2000 여 년 전에 그리스 수학자이자 유클리드 목록으로 서의 다섯 여긴다는 그는 생각 형상해야 합니다. 그 중 하나는,다섯 번째이었에 해당 문는 우리 모두가 잘:는 삼각형의 각도까지 추가 180degrees. 그러나,이러한 가정은 보이지 않았으로 명백한 기타 네에서 유클리드의 목록,그래서 수학자도 추론 그것에서 그들을 보여 그 형상이 순종 처음 네 가정이 반드시 순종에서 다섯 번째입니다., 그들의 투쟁은 수세기 동안 계속되었지만 결국 그들은 실패했습니다. 그들은 다섯 번째 가정에 복종하지 않는 기하학의 예를 발견했습니다.

구형 기하학

구형 지오메트리는 구상의 지오메트리입니다. 에 둥근 유클리드 기하학의 아이디어를 줄이는 것,원형의 최대 반지름에 걸친 바로 뚱뚱한 일부의 영역입니다. 삼각형의 각도의 합이 항상 180 도라는 것은 더 이상 사실이 아닙니다., 아주 작은 삼각형은이 각도의 합산을 보다 조금 더 많은 180 도(기 때문에,의 관점에서 매우 작은 삼각형,표면의 구체는 거의 편평한). 더 큰 삼각형은 180 도 이상으로 합산되는 각도를 갖게됩니다.

중 하나에 대한 재미있는 것은 시간의 길이는 걸 발견하는 둥근 형상은 그것이 기 보유하고의 표면에다., 그러나 우리는 정말 알 수 있기 때문에,우리는 그래서에 비해 작은 크기의 지구하는 경우 우리에 삼각형을 그릴,지상 및 측정의 각도는,양에 의하는 각도의 합을 초과하는 180 도 그래서 작은 우리를 검색할 수 없습니다.

구는 수학자들이 양의 곡률이라고 부르는 것을 가지고 있으며 이것은 직관적 인 의미가 있습니다., 하지만 다른 형상하는 것에서 다른 방향으로.

과장되는 형상

과장되는 형상하기 쉽지 않다는 것을 시각화으로 둥근 형상이기 때문에 그것을 모델링할 수 없에서 세 가지 차원 유클리드 공간을 왜곡없이. 그것을 시각화하는 한 가지 방법은 푸앵카레 디스크라고합니다.

을 원형 디스크처럼,하나에 의해 제한된 파란색 원에서 오른쪽 그림,그리고 상상 개미 내에서 생활습니다., 유클리드 기하학에서 그 디스크 내부의 두 점 사이의 최단 경로는 직선을 따라 있습니다. 에서 과장되는 형상의 거리를 측정하는 다르게 그래서는 가장 짧은 경로는 더 이상 따라 유클리드 직선으로만 개의 원을 충족하는 경계의 디스크에서 오른 각도로 하나에서 빨간색으로 표시됩니다. 쌍곡 ant 을 것이라고 스트레이트 라인 경로를 우회하는 것을 선호하 호를 따라 이동한다.

이 반원의 원호 인 쌍곡선 삼각형에는 최대 180 도 미만을 더하는 각도가 있습니다., 왼쪽 그림의 모든 흑백 모양은 쌍곡선 삼각형입니다.

중 하나의 결과는 이 새로운 쌍곡 메트릭는 경계는 원형 디스크의 무한히 멀리의 관점에서의 쌍곡선 ant. 이는 메트릭이 일반 유클리드 하나와 관련하여 거리를 왜곡하기 때문입니다. 유클리드 메트릭에서 동일한 길이로 보이는 경로는 경계 원에 가까울수록 쌍곡선 메트릭에서 더 길다., 아래 그림은 규칙적인 헵타곤에 의한 쌍곡선 평면의 기와를 보여줍니다. 왜곡 된 메트릭 때문에 헵타곤은 쌍곡선 메트릭에서 모두 같은 크기입니다. 고 우리가 볼 수 있듯이 개미는 것을 통과해야 할 궁극을 얻기 위해 그들 중 많은 사람들에게 경계는 원형 그것은 궁극적으로 지금까지다.

그 양의 곡률을 갖는 구와 대조적으로,쌍곡선 평면은 음으로 만곡된다., 아주 작은 영역의 동일한 형식의 곡으로 안장:중 하나를 따라 방향이,그들처럼 정상회의 산 능선을 따라 다른 방향으로 그들처럼 아래의 계곡입니다.

쌍곡선 기하학은 공상적인 수학적 구조처럼 보일 수 있지만 실제 용도가 있습니다. 아인슈타인은 자신의 개발한 특수 상대성 이론 1905 년에 그는 대칭성의 쌍곡선 형상이 정확히 무엇이 필요했을 공식화 이론이다., 오늘날 수학자들은 쌍곡선 기하학이 Facebook 이나 인터넷과 같은 대규모 네트워크를 이해하는 데 도움이 될 수 있다고 생각합니다.

비 유클리드 기하학과 인드라의 진주에서 쌍곡선 기하학에 대해 더 많이 읽을 수 있습니다.