Il tasso di pericolo basale h0(t) è una funzione non negativa non specificata del tempo. È la parte dipendente dal tempo del pericolo e corrisponde al tasso di pericolo quando tutti i valori covariati sono uguali a zero. β1, β2, …, ßn sono i coefficienti della funzione di regressione ß1x1 + ß2x2+… ßnxn., Supponiamo che siamo interessati a un singolo covariata quindi il pericolo è:

Prendere x2 = x1 + 1, l’hazard ratio si riduce a HR = exp(β), e corrisponde all’effetto di una unità di incremento la variabile esplicativa X sul rischio di evento. Dal momento che β = log (HR), β è indicato come il log hazard ratio. Sebbene il tasso di pericolo hx (t) possa variare nel tempo, il rapporto di pericolo HR è costante; questa è l’assunzione di rischi proporzionali., Se l’HR è maggiore di 1 (β > 0), il rischio di evento è aumentato per i soggetti con valore covariato x2 rispetto ai soggetti con valore covariato x1, mentre un’HR inferiore a 1 (β < 0) indica un rischio diminuito. Quando l’HR non è costante nel tempo, si dice che la variabile abbia un effetto variabile nel tempo; ad esempio, l’effetto di un trattamento può essere forte immediatamente dopo il trattamento ma svanisce con il tempo. Questo non deve essere confuso con una covariata variabile nel tempo, che è una variabile il cui valore non è fisso nel tempo, come lo stato di fumo., In effetti, una persona può essere un non fumatore, poi un fumatore, poi un non fumatore. Si noti tuttavia che una variabile può variare nel tempo e avere un effetto che cambia nel tempo.

In un modello di Cox PH, l’HR è stimato considerando ogni volta t in cui si verifica un evento. Quando si stima la HR complessiva nel periodo di follow-up completo, gli stessi pesi sono dati al molto presto HR che interessano quasi tutti gli individui e molto tardi HR che interessano solo i pochissimi individui ancora a rischio. L’HR viene quindi calcolato in media sui tempi dell’evento., Nel caso di rischi proporzionali, l’HR complessivo non è influenzato da questa procedura di ponderazione. Se, d’altra parte, l’HR cambia nel tempo, cioè i tassi di pericolo non sono proporzionali, allora una ponderazione uguale può comportare un HR non rappresentativo e può produrre risultati parziali . Va notato che l’HR viene calcolato in media sui tempi dell’evento piuttosto che sul tempo di follow-up. È invariato se la scala temporale viene modificata senza disturbare l’ordine degli eventi.,

Esempio

Abbiamo applicato alcuni dei metodi presentati ai pazienti affetti da cancro al seno in quanto sono stati riportati effetti variabili nel tempo, come per lo stato del recettore nodale o ormonale. Abbiamo studiato donne con cancro al seno operabile non metastatico che hanno subito un intervento chirurgico tra il 1989 e il 1993 presso il nostro istituto e che non hanno ricevuto precedenti trattamenti neoadiuvanti. I criteri di esclusione includevano una precedente storia di carcinoma mammario, carcinoma mammario controlaterale concomitante e dati patologici mancanti., Il follow-up è stato eseguito secondo i requisiti di buona pratica clinica europea e consisteva in esami fisici regolari, mammografia a raggi X annuale e valutazioni aggiuntive in caso di sospetta metastasi. Le caratteristiche cliniche e patologiche sono state analizzate in base al file registrato in ospedale al momento dell’inizio del trattamento. La dimensione patologica del tumore (≤o > 20 mm) è stata misurata su campioni chirurgici freschi. È stata utilizzata una versione modificata del sistema di classificazione Scarff-Bloom-Richardson (SBR grade I, II o III)., PVI (Sì, No) è stata definita come la presenza di emboli neoplastici all’interno di una lumina vascolare linfatica o capillare inequivocabile in aree adiacenti al tumore mammario. Sono state eseguite analisi esplorative immuno-istochimiche su un microarray tissutale (TMA) per valutare lo stato del recettore ormonale (HRec) (positivo se ER-positivo e/o recettore del progesterone-positivo). I livelli di espressione ER e PgR sono stati valutati semi-quantitativamente secondo un protocollo standard con valori di cut-off a cellule tumorali positive al 10%. Il livello di espressione Her2 è stato valutato in base al sistema di punteggio Herceptest ., Il livello di espressione Mib1 è stato valutato semi-quantitativamente. Informazioni su tutti i fattori erano disponibili per 979 donne (Tabella 1). Il tempo mediano di follow-up è stato di 14 anni (intervallo di confidenza del 95%: 13,7 – 14,2) e 264 donne hanno sviluppato metastasi.

