모든 일반 단순 다각형(단순 다각형은 어디에서나 교차하지 않는 다각형 임)은 볼록합니다. 같은 수의면을 가진 사람들도 비슷합니다.
n 면 볼록 정다각형은 Schläfli 기호{n}로 표시됩니다. N<3 의 경우 두 가지 퇴화 사례가 있습니다.
Monogon{1}일반 공간에서 퇴화. (가장 권위지 관 monogon 으로 진정한 다각형,부분적으로 있기 때문에 이며,또한이 때문에 수식 아래에 작동하지 않는지,그리고 그 구조는 그의 추상적 다각형.,)Digon{2};”이중 선분”은 일반 공간에서 퇴화합니다. (일부 당국은이 때문에 디곤을 진정한 다각형으로 간주하지 않습니다.)
특정 컨텍스트에서 고려 된 모든 다각형은 규칙적입니다. 이러한 상황에서는 접두사를 규칙적으로 떨어 뜨리는 것이 일반적입니다. 예를 들면,모든 얼굴의 균일 한 다면체는 정기적으로해야합하고 얼굴을 설명한 단순히으로 삼각형,사각형,오각형,등등.,
AnglesEdit
에 대한 정기적인 볼록한 n-gon,각각의 인테리어 각도의 측정:
180(n−2)n{\displaystyle{\frac{180(n-2)}{n}}}도;(n−2)π n{\displaystyle{\frac{(n-2)\pi}{n}}}라디안,또는(n−2) 2n{\displaystyle{\frac{(n-2)}{2n}}}전체 회전,
n 기가 내부 각도 접근 180degrees. 10,000 면(myriagon)이있는 정다각형의 경우 내부 각도는 179.964°입니다. 변의 수가 증가함에 따라 내부 각도는 180°에 매우 가깝게 올 수 있으며 다각형의 모양은 원의 모양에 접근합니다., 그러나 다각형은 결코 원이 될 수 없습니다. 원주가 효과적으로 직선이되기 때문에 내부 각도의 값은 180°와 정확히 같아 질 수 없습니다. 이러한 이유로 원은 무한한 수의 변을 가진 다각형이 아닙니다.
DiagonalsEdit
정규 n-gon 에 새겨진 장치-반경 서클,제품의 거리에게 주어진에서 꼭지점이 다른 모든 꼭지점을(를 포함하여 꼭지점과 인접한 정점에 의해 연결된 대각선)같 n.,
포인트에서 planeEdit
에 대한 정기적인 간단한 n-gon 와 circumradius R 거리 di 에서 임의의 점에서 이 비행기를 꼭지점,우리가
∑i=1n d i4n+3 4=(∑i=1n d i2n+R2)2. {\displaystyle{\frac{\sum_{i=1}^{n}d_{i}^{4}}{n}}+3r^{4}=\left({\frac{\sum_{i=1}^{n}d_{i}^{2}}{n}}+R^{2}\right)^{2}.,2k{\displaystyle S_{n}^{(2m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum_{k=1}^{\lfloor{\frac{m}{2}}\rfloor}{\binom{m}{2k}}{\binom{2k}{k}}R^{2k}(S_{n}^{(2)}-R^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}},
S n(2m)=(S n(2))m+물 k=1⌊m2⌋1 2k(m2k)(2k k)(S n(4)−(S n(2))2)k(S n(2)) m−2k{\displaystyle S_{n}^{(2m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum_{k=1}^{\lfloor{\frac{m}{2}}\rfloor}{\frac{1}{2^{k}}}{\binom{m}{2k}}{\binom{2k}{k}}(S_{n}^{(4)}-(S_{n}^{(2)})^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}},
어디 m{\displaystyle m}은 양의 정수 값보다 적 n{\displaystyle n}.,
경 L{\displaystyle L}은 거리에서 임의의 점에서 이 비행기를 중심의 일반 n{\displaystyle n}곤과 circumradius R{\displaystyle R},다음
