이 섹션에서는 standing wave 의 대표적인 1 차원 및 2 차원 사례를 고려합니다. 첫째,예를 들어의 길이 문자열을 보여주는 방법이 동일한 파도 여행에서는 반대 방향으로 간섭을 생산하는 서 파도입니다. 다음 두 가지 유한 길이 문자열의 예를 다른 경계 조건는 방법을 보여 주는 경계 조건을 제한하의 주파수를 형성할 수 있는 서 파도입니다. 다음으로,예의 소리에 있는 파 관는 방법을 보여 줍니다 같은 원리를 적용할 수 있는 종파와 유사한 경계 조건입니다.,

서있는 파는 2 차원 또는 3 차원 공진기에서도 발생할 수 있습니다. 으로 서있는 파도에서 두 차원의 막 등 drumheads,그림에서 애니메이션,위의 노드가 절선,표면에는 아무런 움직임이 없는 별도의 영역으로 진동 반대 단계입니다. 이러한 마디 선 패턴을 Chladni 피규어라고합니다. 악기 사운드 박스 및 마이크로 웨이브 캐비티 공진기와 같은 3 차원 공진기에는 마디 표면이 있습니다., 이 섹션에는 두 차원 서 파 예 직사각형의 경계를 설명을 연장하는 방법 개념을 더 높은 차원입니다.

서 웨이브에는 무한한 길이 stringEdit

로 시작하는 문자열의 길이를 무한 x 축을 따라 무료로 뻗어 횡 방향에 y 방향입니다.

에 대한 조화파로 여행하는 오른쪽을 따라 문자열,문자열의 변위 y 방향으로 함수로서의 x 위치와 시간 t

y R(x,t)=y max 죄⁡(2π x λ−ω t)., {\displaystyle y_{\text{R}}(x,t)=y_{\text{max}}\sin\left({2\pi x\over\lambda}-\omega t\right).}

변위 y 방향과 동일한 조화파 여행 왼쪽

y L(x,t)=y max 죄⁡(2π x λ+ω t),{\displaystyle y_{\text{L}}(x,t)=y_{\text{max}}\죄\left({2\pi x\통해\lambda}+\omega t\오른쪽)}

어디

• 표준을 사용하여 인터넷은 진폭 변위의의 문자열에 대한 각각 파,
• ω 은 각 주파수 또는 동등하게 2π 배 주파수 f,
• λ 의 파장합니다.,

에 대한 동일한 오른쪽 및 왼쪽 여행에서 파도 동일한 문자열로,총 변위 문자열의 합계의 예멘 아랍 공화국 yL

y(x,t)=y R+y L=y max 죄⁡(2π x λ−ω t)+y max 죄⁡(2π x λ+ω t). {\displaystyle y(x,t)=y_{\text{R}}+y_{\text{L}}=y_{\text{max}}\sin\left({2\pi x\over\lambda}-\omega t\right)+y_{\text{max}}\sin\left({2\pi x\over\lambda}+\omega t\right).}

Note that Equation (1) does not describe a traveling wave., 어떤 위치에서의 x,y(x,t)단순히 진동에 시간과 진폭에 따라 다 x 방향으로 2y max 죄⁡(2π x λ){\displaystyle2y_{\text{max}}\죄\left({2\pi x\통해\lambda}\right)}. 이 기사의 시작 부분에있는 애니메이션은 무슨 일이 일어나고 있는지 묘사합니다. 로 왼쪽 여행 블루 웨이브와 오른 여행하는 녹색 파동을 방해,그들은 형태로 서있는 물이지 않는 여행 대신 진동니다.

문자열은 무한 길이이므로 x 축을 따라 임의의 지점에서 변위에 대한 경계 조건이 없습니다., 그 결과,임의의 주파수에서 서 웨이브가 형성 될 수있다.

