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セクション5-3:ドット積

ドット積はスカラー積と呼ばれることがあります。 内積は内積の一例でもあり、それが内積と呼ばれるのを聞くことがあります。

ここでは、内積のいくつかのプロパティがあります。

Properties

これらのプロパティの証明はほとんどが”計算上の”証明であるため、いくつかのことを行い、残りを証明するためにあなたに任せます。,

の証明\(\vec u\centerdot\左({\vec v+\vec w}\右)=\vec u\centerdot\vec v+\vec u\centerdot\vec w\)

の証明：もし\(\vec v\centerdot\vec v=0\)その後\(\vec v=\vec0\)

次の定理を持つことができます。

定理

証明

この定理からの公式は、しばしば内積を計算するのではなく、二つのベクトル間の角度を見つけるために使用されます。, 証明における二つのベクトルのスケッチは二次元ベクトルに対するものであるが、定理は任意の次元のベクトルに対して有効であることにも注意してください（もちろん同じ次元を持つ限り）。

これの例を見てみましょう。

内積は私たちに二つのベクトルが垂直であるかどうかを決定するための非常に良い方法を与え、それは二つのベクトルが平行であるときに決定 多くの場合、垂直の代わりに直交という用語を使用することにも注意してください。

今、二つのベクトルが直交している場合、我々はそれらの間の角度が90度であることを知っています。, \(\Eqref{eq:eq2}\)から、これは二つのベクトルが直交している場合、

\

同様に、二つのベクトルが平行であれば、それらの間の角度は0度（同じ方向を指す）または180度（反対方向を指す）のいずれかであることを示している。 もう一度\(\eqref{eq:eq2}\)を使用すると、これは次のいずれかが真でなければならないことを意味します。

\

私たちが見るべき内積のいくつかの素晴らしいアプリケーションもあります。,

投影

\(\vec b\)の射影を見つけるための素敵な公式があります。\(\vec a\)。 ここでは、

ここでも表記に非常に注意する必要があることに注意してください。 \(\Vec a\)の\(\vec b\)への射影は、

\

ここでは例を示します。

比較のために、他の方法でも同様にしましょう。

前の二つの例からわかるように、二つの投影は異なっているので注意してください。,

方向余弦

内積のこのアプリケーションは、この時点まで見てきた他のすべてのアプリケーションとは異なり、三次元空間にあることを必要とします。

ここでは、ベクトルと方向角のスケッチです。

方向余弦の式は次のとおりです。

上記の最初の内積を確認しましょう。 残りは確認するためにあなたに任せます。

\

ここに方向余弦についてのいくつかの素晴らしい事実があります。

方向コサインを含む簡単な例をしましょう。