Vis Mobile Merke Vis Alle Notater Skjule Alle Notater

– Del 5-3 : Dot Product

noen Ganger prikk-produktet er kalt skalar produktet. Prikk-produktet er også et eksempel på en indre produkt og så til tider kan du høre det som kalles en indre produktet.

Her er noen egenskaper av prikk-produktet.

Egenskaper

bevisene av disse egenskapene er for det meste «computational» bevis og så skal vi bare gjøre et par av dem, og overlate resten til deg å bevise.,

Bevis på \(\vec u\centerdot \left( {\vec v + \vec w} \right) = \vec u\centerdot \vec v + \vec u\centerdot \vec w\)

Bevis på : Hvis det er \(\vec v\centerdot \vec v = 0\) da er \(\vec v = \vec 0\)

Vi kan da ha følgende teorem.

Teorem

Bevis

formelen fra dette teoremet er ofte ikke brukes til å beregne en prikk produkt, men i stedet for å finne vinkelen mellom to vektorer., Merk også at mens skisse av to vektorer i beviset er for to-dimensjonale vektorer teoremet gjelder for vektorer av en hvilken som helst dimensjon (så lenge de har samme dimensjon selvfølgelig).

La oss se på et eksempel på dette.

prikk-produktet gir oss en veldig fin metode for å avgjøre om to vektorer som står vinkelrett og det vil gi en annen metode for å avgjøre når to vektorer er parallelle. Merk også at ofte vil vi bruke begrepet ortogonale i stedet for vinkelrett.

Nå, hvis to vektorer er ortogonale da vet vi at vinkelen mellom dem er 90 grader., Fra \(\eqref{eq:eq2}\) dette forteller oss at hvis to vektorer er ortogonale deretter

\

på samme måte, hvis to vektorer er parallelle da er vinkelen mellom dem er enten 0 grader (peker i samme retning) eller 180 grader (som peker i motsatt retning). Igjen bruke \(\eqref{eq:eq2}\) dette ville bety at en av de følgende ville ha til å være sant.

\

Det er flere fine programmer av prikk-produktet så godt at vi bør se på.,

Anslag

Det er en fin formel for å finne projeksjon av \(\vec b\) til \(\vec a\). Her er det,

Merk at vi også må være veldig forsiktig med notasjon her. Projeksjon av \(\vec a\) til \(\vec b\)er gitt ved

\

Her er et eksempel.

For å sammenligne la oss gjøre det den andre veien rundt så vel.

Som vi kan se fra de to foregående eksemplene de to anslagene er forskjellig, så du må være forsiktig.,

Retning Cosines

Dette programmet av dot produktet krever at vi er i tre-dimensjonale rommet i motsetning til alle de andre programmene vi har sett på til dette punktet.

Her er en skisse av en vektor og retning vinkler.

formler for retning cosines er,

La oss kontrollere den første punktum produktet ovenfor. Vi vil overlate resten til deg for å bekrefte.

\

Her er et par fine fakta om retningen cosines.

La oss gjøre et raskt eksempel involverer retning cosines.