에 위치 x 축에도 여러 개의 분기에 파장을

x=…,−3λ2,−λ−λ2,0,λ2,λ,3λ2,…{\displaystyle x=\ldots,-{3\lambda\2},\;-\lambda\;-{\lambda\상 2},\;0,\;{\lambda\2},\;\lambda\;{3\lambda\2},\ldots}

진폭니다. 이러한 위치를 노드라고합니다., 는 위치의 x 축에는 홀수의 배수 분기에 파장을

x=…,−5λ4,−3λ4,−λ4,λ4,3λ4,5λ4,…{\displaystyle x=\ldots,-{5\lambda\4},\;-{3\lambda\4},\;-{\lambda\4},\;{\lambda\4},\;{3\lambda\4},\;{5\lambda\4},\ldots}

진폭이 최대한 값의 두 번의 진폭 오른쪽 및 왼쪽 여행파 방해하는 생산 이 서 파 패턴이다. 이러한 위치를 안티 노드라고합니다. 두 개의 연속 노드 또는 안티 노드 사이의 거리는 파장의 절반 인 λ/2 입니다.,

서 파 문자열을 가진 두 개의 고정 endsEdit

다음,고려의 문자열로 고정한 끝에서 x=0,x=L. 문자열이 있 감쇠로 뻗어 여행으로 파도,하지만 가정 댐핑은 매우 작습니다. 가정에서 x=0 고정된 최종 사인 곡선 강제 적용되는 드라이브 문자열 아래에 y 방향으로 작은 진폭에서 일부파 f. 이 상황에서,구동력을 생산하는 권리-여행파입니다., 는 파도에서 반사 오른쪽에 고정된 최종과 여행을 돌아,왼쪽을 반영이 다시 떨어져 왼쪽에 고정된 최종과 여행을 다시 오른쪽으로,그래서. 결국,정상 상태에 도달하는 문자열은 동일한 오른쪽 및 왼쪽 여행으로 파도에서의 무한한 길이의 경우 그리고 전력 소모에 의해 댐핑 문자열과 같은 전력에 의해 공급되는 원동력이 그래서 파도가 일정한 진폭이다.,

방정식(1)아직도 설명합니다 서 파 패턴을 형성 할 수있는 이 문자열을,하지만 지 방정식(1)에 따라 경계 조건 where y=0x=0,x=L 기 때문에 문자열로 고정됩 x=L 기 때문에 우리는 원동력정하 x=0 끝에 있는 작은 진폭이다. 두 끝에서 y 의 값을 확인하면

y(0,t)=0,{\displaystyle y(0,t)=0,}y(L,t)=2y max sin⁡(2π L λ)cos⁡(ω t)=0. {\displaystyle y(L,t)=2y_{\text{max}}\sin\left({2\pi L\over\lambda}\right)\cos(\omega t)=0.,}

지금까지 파동은 위치 x 와 시간의 함수로서 압력의 관점에서 작성되었습니다., 또한,파로 작성할 수 있습의 관점에서 그 길이 변위의 공기는 공기에 의 세그먼트는 파이프와 앞뒤로 움직이 약간 x 방향으로의 압력으로 다양하고 파도 여행 중 하나 또는 두 방향입니다. 변압차 및 세로 방향 변위 s 는 관련

Δ p=−ρ v2∂s∂x,{\displaystyle\Delta p=-\rho v^{2}{\frac{\부분 s}{\부분 x}},}

어디 ρ 밀도의 공기에 있습니다., 의 측면에서 종방향 변위,닫힌 끝나는 파이프의 노드에 해당하므로 공기의 움직임이 제한되고 열린 끝에 해당하는 안티-노드 이후 공기가 자유롭게 이동할 수 있습니다. 비슷하고 시각화하기 쉬운 현상은 스프링을 따라 전파되는 세로파에서 발생합니다.양단에서 닫힌 파이프를 고려할 수도 있습니다. 이 경우,양쪽 끝은 압력 방지 노드이거나 등가적으로 양쪽 끝은 변위 노드일 것이다., 이 예제는 이와 유사한 경우 양쪽 끝은 열기를 제외한 서 파 패턴은 π⁄2 단계 변화와 함께 x 방향을 변화의 위치 노드와 반대로 노드입니다. 예를 들어,가장 긴 파장 공명하는 기본 모드는 다시 길이의 두 배 관 것을 제외하고,끝까지 파이프 압력을 가지고 반대로 노드 대의 압력 노드입니다. 끝 사이에는 하나의 압력 노드가 있습니다., 의 경우 두 닫힌 끝나는 파장은 다시 제한된

