방법 중 하나를 나타내 뫼비우스 스트립에 포함된 세 가지 차원 유클리드 공간에 매개 변수화:

x(u,v)=(1+v2cos⁡u2)cos⁡u{\displaystyle x(u,v)=\left(1+{\frac{v}{2}}\cos{\frac{u}{2}}\right)\cos u}y(u,v)=(1+v2cos⁡u2)죄⁡u{\displaystyle y(u,v)=\left(1+{\frac{v}{2}}\cos{\frac{u}{2}}\right)\죄 u}z(u,v) =v2 죄⁡u2{\displaystyle z(u,v)={\frac{v}{2}}\죄{\frac{u}{2}}}로그⁡(r)sin⁡(1 2θ)=z cos⁡(1 2θ)., {\displaystyle\log(r)\sin\left({\tfrac{1}{2}}\theta\right)=z\cos\left({\tfrac{1}{2}}\theta\right).}

넓은 등에 포함하는 3-spaceEdit

경우 부드러운 뫼비우스 스트립에서 세 가지 공간은 사각형 중 하나는 생성에서 식별하는 두 개의 반대면의 기하학적인 사각형으로 구부리는하지만 스트레칭 표면 그 다음은 포함하는 것으로 알려져 가능한 경우에는 비율의 직사각형보다 크 3{\displaystyle{\sqrt{3}}},짧은 측 확인합니다., (종횡비가 작 으면 부드러운 임베딩이 가능한지 여부는 알 수 없습니다. 로)비율 감소 3{\displaystyle{\sqrt{3}}},그러한 모든 포함하는 것에 접근하는 모양으로 생각할 수 있습의 스트립 세 가지 정삼각형,접에서 최고의 하나의 또 다른 점유하는 정삼각형.

뫼비우스의 경우 스트립에서 세 가지 공간은 한 번만 지속적으로 differentiable(C1 클래스),그러나,다음의 정리 Nash-카이퍼하지 않음을 보여줍 하이 존재합니다.,

의 방법을 만들기 뫼비우스 스트립에서는 직사각형 스트립이 너무 넓은 단순히 트위스트 및 가입하(예를 들어,사각형 중 하나만 단위는 길은 하나의 단위가 넓)은 첫 번째 배 넓은 방향으로 앞뒤로 사용하더라도 숫자의 주름이는”아코디언 접”—그래서 접 지구가 좁은 충분히 그것을 트위스트 할 수 있습과 참 많은 하나의 긴-충분한 지구하고 있습니다. 두 개의 주름,예를 들어,1×1 구가 될 것이라고 1×⅓접 스트립의 횡단면의 모양에서’N’남아있는’N’후 반다., 이 접힌 스트립,세 번 넓은만큼,다음 끝에 가입 할 수있을만큼 긴 것입니다. 이 방법은 원칙적으로 작동하지만 용지를 사용하는 경우 충분히 많은 주름 후에 실용적이지 않게됩니다. 를 사용하여 정상적인 종이,이 구조는 평평하게 접고,모든 층의 종이에 하나의 평면이지만,수학적으로,이것이 없이 가능한 스트레칭의 표면이 직사각형 명확하지 않습니다.,

TopologyEdit

뫼비우스 스트립은 두 개의 차원 컴팩트한 매니폴드(즉,표면)를 경계가 있습니다. 이것은 방향이 아닌 표면의 표준 예입니다. 사실,뫼비우스 스트립은 비 오리 엔테이션의 토폴로지 현상의 전형입니다., 이 때문에 두 차원 형상(표면)에는 가장 낮은 차원 형상에 대한 어떤 nonorientability 이 가능하며 뫼비우스 스트립은 표면적으로는 하위 공간의 모든 nonorientable 표면입니다. 그 결과,뫼비우스 밴드를 부분공간으로 포함하고 있는 경우에만 어떤 표면도 비경험적이다.

Möbius strip 은 섬유 묶음의 수학적 개념을 설명하는 데 사용되는 표준 예이기도합니다. 구체적으로,그것은 단위 간격,I=와 동일한 섬유를 가진 원 S1 위에 중요하지 않은 묶음입니다., Möbius 스트립의 가장자리 만 보면 s1 위에 중요하지 않은 두 점(또는 Z2)번들이 제공됩니다.

