(2)

n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\ldots }

Waves can only form standing waves on this string if they have a wavelength that satisfies this relationship with L., 波がストリングに沿って速度vで移動する場合、等価的に定在波の周波数は

f=vθ=n v2Lに制限されます。 {\displaystyle f={\frac{v}{\lambda}}={\frac{nv}{2L}}である。}

n=1の定在波は基本周波数で振動し、弦の長さの倍の波長を持ちます。 Nの整数値が大きいほど、高調波または倍音と呼ばれる振動モードに対応します。 ストリング上の定在波は、固定端とn個の反ノードを含むn+1ノードを持ちます。,

この例のノードを無限長の文字列における定在波のノードの記述と比較するには、式(2)を

λ=4L n,{\displaystyle\lambda={\frac{4L}{n}},}nと書き換えることができることに注意してください= 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n=2,4,6,\ldots}

この波長の式の変化において、nは偶数でなければならない。, 交差乗算すると、Lはノードであるため、それは四分の一波長の偶数倍であることがわかります

L=n≥4,{\displaystyle L={\frac{n\lambda}{4}},}n= 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n=2,4,6,\ldots}

この例では、共振の種類を示し、定在波を生成する周波数は共振周波数と呼ぶことができます。

固定された端を持つ文字列の定在波edit

次に、長さLの同じ文字列を考えますが、今回はx=0でのみ固定されています。 X=Lでは、文字列はy方向に自由に移動できます。, たとえば、文字列はx=Lで結ばれ、ポールを自由に上下にスライドさせることができるリングに結ばれる可能性があります。 ストリングは再び減衰が小さく、x=0で小さな駆動力によって駆動されます。

この場合、式（1）は依然として弦上に形成できる定在波パターンを記述し、弦はx=0においてy=0と同じ境界条件を有する。 しかし、文字列が自由に動くことができるx=Lでは、yの最大振幅を持つ反ノードが存在するはずです.式(1)を見直すと、x=Lに対してyの最大振幅は

sin≤(2≤L≤)=1のときに発生します。, {\displaystyle\sin\left({2\pi L\over\lambda}\right)=1.}

これは、二つの固定端の例とは異なる波長のセットにつながります。 ここで、定在波の波長は

λ=4L n,{\displaystyle\lambda={\frac{4L}{n}},}nに制限される。= 1 , 3 , 5 , … {\displaystyle n=1,3,5,\ldots}

同様に、周波数は

f=n v4Lに制限される。 {\displaystyle f={\frac{nv}{4L}}である。}

この例では、nは奇数の値のみを取ることに注意してください。 Lは反ノードであるため、四分の一波長の奇数倍です。, したがって、この例の基本モードは、完全な正弦波サイクルの四分の一しか持たない–x=0でゼロ、x=Lで最初のピーク–第一高調波は完全な正弦波サイクルの四分

この例では、共振の種類を示し、定在波を生成する周波数は共振周波数と呼ばれます。

パイプ内の定在波eedit

長さLのパイプ内の定在波を考えてみましょう。, 管の中の空気は管を通って右にまたは左に移動する縦方向の音波のための媒体として役立ちます。 前の例のストリング上の横波は、波動方向に垂直な変位が変化するのに対し、パイプ内の空気を通過する波は、その圧力および波動方向に沿った縦, 波は互い違いに残り位置からの空気をわずかに転置し、交互になる高低の空気圧によって出る力によって近隣の区分にエネルギーを移す管の区分 パイプ内の右進行波または左進行波による圧力Δpの変化については、弦上の波に似た方程式を書くことができます。,

Δ p R(x,t)=p max sin⁡(2π×λ−ω t),{\displaystyle\Delta p_{\text{R}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin\left({2\pi x\上\lambda}-\omega t\right),}Δ p L(x,t)=p max sin⁡(2π×λ+ω t) ,{\displaystyle\Delta p_{\text{L}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin\left({2\pi x\上\lambda}+\omega t\right),}