Esempio di lavoro

I fattori prognostici sono stati inizialmente selezionati sulla base delle attuali conoscenze sul rischio di metastasi., Sono stati successivamente analizzati utilizzando un modello di regressione Cox convenzionale; tutti erano statisticamente significativi al livello 5% nelle analisi univariate e sono stati quindi inseriti in un modello Cox multivariato., Il rischio di metastasi è stato aumentato per le donne con età più giovani rispetto ai più anziani di età; grado II e III tumori rispetto al grado I tumori; grandi rispetto alle piccole dimensioni del tumore; coinvolgimento linfonodale rispetto all’assenza di coinvolgimento; PVI rispetto all’assenza di PVI (file Aggiuntive 1: Stima del registro di rapporti di rischio (log(H)), e i rapporti di rischio (HR = exp()) con il 95% intervalli di confidenza (95% CI) e valori di p per il modello covariate durante il montaggio di un multivariata convenzionale modello di Cox e un modello di Cox con il tempo-da-covariata farmacologiche.)., Sulla base di questo modello, tutte le variabili, ma il recettore ormonale, lo stato Her2 e Mib1, hanno influenzato significativamente il rischio di metastasi.

Valutare la non proporzionalità: Strategia grafica

In presenza di una variabile categoriale, si può tracciare la distribuzione di sopravvivenza Kaplan-Meier, S(t), in funzione del tempo di sopravvivenza, per ogni livello della covariata. Se l’ipotesi del PH è soddisfatta, le curve dovrebbero allontanarsi costantemente., Si può anche applicare una trasformazione delle curve di sopravvivenza di Kaplan-Meier e tracciare la funzione log (- log(S(t))) in funzione del tempo di sopravvivenza del log, dove log rappresenta la funzione logaritmo naturale. Se i pericoli sono proporzionali, i grafici log-minus-log specifici dello strato dovrebbero presentare differenze costanti, ovvero essere approssimativamente paralleli. Questi metodi visivi sono semplici da implementare ma hanno limitazioni. Quando la covariata ha più di due livelli, i grafici Kaplan-Meier non sono utili per discernere la non proporzionalità perché i grafici diventano ingombri ., Allo stesso modo, sebbene l’ipotesi del PH non possa essere violata, le curve log-minus-log sono raramente perfettamente parallele nella pratica e tendono a diventare sparse in punti temporali più lunghi, e quindi meno precise. Non è possibile quantificare quanto vicino al parallelo sia abbastanza vicino, e quindi quanto siano proporzionali i rischi. La decisione di accettare l’ipotesi del PH dipende spesso dal fatto che queste curve si incrocino. Di conseguenza , la decisione di accettare l’ipotesi del PH può essere soggettiva e conservativa, poiché è necessario avere prove forti (linee di attraversamento) per concludere che l’ipotesi del PH è violata., Alla luce di queste limitazioni, alcuni suggeriscono di fornire errori standard a questi grafici . Questo approccio tuttavia può essere computazionalmente intensivo e non è direttamente disponibile nei programmi per computer standard. I grafici Kaplan-Meier e log-minus-log sono disponibili dalla maggior parte dei pacchetti statistici standard (Tabella 2).