컴퓨터 graphicsEdit

간단한 건축의 뫼비우스 스트립하는 데 사용할 수 있는 묘사 그것은 컴퓨터 그래픽에서나 모델링 패키지입니다:

• 을 직사각형 스트립도 있습니다. 그 평면에없는 고정 점을 중심으로 회전하십시오. 모든 단계에서 또한 평면(스트립을 두 개로 나누는 선)과 주 궤도 반경에 수직 인 선을 따라 스트립을 회전시킵니다. 하나의 완전한 혁명에서 생성 된 표면은 뫼비우스 스트립입니다.,
• Möbius 스트립을 가져 와서 스트립 중간을 따라 자릅니다. 이 형성하고 새로운 스트립 직사각형에 가입하여 회전 한쪽 끝을 전체 차례입니다. 다시 중간 아래로 자르면 두 개의 연동 전체 회전 스트립이 형성됩니다.

개방된 뫼비우스 반데디트의 형상

일정한 양,음 또는 영(가우시안)곡률의 표면으로 구성될 수 있다., 의 경우에 부정적인 영 곡률,뫼비우스 밴드로 구성될 수 있습(geodesically)완벽한 표면의 모든 하 geodesics(“스트레이트 라인”표면에)연장될 수 있는 무기한 어느 방향에서.

일정한 부정적인 곡률:기와 열기 실린더,오픈 뫼비우스 밴드가 인정 뿐만 아니라 완벽한 미터의 곡률이 0 이지만,또한 완벽한 미터의 부정적인 곡률,말-1 입니다., 방법 중 하나 이를 시작으로 상반기(Poincaré)모델의 쌍곡면 ℍ,즉 ℍ={(x,y)∈ℝ2|y>0}Riemannian 통계에 의해 주어진(dx2+dy2)/y2. 방향 유지 isometries 의 이 미터는 모든 맵 f:ℍ→ℍ 의 양식을 f(z):=(az+b)/(cz+d),a,b,c,d 는 실제 만족하는 숫자 광고−bc=1. 여기에는 복잡한 수 Im(z)>0,고 우리는 식별 ℍ 와{z∈ℂ|Im(z)>0}부여 Riemannian 측정하는 언급되었습니다., 다음 중 하나 방향을 반전하는 아이소메트리 g ℍ 에 의해 주어진 g(z):=−z,z 을 나타내는 복잡한 공액의하였습니다. 이러한 사실을 의미하는 매핑 h:ℍ→ℍ 에 의해 주어진 시간(z):=-2⋅z 방향을 반전하는 아이소메트리의 ℍ 생성하는 무한한 순환 그룹 G isometries. (H(z)=(√2i z+0)/(0z−I/√2)로 표현 될 수 있으며,그 제곱은 등척성 h(h(z)):=4⋅z,이는(2z+0)/(0z+1⁄2)로 표현 될 수있다.)이 그룹의 행동의 지수 ℍ/G 는 위상 적으로 뫼비우스 밴드임을 쉽게 알 수 있습니다., 그러나 일정한 음의 곡률이-1 과 같고 완전하고 비 컴팩트하다는 것을 확인하는 것도 쉽습니다.

이 뫼비우스 밴드의 아이소메트리 그룹은 1 차원이며 특수 직교 그룹 SO(2)와 동형이다.

(일)영 곡률:이될 수도 있습으로 구축 완료,표면 의 시작 부분의 비행기 R2 에 의해 정의된 0≤y≤1 과 확인(x,0)가(−x1)에 대한 모든 x R(레알). 결과 측정하게 열리 뫼비우스 밴드(geodesically)완전한 평평한 표면(즉,데 Gaussian curvature0everywhere)., 이것은 균일 한 스케일링까지 뫼비우스 밴드의 유일한 미터법이며,이는 평평하고 완전한 것입니다.

이 뫼비우스 밴드의 아이소메트리 그룹은 1 차원이며 직교 그룹과 동형이므로(2).

일정한 긍정적인 곡률:뫼비우스 밴드의 일정한 긍정적인 곡률할 수 없는 완료 이후,그것이 알려져 있는 유일한 완벽한 표면의 일정한 긍정적인 곡면은 영역과 투영기입니다., 투영기 P2 의 곡률이+1 생성할 수 있습으로 다수의 단위 구 S2 에 R3 에 의해 요도:S2→S2,에 의해 정의(x,y,z)=(x,y,−z). 열린 뫼비우스 밴드는 한 번 구멍이 뚫린 투영 평면,즉 어느 한 점이 제거 된 P2 와 동형입니다. 이 될 수 있다는 생각으로 가장 가까운 것은 뫼비우스 밴드의 일정한 긍정적인 곡률을 얻을 수 있는 완벽한 표면 단지 하나의 포인트다.