ここで、

• pmaxの圧力振幅の最大の増加又は減圧により各波
• ωは角周波数または同様に2π倍の周波数f,
• λは波長しています。,同じ右進行波と左進行波がパイプを通過する場合、結果として得られる重ね合わせは、δp（x、t）=Δp R（x、t）+Δp L（x、t）=2p max sin≤（2≤x≤）cos≤（ω t）の和によって記述される。 {\displaystyle\Delta p(x,t)=\Delta p_{\text{R}}(x,t)+\Delta p_{\text{l}}(x,t)=2p_{\text{max}}\sin\left({2\pi x\over\lambda}\right)\cos(\omega t)。 この圧力の公式は式（1）と同じ形式であるため、静止圧力波が空間に固定され、時間に振動することに注意してください。,

  パイプの端部が閉じている場合、パイプの閉じた端部が空気の動きを制限する力を発揮するので、圧力は最大になります。 これは、圧力反ノードに対応する。 パイプの端部が開いている場合、圧力変動は圧力ノードに対応して非常に小さくなります。 開放端における圧力ノードの正確な位置は、実際にはパイプの開放端をわずかに超えているため、共振周波数を決定するためのパイプの有効長は、その物理的な長さよりもわずかに長い。 この長さの違いは、この例では無視されます。, 反射の点では、開放端は部分的に波をパイプに反射し、いくらかのエネルギーを外気に放出することを可能にする。 理想的には、閉じた端部は波全体を他の方向に反射します。

  まず、両端が開いているパイプ、例えばオープンオルガンパイプまたはレコーダーを考えてみましょう。,

  Δ p(0,t)=0,{\displaystyle\Delta p(0,t)=0,}Δ p(L,t)=2p max sin≤(2≤L≤)cos≤(ω t)=0,{\displaystyle\Delta p(L,t)=2p_{\text{max}}\sin\left({2\pi L\over\lambda}\right)\cos(\omega t)=0,}

  これは、定在波の波長が

  λ=2L n,{\displaystyle\lambda={\frac{2l}{n}},}nであるときにのみ起こる。= 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n=1,2,3,\ldots,}

  あるいは周波数が

  f=n v2L,{\displaystyle f={\frac{nv}{2L}},}

  ここでvは音速である。,

  次に、開いているので、x=0で圧力ノードを持ち、閉じているので、x=Lで圧力反ノードを持つパイプを考えてみましょう。 このパイプは、一つの固定端のみを持つ文字列に似た境界条件を持っています。 その定在波の波長は

  λ=4L n,{\displaystyle\lambda={\frac{4L}{n}},}nに制限されています= 1 , 3 , 5 , … , {\displaystyle n=1,3,5,\ldots,}

  あるいは同じように定在波の周波数は

  f=n v4Lに制限される。 {\displaystyle f={\frac{nv}{4L}}である。, 一方の端が閉じている場合、nは一方の端だけに固定された文字列の場合と同じように奇数の値しか取らないことに注意してください。

  両端で閉じられているパイプのn=2の定在波の分子表現。 縦方向変位を考慮すると、端部の分子と中央の分子は波によって変位しないことに注意してください。 ノードの間の中間には、分子が最大に変位する縦方向変位反ノードがある。, 圧力を考慮すると、分子は端部および中間部で最大限に圧縮および拡張され、圧力反節点を表すことに注意してください。 反ノードの中間には、分子が移動するにつれて圧縮も拡張もされない圧力ノードがあります。

  これまでのところ、波は位置xと時間の関数としての圧力に関して書かれてきました。, あるいは、波は、圧力が変化し、波がどちらかまたは両方の方向に移動するにつれて、パイプのセグメント内の空気がx方向にわずかに前後に移動する、空気のその長手方向の変位に関して書くことができる。 圧力Δpと縦方向変位sの変化は、

  Δ p=−ρ v2∂s∂x,{\displaystyle\Delta p=-\rho v^{2}{\frac{\partial s}{\partial x}},}

