一方を代表するMöbiusストリップに埋め込三次元ユークリッド空間のparametrization:

x(u,v)=(1+2v cos⁡u2)cos⁡u{\displaystyle x(u,v)=\left(1+{\frac{v}{2}}\cos{\frac{u}{2}}\right)\cos u}y(u,v)=(1+2v cos⁡u2)sin⁡u{\displaystyle y(u,v)=\left(1+{\frac{v}{2}}\cos{\frac{u}{2}}\right)\sin u}z(u,v) =v2sin⁡u2{\displaystyle z(u,v)={\frac{v}{2}}\sin{\frac{u}{2}}}ログ⁡(r)sin⁡(1 2θ)=z cos⁡(1 2θ)., {\displaystyle\log(r)\sin\left({\tfrac{1}{2}}\theta\right)=z\cos\left({\tfrac{1}{2}}\theta\right)。}

3空間における最も広い等尺性embeddingめ込み

三空間における滑らかなメビウスストリップが長方形のものである場合、すなわち曲がっているが表面を伸ばしていない幾何学的矩形の二つの反対側を識別することから作成される場合、そのような埋め込みは、長方形のアスペクト比が3{\displaystyle{\sqrt{3}}}より大きく、短い辺が識別される場合に可能であることが知られている。, （アスペクト比が小さい場合、滑らかな埋め込みが可能かどうかはわかりません。）アスペクト比が3{\displaystyle{\sqrt{3}}}に向かって減少するにつれて、そのような埋め込みは、三つの正三角形のストリップと考えることができる形状に近づくように見え、互いの上に折り畳まれて正三角形を占める。

しかしながら、三空間におけるメビウス帯が連続微分可能（C1類）であるならば、ナッシュ-カイパーの定理は下界が存在しないことを示す。,

メビウスストリップを長方形のストリップから広すぎて単にねじって接合する方法（例えば、長方形のみの長さと幅の長さ）は、まず偶数の折り目を使って広い方向を前後に折り畳むことである—”アコーディオンフォールド”—折り畳まれたストリップが十分に狭くなり、単一の十分な長さのストリップが接合できるようになる。 例えば、二つの折り目では、1×1のストリップは、断面が”N”の形をしており、半ねじれの後に”N”のままである1×π折り畳まれたストリップになる。, この折り畳まれたストリップは、三回限り、それが広いとして、その後、端部に結合するのに十分な長さになります。 この方法は原理的には機能しますが、紙を使用すると、十分に多くの折り目の後に実用的ではありません。 通常の紙を使用すると、この構造は平らに折り畳むことができ、紙のすべての層を単一の平面内に置くことができますが、数学的には、長方形の表面を,

TopologyEdit

メビウスストリップは、境界を持つ二次元コンパクト多様体（すなわち曲面）である。 これは、向き付けができない表面の標準的な例です。 実際、メビウスストリップは非方向性現象のトポロジカル現象の縮図である。, これは、二次元形状（表面）が非方向性可能な最低次元形状であり、メビウス帯がすべての非方向性曲面の位相的に部分空間である唯一の曲面である 結果として、任意の曲面が方向不可能であるための必要十分条件は、それが部分空間としてメビウス帯を含むことである。

メビウスストリップは、ファイバーバンドルの数学的概念を説明するために使用される標準的な例でもあります。 具体的には、ファイバーが単位区間I=に等しい円S1上の自明でないバンドルである。, メビウス帯の端だけを見ると、S1上の自明でない二点（またはZ2）束が得られる。

Computer graphicsEdit

コンピュータグラフィックスやモデリングパッケージでそれを描写するために使用できるメビウスストリップの簡単な構成は次のとおりです。

• 長方形のストリップを取ります。 その平面上ではない固定点の周りを回転させます。 すべてのステップで、ストリップをその平面上の線（ストリップを二つに分割する線）に沿って回転させ、主軌道半径に垂直に回転させます。 一つの完全な回転で生成された表面は、メビウスストリップです。,
• メビウスストリップを取り、ストリップの中央に沿ってそれをカットします。 これは、一方の端を回転させることによって結合された長方形である新しいストリップを形成する。 再び真ん中を切り落とすことによって、これは二つの連動の全回転ストリップを形成する。

開メビウスバンドの幾何学編集

これは、一定の正、負、またはゼロ（ガウス）曲率の曲面として構成することができる。, 負とゼロの曲率の場合、メビウス帯は（測地線的に）完全な曲面として構成することができ、これはすべての測地線（表面上の”直線”）がどちらの方向にも無限に拡張できることを意味する。