Esempio di lavoro (cont’)

Le curve di sopravvivenza di Kaplan-Meier e i grafici log-minus-log sono mostrati per alcune variabili (Figure 1 e 2)., Le curve di sopravvivenza Kaplan-Meier sembravano allontanarsi costantemente per tutti tranne lo stato del recettore ormonale, lo stato Her2 e lo stato mib1. I grafici log-minus log sembravano approssimativamente paralleli per Età, dimensione del tumore, coinvolgimento linfonodale e PVI. Ancora una volta, i grafici per lo stato del recettore ormonale, lo stato Her2 e lo stato mib1 tendevano a indicare una violazione dell’assunzione del PH. C’era anche qualche sospetto rispetto al grado SBR.,

Valutazione della non proporzionalità: strategie di modellazione e test

I metodi grafici per il controllo dell’assunzione del PH non forniscono un test diagnostico formale e sono necessari approcci di conferma. Sono disponibili diverse opzioni per testare e contabilizzare la non proporzionalità.

Cox ha proposto di valutare la partenza dalla non proporzionalità introducendo una variabile dipendente dal tempo costruita, cioè aggiungendo un termine di interazione che coinvolge il tempo al modello di Cox e testandone il significato ., Supponiamo che uno sia interessato a valutare se una variabile X ha un effetto variabile nel tempo. Una variabile dipendente dal tempo viene creata formando un termine di interazione (prodotto) tra il predittore, X (continuo o categorico) e una funzione del tempo t (f(t) = t, t2, log(t),…). Aggiungendo questa interazione al modello (equazione 2), il pericolo diventa quindi:

Il rapporto di pericolo è dato da HR(t) = hx+1(t)/hx(t) = exp per un aumento unitario della variabile X, ed è dipendente dal tempo attraverso la funzione f(t)., Se γ > 0 (γ < 0), l’HR aumenta (diminuisce) nel tempo. La prova di non proporzionalità dei pericoli equivale alla prova se γ è significativamente diverso da zero. Si possono usare diverse funzioni temporali come il decadimento polinomiale o esponenziale, ma spesso sono preferite funzioni fisse molto semplici del tempo come funzioni lineari o logaritmiche . Questo approccio di modellazione fornisce anche stime dell’hazard ratio in diversi punti temporali poiché i valori t di tempo possono essere montati nella funzione hazard ratio., Le variabili dipendenti dal tempo forniscono un metodo flessibile per valutare l’allontanamento dalla non proporzionalità e un approccio alla costruzione di un modello per la dipendenza del rischio relativo nel tempo. Questo approccio tuttavia dovrebbe essere usato con cautela. Infatti, se la funzione del tempo selezionata è specificata in modo errato, il modello finale non sarà appropriato. Questo è uno svantaggio di questo metodo rispetto ad un approccio più flessibile.

Working example (cont’)

Abbiamo creato interazioni time-by-covariate per ogni variabile del modello, introducendo prodotti tra le variabili e una funzione lineare del tempo., Come mostrato nel file aggiuntivo 1 [Rapporto di rischio stimato di log (log(HR)) e rapporto di rischio (HR = exp()] con intervalli di confidenza del 95% (95% CI) e valori p per le covariate del modello quando si adatta un modello Cox convenzionale multivariato e un modello Cox con interazioni time-by-covariate.), significative interazioni time-by-covariate hanno coinvolto il grado SBR, lo stato del recettore ormonale, lo stato Her2 e PVI (p < 0.05). Pertanto, questi risultati hanno indicato che gli hazard ratio associati a questi fattori non erano costanti nel tempo., I parametri () associati alla maggior parte delle interazioni erano negativi, suggerendo che gli hazard ratio stavano diminuendo nel tempo. L’hazard ratio stimato associato ad un grado II di SBR (rispetto al grado I) in funzione del tempo t è stato dato da: HR(t) = scad(1,71 – 0,14 t). Gli hazard ratio sono stati 4,8, 3,6 e 2,7 rispettivamente a 1, 3 e 5 anni. Allo stesso modo, l’hazard ratio stimato associato allo stato del recettore ormonale era: HR(t) = exp(0,73 – 0,14 t), cioè hazard ratio di 1,8, 1,3 e 1,0 rispettivamente a 1, 3 e 5 anni., Mentre il modello Cox convenzionale non ha mostrato alcun effetto significativo per i recettori ormonali, Her2 e Mib1, queste variabili hanno avuto un effetto significativo una volta incluse le interazioni time-by-covariate.