  ここで、λは空気の密度である。, 縦方向の変位の点では、管の閉鎖した端は空気移動が制限されるのでノードに対応し、空気が動いて自由であるので開放端は反ノードに対応する。 同様の、可視化しやすい現象は、ばねに沿って伝播する縦波において起こる。

  両端が閉じているパイプも考えることができます。 この場合、両端は圧力反節点であるか、または等価的に両端は変位節点である。, この例は、定在波パターンがノードと反ノードの位置をシフトさせるためにx方向に沿って√2位相シフトを有することを除いて、両端が開いている場合 例えば、共鳴する最も長い波長–基本モード–は、パイプの端部が圧力ノードの代わりに圧力反ノードを有することを除いて、再びパイプの長さの倍である。 両端の間には一つの圧力ノードがあります。, 二つの閉端の場合、波長は再び

  λ=2L n,{\displaystyle\lambda={\frac{2L}{n}},}nに制限される。= 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n=1,2,3,\ldots,}

  そして周波数は再び

  f=n v2Lに制限される。 {\displaystyle f={\frac{nv}{2L}}である。}

  ルーベンス管は、二つの閉じた端を持つ管における定在波の圧力変化を可視化する方法を提供します。,

  矩形境界を持つ2D定在波編集

  次に、x方向の長さLxとy方向の長さLyの矩形境界内の二次元サーフェスに沿って移動できる横波を考えます。 波のこのタイプの例は、ピンと張った引っ張られた長方形のシート上のプールまたは波の水の波です。 波はサーフェスをz方向に変位させ、z=0はサーフェスが静止しているときのサーフェスの高さとして定義されます。,

  二つの寸法とデカルト座標の波動方程式は、

  ∂2z∂t2=c2(∂2z∂x2+∂2z∂y2),{\displaystyle{\frac{\partial^{2}z}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}}+{\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}}}\right),}

  ここで、

  • z(x,y,t)は変位、表面
  • cの速しています。この微分方程式を解くには、まずそのフーリエ変換を解きましょう。Z(x,y,ω)=σ−σ z(x,y,t)e−i ω t d t。, {\displaystyle Z(x,y,\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}z(x,y,t)e^{-i\omega t}dt.}

    波動方程式のフーリエ変換をとると、

    ≤2Z≤x2+≤2Z≤y2=-ω2c2Z(x,y,ω)。 {\displaystyle{\frac{\partial^{2}Z}{\partial x^{2}}}+{\frac{\partial^{2}Z}{\partial y^{2}}}=-{\frac{\omega^{2}}{c^{2}}}Z（x、y、\omega）。}

    これは、周波数が周波数固有のモードまたは固有関数に対応する固有値に対応する固有値問題です。 具体的には、これはヘルムホルツ方程式の形式であり、変数の分離を使用して解くことができます。, P>Z=X(x)Y(y)と仮定します。 {\displaystyle Z=X(x)Y(y).}

    ヘルムホルツ方程式をZで割ると、

    1X(x)≤2X≤x2+1Y(y)≤2Y≤y2+ω2c2=0。 {\displaystyle{\frac{1}{X(x)}}{\frac{\partial^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac{1}{Y(y)}}{\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}}+{\frac{\omega^{2}}{c^{2}}}=0である。}

    これは、二つの結合常微分方程式につながります。 X項はxに関する定数に等しく、

    1X(x)≤2X≤x2=(i k x)2と定義できます。 {\displaystyle{\frac{1}{X(x)}}{\frac{\partial^{2}X}{\partial x^{2}}}=(ik_{x})^{2}。, x（x）=A k x e i k x x+B k x e−i k x xについて解く。 {\displaystyle X(x)=A_{k_{x}}e^{ik_{x}x}+B_{k_{x}}e^{-ik_{x}x}。}

