dette postulatet ikke synes så tydelig som de fire andre på Euklids liste, så matematikere forsøkt å utlede den fra dem: for å vise at en geometri å adlyde de fire første postulater ville nødvendigvis adlyde den femte., Deres kamp fortsatte i århundrer, men de mislyktes. De fant eksempler på geometrier som ikke adlyder det femte postulatet.
Sfærisk geometri
Bilde: Lars H. Rohwedder.
Sfærisk geometri geometri er på en sfære. I sfærisk geometri de Euclidean ideen om en linje blir en stor sirkel, en sirkel av maksimal radius som strekker seg over rett rundt fattest del av sfæren. Det er ikke lenger sant at summen av vinklene i en trekant er alltid 180 grader., Veldig små trekanter vil ha vinkler å summere bare litt mer enn 180 grader (fordi, fra perspektivet til en svært liten trekant, på overflaten av en kule er nesten flat). Større trekanter vil ha vinkler summere seg til veldig mye mer enn 180 grader.
En morsom ting om hvor lang tid det tok å oppdage sfærisk geometri er at det er den geometri som holder på overflaten av Jorden!, Men vi har aldri virkelig merke, fordi vi er så små i forhold til størrelsen på Jorden, at hvis vi tegner en trekant på bakken, og måle vinkler, det beløp som summen av vinklene overstiger 180 grader er så små at vi ikke kan påvise det.
The sphere hva matematikere kalle positiv krumning, og dette gjør intuitiv følelse., Men det er en annen geometri som tar ting i den andre retningen:
Hyperbolsk geometri
Hyperbolsk geometri er ikke så lett å visualisere som sfærisk geometri fordi det ikke kan modelleres i tre-dimensjonale Euclidean plass uten forvrengning. En måte å visualisere det kalles Poincaré-plate.
Ta en rund plate, som en avgrenset av den blå sirkelen i figuren til høyre, og forestill deg en maur som lever i den., I Euclidean geometry den korteste veien mellom to punkter inne på at platen ligger langs en rett linje. I hyperbolsk geometri avstander er målt annerledes, slik at den korteste veien er ikke lenger sammen en Euclidean rett linje, men langs buen av en sirkel som står til grensen av platen i rett vinkel, som vist i rødt i figuren. En hyperbolsk ant ville oppleve straight-line banen som en omvei — den foretrekker å bevege seg langs buen på en slik sirkel.
En hyperbolsk trekant, der sidene er buer av disse halvsirkler, har vinkler som legger opp til mindre enn 180 grader., Alle de svarte og hvite figurer i figuren på venstre side, er hyperbolsk trekanter.
En konsekvens av denne nye hyperbolsk metrisk er at grensen sirkel av platen er uendelig langt borte fra synspunkt av hyperbolske ant. Dette er fordi beregningen forvrenger avstander med hensyn til den ordinære Euclidean en. Stier som ser den samme lengden i Euclidean beregningen er lenger i hyperbolsk metrisk jo nærmere de er til grensen sirkel., Figuren nedenfor viser en flislegging av hyperbolske plan med vanlig heptagons. På grunn av det forvrengte beregning av heptagons er alle av samme størrelse i hyperbolsk metrisk. Og som vi kan se ant ville trenge for å bla gjennom uendelig mange av dem for å komme til grensen circle — det er uendelig langt unna!
I motsetning til den sfære som med sin positive kurvatur, det hyperbolske plan er negativt buet., Veldig små deler av det har den samme typen av kurvatur som saler: langs den ene retningen, og de ser ut som toppen av en fjellrygg, og langs en annen retning de ser ut som bunnen av en dal.
Bilde laget av David Wright.
Hyperbolsk geometri kan se ut som en fantasifull matematiske konstruere men den har real-life bruker. Når Einstein utviklet sin spesielle relativitetsteori i 1905 fant han at symmetrier av hyperbolsk geometri var akkurat det han trengte for å formulere teorien., I dag matematikere tror at hyperbolsk geometri kan bidra til å forstå stort nettverk som Facebook eller Internett.
Du kan lese mer om hyperbolsk geometri i non-Euclidean geometry og Indra ‘ s perler.