λ=2L n,{\displaystyle\lambda={\frac{2}{n}},}n= 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n=1,2,3,\ldots,}

과 주파수가 다시 제한된

f=n v2L. {\displaystyle f={\frac{nv}{2L}}.}

루벤스의 튜브는 두 개의 닫힌 끝이있는 튜브에서 서있는 파도의 압력 변화를 시각화하는 방법을 제공합니다.,

2D 서 파 직사각형 boundaryEdit

다음,고려 가로 파도는 이동할 수 있습을 따라 두 개의 차원 표면에서 경계 직사각형의 길이 Lx x 방향과 길이 Ly y 방향입니다. 이러한 유형의 파도의 예는 풀의 물 파도 또는 팽팽하게 당겨진 직사각형 시트의 파도입니다. 파도는 z-방향으로 표면을 변위 시키며,z=0 은 정지 상태 일 때 표면의 높이로 정의됩니다.,

에서 두 개의 차원과 데카르트 좌표,파동 방정식이

∂2z∂t2=c2(∂2z∂x2+∂2z∂y2),{\displaystyle{\frac{\부분^{2}z}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac{\부분^{2}z}{\부분 x^{2}}}+{\frac{\부분^{2}z}{\부분 y^{2}}}\right),}

어디

• z(x,y,t)가 변위 표면의
• 애플리케이션은 다음과 같은 속도의 파입니다.

이 미분 방정식을 풀기 위해 먼저 푸리에 변환에 대해

Z(x,y,ω)=∫−∞ ∞z(x,y,t)e−i ω t d t 로 해결합시다., {\displaystyle Z(x,y,\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}z(x,y,t)e^{-i\omega t}dt.}

파동 방정식의 푸리에 변환을 취하면,

∂2Z∂x2+∂2Z∂y2=-ω2c2Z(x,y,ω). 나는 이것이 내가 할 수있는 유일한 방법이라고 생각한다.^{2}}}=-{\frac{\omega^{2}}{c^{2}}}Z(x,y,\omega).}

이것은 주파수가 주파수 별 모드 또는 고유 기능에 해당하는 고유 값에 해당하는 고유 값 문제입니다. 특히 이것은 헬름홀츠 방정식의 한 형태이며 변수의 분리를 사용하여 해결할 수 있습니다., 나는 이것을 할 수 없다. 나는 이것을 할 수 없다.}

헬름홀츠 방정식을 Z 로 나눈 값,

1X(x)∂2X∂x2+1Y(y)∂2Y∂y2+ω2c2=0. {\displaystyle{\frac{1}{X(x)}}{\frac{\partial^{2}X}{\partial x^{2}}+{\frac{1}{Y(y)}}{\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}}+{\frac{\omega^{2}}{c^{2}}}=0.}

이것은 두 개의 결합 된 일반 미분 방정식으로 이어진다. X 항은

1X(x)∂2x∂x2=(i k x)2 로 정의 할 수있는 x 와 관련하여 상수와 같습니다. {\displaystyle{\frac{1}{X(x)}}{\frac{\partial^{2}X}{\partial x^{2}}}=(ik_{x})^{2}.,}

X(x),

X(x)=A k x e i k x x+B k x e−i k x x 에 대한 해결. 나는 이것이 내가 할 수있는 유일한 방법이라고 생각한다.}

이 x-의존성은 사인 곡선–오일러의 공식을 불러옵니다-상수 Akx 와 bkx 는 경계 조건에 의해 결정됩니다., 마찬가지로,y 용어와 같은 일정한 대하여는 우리가 할 수 있습으로 정의

1Y(y)∂2Y∂y2=(i k y)2=k x2−ω2 2,{\displaystyle{\frac{1}{Y(y)}}{\frac{\부분^{2}Y}{\부분 y^{2}}}=(ik_{y})^{2}=k_{x}^{2}-{\frac{\오메가^{2}}{c^{2}}},}

