代数と微積分学から、関数は一対一であり、これらの性質は関数が可逆であるかどうかに関係していることを思い出すかもしれません。 現在、この重要なアイデア。 高度な数学では、単射という言葉はしばしば一対一の代わりに使用され、全射はonの代わりに使用されます。 正確な定義は次のとおりです。

以下は定義12.4の視覚的な説明です。, すなわち、Fの定義域のあるaに対してf(a)と等しい。

関数が持つことができる四つの単射/全射の組み合わせがある。 これは、四つの関数\(A\rightarrow B\)に対して以下に示されています。 最初の列の関数は単射であり、第二の列の関数は単射ではありません。 最初の行の関数は全射であり、第二の行の関数はそうではありません。,

定義によれば、関数はそのコドメインがその範囲と等しい場合にのみ射影的であることに注意してください。p>

どのように関数\(f:A\rightarrow B\)を表示するには、単射です：

これら二つのアプローチのうち、contrapositiveは、多くの場合、fが代数公式によって定義されている場合は特に、使 これは、反比例的なアプローチが方程式\(f(a)=f(a’)\)から始まり、方程式\(a=a’\)に進むためです。 代数では、あなたが知っているように、不等式よりも方程式を扱う方が通常簡単です。,f:A\rightarrow B\)が全射であることを示す方法：

仮定\(b\in B\)。

演習\(\PageIndex{1}\)

\(A=\{1,2,3,4\}\)と\(B=\{a,b,c\}\)とします。 単射でも全射でもない関数\(f:A\rightarrow B\)の例を与えてください。,

Exercise \(\PageIndex{2}\)

Exercise \(\PageIndex{3}\)

Exercise \(\PageIndex{4}\)

Exercise \(\PageIndex{5}\)

Exercise \(\PageIndex{6}\)

Exercise \(\PageIndex{7}\)

Exercise \(\PageIndex{8}\)

Exercise \(\PageIndex{9}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R}-\{5\}\) defined by \(f(x)= \frac{5x+1}{x-2}\) is bijective.

Exercise \(\PageIndex{10}\)

Prove the function \(f : \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}\) defined by \(f(x) = (\frac{x+1}{x-1})^{3}\) is bijective.,

Exercise \(\PageIndex{11}\)

Exercise \(\PageIndex{12}\)

Exercise \(\PageIndex{13}\)

Exercise \(\PageIndex{14}\)

Exercise \(\PageIndex{15}\)

Exercise \(\PageIndex{16}\)

Exercise \(\PageIndex{17}\)

Exercise \(\PageIndex{18}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) defined as \(f (n) = \frac{(-1)^{n}(2n-1)+1}{4}\) is bijective.