Prova elementaredit
Supponiamo P(p/q) = 0 per alcuni coprimi p, q ∈ ℤ:
P ( p q ) = n ( p q ) n + a n − 1 ( p q ) n − 1 + ⋯ + a 1 ( p q ) + a 0 = 0. {\displaystyle P({\tfrac {p}{q}})\ =\ a_{n}({\tfrac {p}{q}})^{n}+a_{n-1}({\tfrac {p}{q}})^{n-1}+\cdots +a_{1}({\tfrac {p}{q}})+a_{0}\ =\ 0.}
Per cancellare i denominatori,
n p n + a n-1 p n-1 q + ⋯ + a 1 p q n-1 + a 0 q n = 0. Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.,}
Spostando il termine a0 sul lato destro e prendendo in considerazione p sul lato sinistro si ottiene:
p ( a n p n − 1 + a n − 1 q p n − 2 + ⋯ + a 1 q n − 1 ) = − a 0 q n . {\displaystyle p \ left(a_ {n} p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots + a_{1} q^{n-1}\right)=-a_{0} q^{n}.}
Quindi, p divide a0qn. Ma p è coprime a q e quindi a qn, quindi per il lemma di Euclide p deve dividere il fattore rimanente a0.
D’altra parte, spostando il termine an sul lato destro e prendendo in considerazione q sul lato sinistro produce:
q ( a n − 1 p n − 1 + a n − 2 q p n − 2 + ⋯ + a 0 q n − 1 ) = − a n p n ., Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}
Ragionando come prima, ne consegue che q divide an.
Prova utilizzando Gauss’ lemmaEdit
ci Dovrebbe essere un banale fattore di dividere tutti i coefficienti del polinomio, allora si può dividere per il massimo comune divisore dei coefficienti in modo da ottenere un polinomio primitivo, nel senso di Gauss del lemma; questo non altera l’insieme delle radici razionali e rafforza solo le condizioni di divisibilità., Quel lemma dice che se i fattori polinomiali in Q, allora anche fattori in Z come prodotto di polinomi primitivi. Ora qualsiasi radice razionale p / q corrisponde a un fattore di grado 1 in Q del polinomio, e il suo rappresentante primitivo è quindi qx − p, supponendo che p e q siano coprimi. Ma qualsiasi multiplo in Z di qx-p ha il termine principale divisibile per q e il termine costante divisibile per p, che dimostra l’affermazione., Questo argomento mostra che più in generale, qualsiasi fattore irriducibile di P può essere supposto avere coefficienti interi e coefficienti principali e costanti che dividono i coefficienti corrispondenti di P.