定数負曲率：平面や開円筒のように、開メビウス帯は定数曲率0の完全な計量だけでなく、定数負曲率の完全な計量、例えば-1を認める。, これを見る一つの方法は、双曲面Φの上半平面（ポアンカレ）モデル、すなわちΦ={(x,y)φ2|y>0}から始まり、(dx2+dy2)/y2で与えられるリーマン計量を用いることである。 この計量の向きを保存する等長は、f(z):=(az+b)/(cz+d)の形式の写像f:Π→Πであり、a,b,c,dはad−bc=1を満たす実数である。 ここで、zはIm(z)>0を持つ複素数であり、{z∈|Im(z)>0}でΛを同定した。, これらの事実は、h(z):=-2≤zによって与えられる写像h:Π→Πが、等長の無限巡回群Gを生成するΠの方向反転等長であることを意味する。 （これはh(z)=(√2i z+0)/(0z−I/√2)と表すことができ、その二乗は等長線量h(h(z)):=4√zであり、これは(2z+0)/(0z+1√2)と表すことができる。 この群の作用の商Φ/Gは、位相的にメビウス帯であることが容易に見ることができる。, しかし、それが-1に等しい一定の負の曲率を持つ完全で非コンパクトであることを確認することも簡単です。

このメビウス帯の等長群は1-次元であり、特殊直交群SO(2)に同型である。

（定数）ゼロ曲率：これは、平面R2の0≤y≤1で定義される部分から始まり、Rのすべてのx（実数）に対して（x,0）を（−x,1）と同一視することによって、完全曲面として構成することもできる。 結果として得られる計量は、開メビウスバンドを（測地的に）完全な平坦な曲面（すなわち、ガウス曲率がどこでも0に等しい）にする。, これはメビウスバンド上の唯一の計量であり、一様スケーリングまでであり、平坦かつ完全である。

このメビウスバンドの等長群は1次元であり、直交群SO(2)に同型である。

定数正曲率：定数正曲率のメビウスバンドは、定数正曲率の完全な表面が球と射影平面だけであることが知られているので、完全ではありません。, 一定曲率+1の射影平面P2は、R3における単位球面S2の商として、a(x,y,z)=(−x,−y,−z)で定義される対蹠写像A:S2→S2によって構成することができる。 開メビウス帯は、一度穿刺された射影平面、すなわち任意の一点を取り除いたP2に同相である。 これは、一定の正曲率のメビウスバンドが完全な曲面になることができる最も近いものと考えることができます：ただ一点離れています。

このメビウス帯の等長群もまた1次元であり、直交群O(2)に同型である。,

平面内の非方向線の空間は、開メビウス帯と微分同相である。 理由を確認するために、L（θ）は、正のx軸に対して角度θで原点を通る線を示します。 各L(λ)に対して、l(λ)に垂直な平面内のすべての直線の族P(λ)が存在する。 位相論的には、族P(λ)は単なる直線である（なぜなら、P(λ)の各直線は単なる点で直線L(λ)と交わるからである）。 このようにして、θが0°θ<180°の範囲で増加すると、ラインl(θ)は、平面上のラインの価値を表します。, しかし、θが180°に達すると、L(180°)はL(0)と同じであるため、垂線の族P(0°)とP(180°)も同じ族です。 しかし、ラインL(0°)は、l(180°)が反対方向を指しているようにそれ自体に戻りました。 平面内のすべての行は、0°≤<180°に対して、正確に一つの∞に対して、いくつかの族P(∞)の正確に一つの線に対応し、p(180°)はp(0°)と同じですが、逆 これにより、平面内のすべての直線の空間、すなわち0°≤180°に対するすべてのL(θ)の和集合が開メビウス帯であることが保証される。,

平面からそれ自身への全単射線型変換GL(2,R)の群（行列式がゼロでない実2×2行列）は、平面内の線の空間からそれ自身への全単射を自然に誘導し、それは線の空間の自己同相の群を形成する。 したがって、同じ群は前の段落で説明したメビウス帯の自己同相写像の群を形成する。 しかし、この同相写像の群の作用の下で不変である平面上の直線の空間上の計量は存在しない。 この意味で、平面内の直線の空間はその上に自然な計量を持たない。,

これは、メビウスバンドがGL(2,R)によって与えられる自己同相の自然な4次元リー群を持つことを意味するが、この高度な対称性は任意の計量の等長群として示すことはできない。

丸い境界を持つメビウス帯編集

メビウス帯の辺または境界は、円と同相（位相的に同値）である。 上記のように、ユークリッド空間における帯の通常の埋め込みの下では、境界は真の円ではありません。, しかし、境界がある平面にある完全な円になるように、メビウスストリップを三次元に埋め込むことは可能である。 たとえば、”幾何学と想像力”の図307、308、および309を参照してください。