La partenza dalla non proporzionalità può anche essere studiata utilizzando i residui del modello. Un residuo misura la differenza tra i dati osservati e i dati attesi nell’ipotesi del modello. I residui di Schoenfeld sono calcolati e riportati in ogni momento di guasto sotto l’ipotesi del PH, e come tali non sono definiti per i soggetti censurati ., Sono definiti come il valore covariato per l’individuo che ha fallito meno il suo valore atteso assumendo le ipotesi del modello. C’è un residuo separato per ogni individuo per ogni covariata. Una trama liscia dei residui di Schoenfeld può quindi essere utilizzata per visualizzare direttamente il rapporto di rischio del registro . Supponendo la proporzionalità dei rischi, i residui di Schoenfeld sono indipendenti dal tempo. Pertanto, una trama che suggerisce un modello non casuale contro il tempo è la prova della non proporzionalità., Graficamente, questo metodo è più affidabile e più facile da interpretare rispetto alla stampa della funzione log(-log(S(t)) presentata in precedenza. La presenza di una relazione lineare con il tempo può essere testata eseguendo una semplice regressione lineare e una tendenza di prova. Una pendenza significativamente diversa da zero sarebbe una prova contro la proporzionalità: una tendenza crescente (decrescente) indicherebbe un rapporto di rischio crescente (decrescente) nel tempo., Si consiglia di esaminare attentamente la trama residua oltre a eseguire questo test in quanto alcuni modelli possono essere evidenti sui grafici (quadratici, logaritmici), ma rimangono inosservati dal test statistico. Inoltre, l’influenza indebita di valori anomali potrebbe diventare evidente . Sebbene il metodo basato sui residui di Schoenfeld levigati fornisca stime dipendenti dal tempo, può presentare alcuni inconvenienti ., Le stime di incertezza associate alle stime dipendenti dal tempo risultanti possono essere difficili da utilizzare nella pratica e lo stimatore fornito potrebbe non avere buone proprietà statistiche, come la coerenza. È importante sottolineare che i valori p risultanti dai test di tendenza basati sui residui di Schoenfeld sono ottenuti indipendentemente per ogni covariata del modello, assumendo che il modello di Cox sia giustificato per le altre covariate del modello; in quanto tali, i risultati dovrebbero essere interpretati con attenzione. I test basati sui residui di Schoenfeld possono essere facilmente implementati nella maggior parte dei pacchetti statistici standard (Tabella 2).,

Esempio di lavoro (cont’)

Per ogni covariata, i residui di Schoenfeld in scala sono stati tracciati nel tempo e sono stati eseguiti test per una pendenza zero. I corrispondenti valori p e il valore p associato a un test globale di non proporzionalità sono riportati nella Tabella 3. Il test globale ha suggerito una forte evidenza di non proporzionalità (p < 0.01). Le variabili che hanno ritenuto più probabile contribuire alla non proporzionalità sono state il grado SBR (p < 0,01), PVI (p = 0,05) e lo stato del recettore ormonale (p = 0,05)., Questi risultati numerici suggeriscono un hazard ratio non costante per queste variabili. I residui aiutano a visualizzare il log hazard ratio nel tempo per ogni covariata (figura 3). Abbiamo aggiunto linee tratteggiate e tratteggiate che rappresentano rispettivamente l’effetto null (null log hazard ratio) e il rapporto medio di hazard log stimato dal modello Cox convenzionale. Per quanto riguarda il grado SBR, le trame hanno suggerito un forte effetto nei primi cinque anni. Questo effetto tendeva a diminuire in seguito., Allo stesso modo, l’impatto del PVI è cambiato nel tempo, con ancora maggiori rischi di metastasi nei primi anni, e quindi questo effetto tendeva a svanire. Per quanto riguarda lo stato del recettore ormonale, i grafici hanno suggerito che uno stato negativo aumentava il rischio di metastasi nella fase iniziale e diventava protettivo in seguito.

