2000年以上前、ギリシャの数学者ユークリッドは、幾何学を構築する必要があると考えた五つの仮定のリストを思いついた。 そのうちの一つ、第五は、我々はすべてに精通している文に相当しました：三角形の角度は180度まで追加すること。 しかし、この公準はユークリッドのリスト上の他の四つほど明白ではないように見えたので、数学者は彼らからそれを推論しようとしました：最初の四つの公準に従う幾何学が必ずしも第五に従うことを示すために。, 彼らの闘争は何世紀にもわたって続いたが、最終的に彼らは失敗した。 彼らは第五の仮定に従わない幾何学の例を見つけました。

球面幾何学

球面幾何学は、球上の幾何学です。 球面幾何学では、線のユークリッドの考え方は大円、すなわち球の最も太い部分の周りにまたがる最大半径の円になります。 三角形の角度の合計が常に180度であることはもはや真実ではありません。, 非常に小さな三角形の角度は、180度を少し超える角度になります（非常に小さな三角形の観点からは、球の表面がほぼ平坦であるため）。 大きな三角形には、180度以上の角度が加算されます。

球面幾何学を発見するのにかかった時間の長さについての一つの面白いことは、それが地球の表面に保持されている幾何学であるということ, しかし、私たちは本当に気づかないので、私たちは地球の大きさに比べてとても小さいので、地面に三角形を描き、その角度を測定すると、角度の合計が180度を超える量はとても小さいので、それを検出することはできません。

球は数学者が正の曲率と呼ぶものを持っており、これは直感的に理にかなっています。, しかし、他の方向に物事を取る別のジオメトリがあります：

双曲線幾何学

双曲線幾何学は、歪みのない三次元ユークリッド空間でモデル化することができないため、球形幾何学ほど視覚化するのは簡単ではありません。 それを視覚化する一つの方法は、ポアンカレディスクと呼ばれています。

右の図の青い円で囲まれた円のような丸い円盤を取り、その中に住んでいるアリを想像してください。, ユークリッド幾何学において、円盤内の二つの点の間の最短経路は直線に沿っている。 双曲線幾何学では距離は異なって測定されるので、最短経路はもはやユークリッド直線に沿ってではなく、図の赤で示されているように、直角に円板の境界を満たす円の円弧に沿っています。 双曲線のアリは、直線経路を迂回として経験するでしょう-それはそのような円の円弧に沿って移動することを好みます。

辺がこれらの半円の円弧である双曲線三角形は、180度未満の角度を有する。, 左の図のすべての黒と白の図形は双曲線三角形です。

この新しい双曲線メトリックの一つの結果は、ディスクの境界円が双曲線アリの視点から無限に遠く離れていることです。 これは、計量が通常のユークリッドに関して距離を歪めるためである。 ユークリッド距離内で同じ長さに見える経路は、双曲線距離内では境界円に近いほど長くなります。, 下の図は、通常の七角形による双曲面のタイルを示しています。 歪んだ計量のために、七角形は双曲線計量ではすべて同じサイズです。 そして、私たちが見ることができるように、アリは境界円に到達するために無限に多くのものを横断する必要があります—それは無限に遠いです！

正の曲率を持つ球とは対照的に、双曲面は負に湾曲しています。, その非常に小さな領域は、鞍と同じタイプの曲率を持っています：ある方向に沿って、彼らは山の尾根の頂上のように見え、別の方向に沿って、彼らは谷

双曲線幾何学は空想的な数学的構成のように見えるかもしれませんが、実際の用途があります。 アインシュタインは1905年に相対性理論の彼の特別な理論を開発したとき、彼は双曲線幾何学の対称性は、まさに彼が理論を定式化するために必要なものだったことがわかった。, 今日は数学者との双曲幾何についてご説明するとネットワークのようにFacebookすることができます。

あなたは非ユークリッド幾何学とインドラの真珠で双曲幾何学についての詳細を読むことができます。