Du kan huske fra algebra og matematisk analyse som en funksjon kan være en-til-en og på, og disse egenskapene er knyttet til hvorvidt funksjonen er invertible. Vi skal nå gå gjennom disse viktige ideer. I avansert matematikk, ordet injective er ofte brukt i stedet for en-til-en, og surjective er brukt i stedet for inn. Her er den eksakte definisjoner:

Nedenfor er en visuell beskrivelse av Definisjonen 12.4., I hovedsak, injective betyr at ulike elementer i En alltid bli sendt til ulike elementer i B. Surjective betyr at hvert element i B har en pil som peker til det, som er, det er lik f(a) for noen a i domenet av f.

Det er fire mulige injective/surjective kombinasjoner som en funksjon kan ha. Dette er illustrert nedenfor for fire funksjoner \(A \rightarrow B\). Funksjoner i den første kolonnen er injective, de i den andre kolonnen er ikke injective. Funksjoner i den første raden er surjective, de i den andre raden er ikke.,

Vi oppmerksom på i forbifarten at, i henhold til definisjonene, en funksjon er surjective hvis og bare hvis dens codomain er lik dens rekkevidde.

Hvordan for å vise en funksjon \(f : A \rightarrow B\) er injective:

Av disse to tilnærmingene, den contrapositive er ofte den enkleste å bruke, spesielt hvis f er definert ved en algebraisk formel. Dette er fordi contrapositive tilnærming starter med ligningen \(f(a) = f(a’)\), og fortsetter med å ligningen \(a = a’\). I algebra, som du vet, det er vanligvis lettere å jobbe med ligninger enn ulikhetene.,

Hvordan for å vise en funksjon \(f : A \rightarrow B\) er surjective:

Tenk \(b \B\).

Trening \(\PageIndex{1}\)

La \(A= \{1,2,3,4\}\), og \(B = \{a,b,c\}\). Gi et eksempel på en funksjon \(f : A \rightarrow B\), som er verken injective heller surjective.,

Exercise \(\PageIndex{2}\)

Exercise \(\PageIndex{3}\)

Exercise \(\PageIndex{4}\)

Exercise \(\PageIndex{5}\)

Exercise \(\PageIndex{6}\)

Exercise \(\PageIndex{7}\)

Exercise \(\PageIndex{8}\)

Exercise \(\PageIndex{9}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R}-\{5\}\) defined by \(f(x)= \frac{5x+1}{x-2}\) is bijective.

Exercise \(\PageIndex{10}\)

Prove the function \(f : \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}\) defined by \(f(x) = (\frac{x+1}{x-1})^{3}\) is bijective.,

Exercise \(\PageIndex{11}\)

Exercise \(\PageIndex{12}\)

Exercise \(\PageIndex{13}\)

Exercise \(\PageIndex{14}\)

Exercise \(\PageIndex{15}\)

Exercise \(\PageIndex{16}\)

Exercise \(\PageIndex{17}\)

Exercise \(\PageIndex{18}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) defined as \(f (n) = \frac{(-1)^{n}(2n-1)+1}{4}\) is bijective.