すべての正単純多角形（単純多角形はどこにも交差しないものです）は凸です。 同じ辺の数を有するものも同様である。
n面凸正多角形は、そのシュレーフリ記号{n}で表されます。 N<3に対して、
モノゴン{1}が通常の空間で縮退する二つの縮退の場合があります。 （ほとんどの当局は、モノゴンを真のポリゴンとはみなさないが、部分的にはこのため、また以下の式が機能せず、その構造が抽象ポリゴンの構造ではないためである。,)Digon{2};”二重線分”は通常の空間で縮退する。 （一部の当局は、このためにディゴンを真のポリゴンとみなしていません。)
特定の文脈では、考慮されるすべてのポリゴンは規則的になります。 このような状況では、接頭辞regularを削除するのが通例です。 例えば、均一な多面体のすべての面は規則的でなければならず、面は単に三角形、正方形、五角形などとして記述される。,
AnglesEdit
正則凸n-gonに対して、それぞれの内角は次の測度を持つ：
180(n−2)n{\displaystyle{\frac{180(n-2)}{n}}}度;(n−2)≤n{\displaystyle{\frac{(n-2)\pi}{n}}}ラジアン;または(n−2)2n{\displaystyle{\frac{(n-2)}{2n}}}フルターン、
nが無限大に近づくにつれて、内部角度は180度に近づきます。 辺が10,000個の正多角形（ミリアゴン）の場合、内部角度は179.964°です。 辺の数が増えるにつれて、内部角度は180°に非常に近くなり、多角形の形状は円の形状に近づくことがあります。, しかし、多角形は円になることはありません。 円周が実質的に直線になるので、内部角度の値は180°に正確に等しくなることはありません。 このため、円は無限の辺の数を持つ多角形ではありません。
DiagonalsEdit
単位半径円に内接する正則n-gonに対して、与えられた頂点から他のすべての頂点（隣接する頂点および対角で接続された頂点を含む）までの距離の積はnに等しい。,
平面内の点
円周率Rを持ち、平面内の任意の点から頂点までの距離diを持つ通常の単純なn-gonに対して、
√i=1n d i4n+3R4=(√i=1n d i2n+R2)2が得られる。 {\displaystyle{\frac{\sum_{i=1}^{n}d_{i}^{4}}{n}}+3R^{4}=\left({\frac{\sum_{i=1}^{n}d_{i}^{2}}{n}}+R^{2}\right)^{2}。,2k{\displaystyle S_{n}^{(2m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum_{k=1}^{\lfloor{\frac{m}{2}}\rfloor}{\binom{m}{2k}}{\binom{2k}{k}}R^{2k}(S_{n}^{(2)}-R^{2})^{k}(S_{n}^{(2)}-R^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{k}(S_{n}^{(2)})^{k}(S_{n}^{(2)})^{k}(S_{n}^{(2)})^{k}(S_{n})}^{(2)})^{m-2k}},
および
S n(2m)=(S n(2))m+water k=1≤m2≤1 2k(m2k)(2k k)(S n(4)−(S n(2))2)k(S n(2))m-2k{\displaystyle S_{n}^{(2m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum_{k=1}^{\lfloor{\frac{m}{2}}\rfloor}{\frac{1}{2^{k}}}{\binom{m}{2k}}{\binom{2k}{k}}(S_{n}^{(4)}-(S_{n}^{(4)}-(S_{n})-(S_{n})-(S_{n})-(S_{n})-(S_{n})-(S_{n})-(S_{n})-(S_{n})-(S_{n})-(S_{n})-(S_{n})}^{(2)})^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}},
ここで、m{\displaystyle m}はn{\displaystyle n}より小さい正の整数である。,
L{\displaystyle L}が平面上の任意の点からサーカムラディウスR{\displaystyle R}を持つ正則n{\displaystyle n}-gonの重心までの距離であれば、
∑i=1n d i2m=n((R2+L2)m+∑k=1≤m2≤(m2k)(2k k)R2k L2k(R2+L2)m−2k){\displaystyle\sum_{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n((r^{2}+l^{2})^{m}+\sum_{k=1}^{\lfloor{\frac{m}{2}}\rfloor}{\binom{m}{2k}}{\binom{2k}{k}}r^{2k}l^{2k}(r^{2}+l^{2})^{m-2k})},
ここで、m{\displaystyle M}=1,2,…,n{\displaystyle n}-1。,
Interior pointsEdit
通常のn-gonの場合、任意の内部点からn辺までの垂直距離の合計は、apothemのn倍です：p.72（apothemは中心から任意の辺までの距離です）。 これはN=3の場合に対するVivianiの定理の一般化である。,それら、aと面積、n辺の正多角形のaとcircumradius1、同じ面積を持つ長方形の底辺b–緑の線は、n=6
正多角形の中心から頂点の一つまでのcircumradius Rは、辺の長さsまたは頂点aに関連している
R=s2sin(π n)=a cos(π n){\displaystyle R={\frac{s}{\frac{s}{\frac{s}{\frac{s}{\frac{s}{\frac{s}{\frac{s}{\frac{s}{\frac{s}{\frac{s}{\frac{s}{\frac{s}{\frac{s}{\frac{s}{\frac{s}{\frac{s}{\frac{s}{\frac{2\sin\left({\frac{\pi}{n}}\right)}}={\frac{a}{\cos\left({\frac{\pi}{n}}\right)}}}
構成可能なポリゴンについては、これらの関係に対する代数的表現が存在します。,
正規のn-gonの頂点から外接円に接する任意の線までの垂線の合計は、外接円のn倍に等しい。:p.73
正則n-gonの頂点から外接円上の任意の点までの二乗距離の合計は2nR2に等しく、Rは外接円です。:p.73
正則n-gonの辺の中点から外接円上の任意の点までの二乗距離の合計は2nR2−ns2/4であり、ここでsは辺の長さであり、Rは外接円である。：p., 73
3(√i=1n d i2)2=2n√i=1n d i4{\displaystyle3(\sum_{i=1}^{n}d_{i}^{2})^{2}=2n\sum_{i=1}^{n}d_{i}^{4}}。
DissectionsEdit
コクセターは、すべてのゾノゴン（反対側が平行で長さが等しい2m-gon）を(n2){\displaystyle{\tbinom{n}{2}}}またはm(m-1)/2平行四辺形に解剖できると述べている。これらのタイリングは、直交投影ｍキューブにおける頂点、辺および面のサブセットとして含まれる。,特に、これは、辺が均等に多い正多角形の場合に当てはまります。リストOEIS:A006245は、より小さな多角形の解の数を示します。,f凸通常のn-両面ポリゴンを側s,circumradius R,apothem、周囲pで与えられます
=1 2n s=1 2p a=1 4n s”簡易ベッド2(π n=n2tan(π n)=1 2n R2sin(2π n){\displaystyle A={\tfrac{1}{2}}nsa={\tfrac{1}{2}}pa={\tfrac{1}{4}}ns^{2}\簡易ベッド\left({\tfrac{\pi}{n}}\right)=na^{2}\タン\left({\tfrac{\pi}{n}}\right)={\tfrac{1}{2}}nR^{2}\sin\left({\tfrac{2\pi}{n}}\right)}
を比較サイズの正多角形の一端に長さらに寄与する。, 辺の数が無限大に近づくにつれて、サイズは束縛されずに増加します。
与えられた周囲を持つすべてのn-gonsのうち、最大の面積を持つものは規則的です。