과 분산과 관련한 물결에 따라서

ω=c k x2+k y2. {\displaystyle\omega=c{\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.}

y 항에 대한 미분 방정식을 풀면,

Y(y)=C k y e i k y y+D k y e−i k y y y. 나는 이것이 내가 할 수있는 유일한 방법이라고 생각한다.,}

곱하여 이러한 기능을 함께 적용하여 역 푸리에 변환,z 축(x,y,t)은 중첩의 모드가 어디에 각각의 모드 제품의 정현파 기능을 위한 x,y,t,

z(x,y,t)∼e±나는 k x x e±나는 k y y e±i ω t. {\displaystyle z(x,y,t)\sim e^{\pm ik_{x}x}e^{\pm ik_{y}y}e^{\pm i\omega t}.}

정확한 사인 곡선 함수를 결정하는 상수는 경계 조건과 초기 조건에 따라 다릅니다., 어떻게 보고 경계 조건이 적용됩니다,예를 들어 다음과 같은 장에는 팽팽 z(x,y,t)해야 합로 모든 직사각형의 경계가 있습니다. X 의존성의 경우 z(x,y,t)는 y 와 t 의 모든 값에 대해 x=0 과 x=Lx 모두에서 0 이 될 수있는 방식으로 달라야합니다.,기 이것을 만족하는 경계 조건입니다.

sin⁡k x x,{\displaystyle\죄{k_{x}x},}

와 kx 제한을

k x n=π L x n= 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle k_{x}={\frac{n\pi}{L_{x}}},\quad n=1,2,3,\점}

마찬가지로, y 의 의존성을 z(x,y,t)해야 합로 모두에서 y=0,y=Ly 는 만족해

sin⁡k y y,k y=m π L y m= 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle\죄{k_{y}y},\쿼드 k_{y}={\frac{m\pi}{L_{y}}},\쿼드 m=1,2,3,\점}

제한 파 숫자는 이러한 값으로도 제한하는 주파수를 공진.

ω=c π(n L x)2+(m L y)2., {\displaystyle\omega=c\pi{\sqrt{\left({\frac{n}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac{m}{L_{y}}}\right)^{2}}}.}

경우는 초기 조건 z(x,y,0)및 그 시간 유도체 ż(x,y,0)가 선택한 t-의존은 코사인 함수,다음 서 파도를 위해 이 시스템은 형태를 취

z(x,y,t)=z max 죄⁡(n π x L x)sin⁡(m π y L y)cos⁡(ω t). {\displaystyle z(x,y,t)=z_{\text{max}}\sin\left({\frac{n\pi x}{L_{x}}}\right)\sin\left({\frac{m\pi y}{L_{y}}}\right)\cos\left(\omega t\right).,}n=1,2,3,…m= 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\점\쿼드 m=1,2,3,\점}

도록,서 파이 고정된 직사각형의 경계에서 진동 시에는 특정한 공진 주파수를 매개 변수에 의해 정수 n m. 그들은 진동에서는 시간,그들은 여행을 하지 않고 그들의 공간의 변화는 사인 곡선에서 모두 x,y 방향으로 그런 그들을 만족하는 경계 조건입니다. 기본 모드 인 n=1 과 m=1 은 사각형의 중간에 단일 antinode 를가집니다., N 과 m 을 변화 시키면 직사각형 내부의 노드와 antinodes 의 복잡하지만 예측 가능한 2 차원 패턴이 제공됩니다.

주에서 분산 관계는 특정 상황에서는 다양한 의미를 다양한 조합의 n m–수 있습니다 울려와 동일한 주파수에서도 비록 그들이 다양한 모양의 x,y 에 대한 의존성을 보여주고 있다. 예를 들어 경계가 정사각형 인 경우 Lx=Ly,모드 n=1 및 m=7,n=7 및 m=1 및 n=5 및 m=5 는 모두

ω=c π L x50 에서 공진합니다. {\displaystyle\omega={\frac{c\pi}{L_{x}}}{\sqrt{50}}.}