이 뫼비우스 밴드의 아이소메트리 그룹은 또한 1 차원이며 직교 그룹 O(2)와 동형이다.,

평면에서 정렬되지 않은 선의 공간은 열린 뫼비우스 밴드에 diffeomorphic 입니다. 이유를 보려면 L(θ)이 원점을 통과하는 선을 양의 x 축에 대한 각도 θ 로 표시하게하십시오. 각 L(θ)에 대해 l(θ)에 수직 인 평면의 모든 선의 패밀리 P(θ)가 있습니다. 위상 적으로 패밀리 P(θ)는 단지 선일뿐입니다(P(θ)의 각 선은 단 하나의 점에서 선 L(θ)과 교차하기 때문에). 이 방법으로,0°≤θ<180°범위에서 θ 가 증가함에 따라 l(θ)선은 평면에서 고유 한 선의 가치를 나타냅니다., 그러나 θ 가 180°에 도달하면 L(180°)은 L(0)과 동일하므로 수직선의 패밀리 P(0°)와 P(180°)도 동일한 패밀리입니다. 그러나 l(0°)선은 l(180°)이 반대 방향을 가리키면서 그 자체로 돌아 왔습니다. 모든 라인에서 비행기에 해당하고 정확하게 한 줄에 약간 가족 P(θ),에 대한 정확히 하나의 θ,0°≤θ<180°f(180°)동일 P(0 도)지만 반환을 지적했습니다. 이것은 평면의 모든 선의 공간–0°≤θ≤180°에 대한 모든 L(θ)의 결합–이 열린 뫼비우스 밴드임을 보장합니다.,

그룹의 bijective 선형 변환 GL(2R)비행기의 자체적(실제 2×2 행렬과 비로 결정자)자연적으로 유도 bijections 의 공간의 라인 비행기에서 자신을 형성하는 그룹의 자 homeomorphisms 의 공간의 라인입니다. 따라서 동일한 그룹은 이전 단락에서 설명한 뫼비우스 밴드의 자기 동종 형성의 그룹을 형성합니다. 그러나 동종 이 그룹의 작용하에 불변의 평면의 선 공간에 대한 메트릭은 없습니다. 이러한 의미에서,평면에있는 선의 공간에는 그것에 자연 메트릭이 없습니다.,

즉 뫼비우스 밴드를 소유한 자연한 4 차원의 거짓말을 그룹의 자 homeomorphisms,에 의해 주어진 GL(2R)지만,이 높은 수준의 대칭할 수 없는 전시로 그룹의 isometries 의 모든 지표입니다.

뫼비우스 밴드와 함께 라운드 boundaryEdit

,가장자리 또는 경계의 뫼비우스 스트립 homeomorphic(위상적 동등한)원. 위와 같이 유클리드 공간에서 스트립의 일반적인 임베딩 아래에서 경계는 진정한 원이 아닙니다., 그러나 경계가 어떤 평면에 놓여있는 완벽한 원이되도록 3 차원으로 뫼비우스 스트립을 포함시키는 것이 가능합니다. 예를 들어”기하학과 상상력”의 그림 307,308 및 309 를 참조하십시오.

훨씬 더 많은 기하학적함으로 시작을 최소화 Klein 병에 몰두 3-구체에 의해 발견되는 블레인 Lawson. 그런 다음이 클라인 병의 절반을 가져 와서 3 구(4 구의 단위 구)에 포함 된 뫼비우스 밴드를 얻습니다., 결과는 때때로”라는 수단 뫼비우스 밴드”,여기서”수단”을 의미하지 않는 나라는 수단이나 이름의 두 가지 상관,슈 Goodman 고 다니엘 아시모프. 적용 입체를 투영 수단 밴드 장소에서는 삼차원 공간으로 볼 수 있는 아래는 버전으로 인해 조지 프란시스는 여기에서 찾을 수 있습니다.