はるかに幾何学的な埋め込みは、Blaine Lawsonによって発見されたように、3-球面に浸漬された最小のKleinボトルから始まります。 次に、このクラインボトルの半分を取って、3-球面（4-空間の単位球面）に埋め込まれたメビウスバンドを得る。, その結果、”スーダン-メビウス-バンド”と呼ばれることもあり、”スーダン”はスーダンの国ではなく、スー-グッドマンとダニエル-アシモフの二人のトポロジストの名前を指している。 スーダンのバンドに立体投影を適用すると、下に見ることができるように、三次元空間に配置されます-ジョージ–フランシスによるバージョンはここで見つ

ローソンの最小クラインボトルから、3-球面S3へのバンドの埋め込みを導出し、C2の部分集合とみなされ、幾何学的にはR4と同じである。, また地図角度η,φ複数z1,z2経由

z1=sin⁡η e i φ{\displaystyle z_{1}=\sin\eta\e^{i\varphi}}z2=cos⁡η e i φ/2になります。 {\displaystyle z_{2}=\cos\eta\,e^{i\varphi/2}。}

R3におけるメビウス帯の埋め込みを得るためには、立体射影を介してS3をR3に写像する。 射影点は、埋め込まれたメビウスストリップ上にないS3上の任意の点であってもよい（これは通常の射影点をすべて除外する）。 可能な選択肢は{1/2,i/2}{\displaystyle\left\{1/{\sqrt{2}},i/{\sqrt{2}}\right\}}である。, 立体投影法は、円を円にマッピングし、ストリップの円の境界を保持します。 その結果、円形のエッジと自己交差のないR3へのメビウスストリップの滑らかな埋め込みが得られます。

三球面S3におけるスーダンのメビウスバンドは、幾何学的には大円上の繊維束であり、その繊維は大半円である。 R3へのこのバンドの立体投影の最も対称なイメージは、半円のそれぞれの中点を通る大円上にある投影点を使用することによって得られます。, このような投影点の各選択は、他の任意の射影点と一致する画像をもたらす。 しかし、このような射影点はメビウスバンド自体にあるため、画像の二つの側面は、点がバンド上にない場合（上に示されている）とは大きく異なる：1）R3の画像は完全なメビウスバンドではなく、むしろ一点が（中心線から）取り除かれたバンドであり、2）画像は無制限であり、R3の原点からますます遠くなるにつれて、平面に近似することが増えている。, しかしながら、この立体像のバージョンは、上記で示した有界バージョンと比較して、R3における4つの対称性の群（クライン4-群と同型である）を持ち、その対称性の群が位数2の一意の群であることと比較すると、このバージョンは同型である。 （R3の方位保持等値だけでなく、すべての対称性が許可されている場合、それぞれの場合の対称性の数は倍になります。)

しかし、すべての中で最も幾何学的に対称なバージョンは、三球面S3の元のスーダンのメビウスバンドであり、その対称性の完全群はリー群O(2)と同型である。, 無限の基数（連続体の基数）を持つことから、これはR3におけるメビウスバンドの埋め込み可能な任意の対称群よりもはるかに大きい。

射影幾何学編集

射影幾何学を用いて、開メビウス帯は多項式の解の集合として記述することができる。 多項式不等式を加えると、閉メビウス帯が得られる。 これらは、メビウスバンドを線束の幾何学と代数幾何学におけるブローアップの操作に関連づける。

={(≤A,≤B):≤r≤{0}}である。, {\displaystyle=\{(\lambda A,\lambda B):\lambda\in\mathbf{R}\setminus\{0\}\}である。}

開メビウス帯の実現は、集合M={((x,y),)≤R2×R P1:A x=B y}によって与えられる。 {\displaystyle M=\{((x,y),)\in\mathbf{R}^{2}\times\mathbf{RP}^{1}:Ax=By\}。,}M’={((x,y),)≤R2×R P1:A x=B y,B≤0}={(x,y,m)≤R3:m x=y},{\displaystyle{\begin{aligned}M’&=\{((x,y),)\in\mathbf{R}^{2}\times\mathbf{RP}^{1}:Ax=By,\B\neq0\}\\&=\{(X,y,m)\in\mathbf{r}^{3}:mx=y\},\end{aligned}}}

ここで、Mはa/b{\displaystyle a/b}に対応する。

閉メビウスバンドを同様の集合として実現するが、境界を作成するための追加の不等式を伴う：

N={((x,y),)≤R2×R P1:A x=B y,x2+y2≤1}。, {\displaystyle N=\{((x,y),)\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=By,\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}.}