The cumulative sum of Schoenfeld residuals, or equivalently the observed score process can also be used to assess proportional hazards ., Graficamente, il processo di punteggio osservato viene tracciato in funzione del tempo per ogni variabile del modello, insieme ai processi simulati che assumono che il modello di Cox sottostante sia vero, cioè assumendo rischi proporzionali. Qualsiasi deviazione del processo di punteggio osservato da quelli simulati è una prova contro la proporzionalità. Questi grafici possono quindi essere utilizzati per valutare quando è presente la mancanza di adattamento. In particolare, un punteggio osservato ben al di sopra del processo simulato è un’indicazione di un effetto superiore a quello medio e viceversa., Questo metodo è particolarmente ben illustrato in una recente pubblicazione di Cortese et al. . I test di bontà di adattamento possono essere implementati in base ai residui cumulativi. L’approccio basato sui residui cumulativi supera alcuni inconvenienti incontrati con i residui di Schoenfeld, poiché gli stimatori risultanti tendono ad avere proprietà statistiche migliori e vengono derivati valori p giustificati . L’approccio dei residui cumulativi è implementato in alcuni pacchetti statistici standard (Tabella 2).

Esempio di lavoro (cont’)

I test basati sui residui cumulativi sono presentati nella tabella 4., Al livello di significatività del 5%, le statistiche dei test suggeriscono un effetto non costante nel tempo per il grado del tumore, così come lo stato dei recettori ormonali, her2 e Mib1. A titolo illustrativo, abbiamo anche tracciato il processo di punteggio risultante per alcune variabili (Figura 4). In conformità con le statistiche di test basate sui residui cumulativi, osserviamo una forte partenza dei processi osservati dalle curve simulate sotto il modello per il grado e lo stato del recettore ormonale. Questi grafici sono particolarmente utili per identificare dove è presente la mancanza di adattamento., Ad esempio, il processo di punteggio positivo iniziale associato ai recettori ormonali suggerisce che l’effetto di questa variabile è inizialmente superiore all’effetto medio e quindi inferiore all’effetto medio in seguito. Cioè, il rischio di metastasi è aumentato inizialmente per le donne con entrambi i recettori ormonali negativi rispetto al rischio medio e diminuito in seguito.

Un altro approccio semplice per testare gli effetti variabili nel tempo delle covariate comporta il montaggio di diversi modelli di Cox per diversi periodi di tempo. Infatti, anche se l ” ipotesi PH non può tenere nel corso del periodo di follow-up completo, può tenere nel corso di una finestra di tempo più breve., A meno che non vi sia un interesse per un particolare valore di tempo di cut-off, è possibile creare due sottoinsiemi di dati in base al tempo mediano dell’evento . Cioè, una prima analisi viene condotta censurando tutti ancora a rischio oltre questo punto temporale, e una seconda considerando solo quei soggetti ancora a rischio in seguito. In tal caso, l’interpretazione dei modelli è subordinata alla durata del tempo di sopravvivenza e i risultati dovrebbero quindi essere interpretati con cautela., Anche se il periodo di analisi è ridotto, si dovrebbe comunque garantire che l’assunzione di PH non venga violata entro questi periodi di tempo ridotti. Inoltre, poiché vengono considerati meno tempi di eventi, le analisi possono soffrire di una diminuzione della potenza. Infine, anche se questo metodo è particolarmente semplice da implementare e potrebbe fornire informazioni sufficienti in alcune impostazioni, cioè se uno è interessato a una finestra di tempo breve, va notato che questo metodo non sta testando direttamente l’assunzione di PH, e una diversa parametrizzazione sarebbe necessaria per eseguire tale test.,