∑i=1n d i2m=n((R2+L2)m+∑k=1⌊m2⌋(m2k)(2k k) R2k L2k(R2+L2)m−2k){\displaystyle\sum_{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n((R^{2}+L^{2})^{m}+\sum_{k=1}^{\lfloor{\frac{m}{2}}\rfloor}{\binom{m}{2k}}{\binom{2k}{k}}R^{2k}L^{2k}(R^{2}+L^{2})^{m-2k})},
어디 m{\displaystyle m}=1,2,…,n{\displaystyle n}-1 입니다.,
인테리어 pointsEdit
정규 n-gon,합의 수직 거리에서 어떤 인테리어점 n 측 n 번 apothem:p. 72 조(이 apothem 는 중심에서 거리를 어떤 측면). 이것은 n=3 경우에 대한 Viviani 의 정리의 일반화입니다.,그리고 지역의 정다각형의 n 측면과 circumradius1 으로,베이스,b 의 직사각형과 같은 지역–그린 라인 사례를 보여 줍니다 n=6
circumradius R 중심에서 정기적으로 다각형의 하나의 정점은 관련된 측면 길이 들거나 apothem 에 의해
R=s2 죄(π n) =cos(π n){\displaystyle R={\frac{s}{2\죄\left({\frac{\pi}{n}}\right)}}={\frac{a}{\cos\left({\frac{\pi}{n}}\right)}}}
에 대한 통 다각형,대수적 표현을 위한 이러한 관계가 존재하는 참조 Bicentric 다각형#일반됩니다.,
정규 n-gon 의 꼭지점에서 circumcircle 에 접선하는 모든 선까지의 수직선의 합은 circumradius 의 n 배와 같습니다.:p.73
정규 n-gon 의 꼭지점에서 그 circumcircle 의 임의의 지점까지의 제곱 거리의 합은 2nr2 와 같습니다 여기서 R 은 circumradius 입니다.:p.73
합의 제곱에서 거리의 중간점의 일반 n-gon 에서 어떤 점에 함께 사는 2nR2−ns2/4 곳,s 부 길이와 R circumradius.:피., 나는 이것이 내가하는 일이 아니라는 것을 알고 있지만,나는 내가하는 일을 알고 있다고 생각한다.}^{2})^{2}=2n\sum_{i=1}^{n}d_{i}^{4}}.
DissectionsEdit
Coxeter 국는 모든 zonogon(2m 곤 누구의 반대편은 병렬하고 동일한 길이)할 수 있로 해부(n2){\displaystyle{\tbinom{n}{2}}}m(m-1)/2 개의 평행 사변형이다.이 기울기는 직교 투영 m-큐브의 정점,모서리 및면의 하위 집합으로 포함됩니다.,특히 이것은 균등하게 많은면을 가진 규칙적인 다각형에 해당되며,이 경우 평행 사변형은 모두 마름모꼴입니다.목록 OEIS:A006245 는 더 작은 다각형에 대한 솔루션 수를 제공합니다.,f 볼록한 정기적인 n-편들어진 다각형을 측 s,circumradius R,apothem 및 주변 p 에 의해 주어집
A=1 2n s=1 2p=1 4n s2 침대(π n)=n2 탄(π n)=1 2n R2 죄(2π n){\displaystyle A={\tfrac{1}{2}}nsa={\tfrac{1}{2}}pa={\tfrac{1}{4}}ns^{2}\침대\left({\tfrac{\pi}{n}}\right)=na^{2}\탄\left({\tfrac{\pi}{n}}\right)={\tfrac{1}{2}}nR^{2}\죄\left({\tfrac{2\pi}{n}}\오른쪽)}
의 비교 크기의 일반형과 동일한 가장자리 길이에서 세 가지를 순 측면입니다., 변의 수가 무한대에 접근함에 따라 바인딩되지 않고 크기가 증가합니다.
주어진 둘레를 가진 모든 n-gons 중에서 가장 큰 면적을 가진 것은 규칙적입니다.