    このx依存性は、境界条件によって決定される定数AkxとBkxを持つオイラーの公式を思い出す正弦波的です。, 同様に、y項はyに関する定数に等しく、

    1Y(y)≤2Y≤y2=(i k y)2=k x2−ω2c2{\displaystyle{\frac{1}{Y(y)}}{\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}}=(ik_{y})^{2}=k_{x}^{2}-{\frac{\omega^{2}}{\frac{\omega^{2}}}{\frac{\omega^{2}}}{\frac{\omega^{2}}}{\frac{\omega^{2}}}{\frac{\omega^{2}}}{\frac{\omega^{2}}}{\frac{\omega^{2}}}{\frac{\omega^{2}}}}}{\frac{\omega^{2}}}}{\frac{\omega^{c^{2}}},}

    したがって、この波の分散関係は

    ω=c K x2+k y2です。 {\displaystyle\omega=c{\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}である。 y項の微分方程式を解くと、Y（y）=C k y e i k y y+D k y e−i k y yとなります。 {\displaystyle Y(y)=C_{k_{y}}e^{ik_{y}y}+D_{k_{y}}e^{-ik_{y}y}。, これらの関数を掛け合わせて逆フーリエ変換を適用すると、z(x,y,t)はモードの重ね合わせであり、各モードはx、y、およびtに対する正弦関数の積であり、z(x,y,t)≤e±i k x x e±i k y y e±i ω tである。 {\displaystyle z(x,y,t)\sim e^{\pm ik_{x}x}e^{\pm ik_{y}y}e^{\pm i\omega t}。}

    正確な正弦関数を決定する定数は、境界条件と初期条件に依存します。, 境界条件がどのように適用されるかを確認するには、z（x、y、t）が矩形境界の周りでゼロでなければならないピンと張ったシートのような例を考えて X依存性の場合、z(x,y,t)は、yおよびtのすべての値について、x=0およびx=Lxの両方でゼロになるように変化しなければなりません。,この境界条件を満たすtionは

    sin⁡k x x,{\displaystyle\sin{k_{x}x},}

    であり、kxは

    k x=n∈L x,nに制限される= 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle k_{x}={\frac{n\pi}{L_{x}}},\quad n=1,2,3,\dots}

    同様に、z(x,y,t)のy依存性はy=0とy=Lyの両方においてゼロでなければならず、これは

    sin≤k y y,k y=m≤L y,mで満たされる。= 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle\sin{k_{y}y},\quad k_{y}={\frac{m\pi}{L_{y}}},\quad m=1,2,3,\dots}

    波数をこれらの値に制限すると、共鳴する周波数も

    ω=c∞(n L x)2+(m L y)2に制限される。, {\displaystyle\omega=c\pi{\sqrt{\left({\frac{n}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac{m}{L_{y}}}\right)^{2}}}}。}

    ただし、初期条件z(x,y,0)およびその時間微分ż(x,y,0)に選ばれたので、t-依存性は、コサイン機能、波のためにこのシステムの形成

    z(x,y,t)=z最大罪⁡(n π x L x)sin⁡(m π y L y)cos⁡(ω t) {\displaystyle z(x,y,t)=z_{\text{max}}\sin\left({\frac{n\pi x}{L_{x}}}\right)\sin\left({\frac{m\pi y}{L_{y}}}\right)\cos\left(\omega t\right).,}n=1,2,3,…m= 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\dots\quad m=1,2,3,\dots}

    したがって、この固定された矩形境界内の定在波は、整数nとmによってパラメータ化された特定の共振周波数で時間内に振動します。 基本モードn=1およびm=1は、四角形の中央に単一のアンチノードを持ちます。, Nとmを変化させると、矩形内のノードとアンチノードの複雑で予測可能な二次元パターンが得られます。

    分散関係から、特定の状況では、異なるモード（nとmの異なる組み合わせを意味する）が、xおよびy依存性に対して異なる形状を有するにもかかわらず、同じ周波数で共鳴する可能性があることに注意してください。 例えば、境界が正方形である場合、Lx=Ly、モードn=1およびm=7、n=7およびm=1、およびn=5およびm=5はすべて

    ω=c≤L x50で共振する。 {\displaystyle\omega={\frac{c\pi}{L_{x}}}{\sqrt{50}}である。}