Esempio di lavoro (cont’)

Il tempo mediano dell’evento era di 4,3 anni. È stato applicato un modello di Cox censurando tutti i soggetti ancora a rischio dopo 4,3 anni, mentre solo i soggetti ancora a rischio oltre questo punto temporale sono stati inclusi in un altro modello (File aggiuntivo 2: Hazard ratio stimato (exp()) con intervalli di confidenza del 95% (95% CI) e valori p per le covariate del modello in due modelli di Cox indipendenti per due periodi di tempo diversi.)., Tutte le variabili tranne l ‘ età erano statisticamente significative nel primo modello in quanto lo stato negativo del recettore ormonale, lo stato positivo Her2 e lo stato positivo Mib1 erano associati ad un aumentato rischio di metastasi. Nelle donne ancora a rischio dopo 4,3 anni, l’età più giovane, la maggiore dimensione del tumore e il coinvolgimento dei linfonodi sono stati associati ad un aumentato rischio di metastasi. Gli effetti di altre variabili sono scomparsi. È interessante notare che lo stato negativo del recettore ormonale ha avuto un significativo effetto protettivo in questo secondo modello (HR = 0.,5), mentre la prima analisi ha suggerito un aumento significativo del rischio per (HR = 1.7). I test di non proporzionalità basati sui residui cumulativi hanno suggerito un effetto persistente variabile nel tempo del grado per l’analisi limitato ai primi 4,3 anni.

È anche possibile tenere conto della non proporzionalità suddividendo l’asse temporale come proposto da Moreau et al. . L’asse temporale viene partizionato e i rapporti di rischio vengono quindi stimati all’interno di ciascun intervallo. Pertanto, il test per la non proporzionalità equivale al test se le HR specifiche del tempo sono significativamente diverse., I risultati possono tuttavia a volte essere guidati dal numero di intervalli di tempo, e gli intervalli di tempo dovrebbero quindi essere accuratamente selezionati.

Abbandonare l’assunzione di rischi proporzionali, e come tale, il modello Cox, è un’altra opzione. In effetti, altri potenti modelli statistici sono disponibili per tenere conto degli effetti variabili nel tempo, inclusi modelli additivi, modelli di tempo di guasto accelerato, modelli di spline di regressione o polinomi frazionari .,

Infine, si può eseguire un’analisi statistica stratificata dalla variabile sospettata di avere un effetto variabile nel tempo; questa variabile dovrebbe essere quindi categoriale o essere categorizzata. Ogni strato k ha un rischio di base distinto ma valori comuni per il vettore del coefficiente β, cioè il pericolo per un individuo nello strato k è hk(t) = exp(ßx) La stratificazione presuppone che le altre covariate agiscano allo stesso modo in ogni strato, cioè le ORE sono simili tra gli strati., Sebbene la stratificazione sia efficace nel rimuovere il problema della non proporzionalità e semplice da implementare, presenta alcuni svantaggi. Soprattutto, la stratificazione di una variabile non proporzionale preclude la stima della sua forza e il suo test all’interno del modello di Cox. Pertanto, questo approccio dovrebbe essere selezionato se non si è direttamente interessati a quantificare l’effetto della variabile utilizzata per la stratificazione., Inoltre, un modello di Cox stratificato può portare a una perdita di potenza, perché più dei dati sono utilizzati per stimare funzioni di pericolo separate; questo impatto dipenderà dal numero di soggetti e strati . Se ci sono diverse variabili con rischi variabili nel tempo, ciò richiederebbe che il modello sia stratificato su questi fattori multipli, che di nuovo è probabile che diminuisca la potenza complessiva.