Lawson 의 최소 Klein 병에서 우리는 r4 와 기하학적으로 동일한 c2 의 하위 집합으로 간주되는 3 구 S3 에 밴드의 임베딩을 유도합니다., 우리는

z1=sin⁡ η e i φ{\displaystyle z_{1}=\sin\eta\,e^{i\varphi}}z2=cos⁡ η e i φ/2 를 통해 각도 η,φ 를 복소수 z1,z2 로 매핑합니다. {\displaystyle z_{2}=\cos\eta\,e^{i\varphi/2}.}

R3 에서 뫼비우스 스트립의 임베딩을 얻기 위해 하나는 입체 투영을 통해 S3 를 R3 에 매핑합니다. 프로젝션점이 될 수 있습의 모든 지점에 S3 거짓말을하지 않는다는 것에 포함된 뫼비우스 스트립(이 규칙의 모든 일반적인 투사 포인트). 하나의 가능한 선택은{1/2,i/2}{\displaystyle\left\{1/{\sqrt{2}},i/{\sqrt{2}}\right\}}입니다., 입체 투영은 원을 원으로 매핑하고 스트립의 원형 경계를 유지합니다. 그 결과 Möbius 스트립을 원형 가장자리와 자체 교차점이없는 r3 에 부드럽게 삽입합니다.

3 구 S3 의 수단 뫼비우스 밴드는 기하학적으로 섬유가 큰 반원 인 큰 원 위에 섬유 묶음입니다. 가장 대칭 이미지 입체 프로젝션의 이 밴드로 R3 에 의해 얻어진을 사용하여 프로젝션점에 자리 잡고있는 위대한 원형을 통해 실행의 지점의 각 반원., 이러한 투영 지점의 각 선택은 다른 어떤 것과 일치하는 이미지를 초래합니다. 그러나 때문에 이런 프로젝션점에 뫼비우스 밴드,자신의 두 가지 측면이 이미지는 크게 다를 경우(위의 그림)는 점은 밴드에:1)이미지에 R3 되지 않습니 뫼비우스 밴드이지만,오히려와 함께 밴드를 하나의 포인트 제거(에서 중앙선);그리고 2)이미지가 제한적이지 않고 그대로 가져오는 점점 더 멀리에서 원산지의 R3,그것은 점점 더 근접 비행기., 아직 이전 버전의 입체 이미지는 그룹의 4 대칭에서 R3(그 isomorphic Klein4-그룹),에 비해 제한 버전이 위의 그림과 같이 그 그룹의 대칭성 독특한 그룹의 순서 2. (R3 의 방향 보존 등심뿐만 아니라 모든 대칭성이 허용되는 경우 각 경우의 대칭 수는 두 배가됩니다.)

하지만 대부분의 기하학적으로 대칭 버전의 모든 원래는 수단 뫼비우스 밴드에 세 구 S3,그것의 전체 그룹의 대칭 isomorphic 거짓말을 그룹 O(2)., 무한 카디널리티(연속체의 것)를 가짐으로써,이것은 R3 에서 뫼비우스 밴드의 가능한 임베딩의 대칭 그룹보다 훨씬 큽니다.

투영 geometryEdit

를 사용하여 사영기하학,열린 뫼비우스 밴드로 설명 될 수있는 설정의 솔루션을 수학. 다항식 불평등을 추가하면 닫힌 뫼비우스 대역이 생깁니다. 이것들은 뫼비우스 밴드를 선 묶음의 기하학과 대수 기하학에서 폭파하는 작업과 관련시킵니다.

={(λ A,λ B):λ∈R∖{0}}., {\displaystyle=\{(\lambda A,\lambda B):\lambda\in\mathbf{R}\setminus\{0\}\}.}

열린 뫼비우스 밴드의 실현은 세트

M={((x,y),)∈R2×R P1:a x=B y}에 의해 주어진다. {\displaystyle M=\{((x,y),)\in\mathbf{R}^{2}\times\mathbf{RP}^{1}:ax=By\}.,}M’={((x,y))∈R2×P R1:x B=y,B≠0}={(x,y,m)∈R3:m x=y},{\displaystyle{\을 시작{정렬}M’&=\{((x,y))\\에서 mathbf{R}^{2}\번\mathbf{RP}^{1}:Ax=여,\B\neq0\}\\&=\{(x,y,m)\\에서 mathbf{R}^{3}:mx=y\},\끝{정렬}}}

어디 m 에 해당하는 A/B{\displaystyle A/B}.

가의 실현 폐 뫼비우스 밴드로 유사한 설정이지만,추가로하는 불평등의 경계를 만드:

N={((x,y))∈R2×P R1:x B=y,x2+y2≤1}., {\displaystyle N=\{((x,y),)\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=By,\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}.}