Tutti i poligoni semplici regolari (un poligono semplice è uno che non si interseca da nessuna parte) sono convessi. Anche quelli che hanno lo stesso numero di lati sono simili.

Un poligono regolare convesso n-sided è indicato dal suo simbolo Schläfli {n}. Per n < 3, abbiamo due casi degenerati:

Monogon {1} Degenerato nello spazio ordinario. (La maggior parte delle autorità non considerano il monogono come un vero e proprio poligono, in parte a causa di questo, e anche perché le formule di seguito non funzionano, e la sua struttura non è quella di qualsiasi poligono astratto.,) Digon {2}; un “segmento di linea doppia” Degenera nello spazio ordinario. (Alcune autorità non considerano il digon come un vero poligono a causa di questo.)

In certi contesti tutti i poligoni considerati saranno regolari. In tali circostanze è consuetudine eliminare il prefisso regolare. Ad esempio, tutte le facce dei poliedri uniformi devono essere regolari e le facce saranno descritte semplicemente come triangolo, quadrato, pentagono, ecc.,

AnglesEdit

Per un regolare convesso di n-gon, ogni angolo interno è una misura di:

180 ( n − 2 ) n {\displaystyle {\frac {180(n-2)}{n}}} gradi; ( n − 2 ) π n {\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}} radianti; o ( n − 2 ) 2 n {\displaystyle {\frac {(n-2)}{2n}}} giri completi,

per n che tende a infinito, l’angolo interno approcci di 180 gradi. Per un poligono regolare con 10.000 lati (un myriagon) l’angolo interno è 179,964°. All’aumentare del numero di lati, l’angolo interno può avvicinarsi molto a 180° e la forma del poligono si avvicina a quella di un cerchio., Tuttavia il poligono non può mai diventare un cerchio. Il valore dell’angolo interno non può mai diventare esattamente uguale a 180°, poiché la circonferenza diventerebbe effettivamente una linea retta. Per questo motivo, un cerchio non è un poligono con un numero infinito di lati.

diagonalimodifica

Per un n-gon regolare inscritto in un cerchio di raggio unitario, il prodotto delle distanze da un dato vertice a tutti gli altri vertici (compresi i vertici adiacenti e i vertici collegati da una diagonale) è uguale a n.,

Punti nel planeEdit

Per un normale semplice n-gon con circumradius R e distanze di da un punto arbitrario nel piano ai vertici, abbiamo

= 1 n d i 4 n + 3 R 4 = ((i = 1 n d i 2 n + R 2 ) 2 . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione..,2 k {\displaystyle S_{n}^{(2m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}(S_{n}^{(2)}-R^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}}

e

S n ( 2 m ) = ( n ( 2 ) ) m + acqua k = 1 ⌊ m 2 ⌋ 1 2 k ( m 2 k ) ( 2 k k ) ( S / n ( 4 ) − ( S n ( 2 ) ) 2 ) k ( S, n ( 2 ) ) m − 2 k {\displaystyle S_{n}^{(2m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}(S_{n}^{(4)}-(S_{n}^{(2)})^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}}

dove m {\displaystyle m} è un numero intero positivo minore di n {\displaystyle n} .,

Se L {\displaystyle L} è la distanza da un qualsiasi punto del piano per il baricentro di un regolare n {\displaystyle n} -gon con circumradius R {\displaystyle R} , quindi

∑ i = 1 n d i 2 m = n ( ( R 2 + L 2 ) m + ∑ k = 1 ⌊ m 2 ⌋ ( m 2 k ) ( 2 k k ) R 2 k L 2 k ( R 2 + L 2 ) m − 2 k ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n((R^{2}+L^{2})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}L^{2k}(R^{2}+L^{2})^{m-2k})}

dove m {\displaystyle m} = 1,2,…, n {\displaystyle n} -1.,

Punti internimodifica

Per un n-gon regolare, la somma delle distanze perpendicolari da qualsiasi punto interno ai lati n è n volte l’apotema:p. 72 (l’apotema è la distanza dal centro a qualsiasi lato). Questa è una generalizzazione del teorema di Viviani per il caso n=3.,loro, e area dei poligoni regolari di n lati e circumradius 1, con la base a, b di un rettangolo con la stessa area la linea verde indica il caso n = 6

Il circumradius R dal centro di un poligono regolare di uno dei vertici è correlata alla lunghezza del lato s o per il apothem un

R = s 2 sin ⁡ ( π n ) = a cos ⁡ ( π n ) {\displaystyle R={\frac {s}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}

Per costruibili poligoni, espressioni algebriche per queste relazioni esistono; vedere Bicentric poligono#poligoni Regolari.,

La somma delle perpendicolari dai vertici di un n-gon regolare a qualsiasi linea tangente al circoncircolo è uguale a n volte il circumradius.: p. 73

La somma delle distanze quadrate dai vertici di un n-gon regolare a qualsiasi punto del suo circoncircolo è uguale a 2nR2 dove R è il circumradius.: p. 73

La somma delle distanze quadrate dai punti medi dei lati di un n-gon regolare a qualsiasi punto del circoncircolo è 2nR2 − ns2/4, dove s è la lunghezza del lato e R è il circumradius.:p., 73

3 ( ∑ i = 1 n d i 2 ) 2 = 2 n ∑ i = 1 n d i 4 {\displaystyle 3(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2})^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}} .

Dissezionedit

Coxeter afferma che ogni zonogon (un 2m-gon i cui lati opposti sono paralleli e di uguale lunghezza) può essere sezionato in ( n 2 ) {\displaystyle {\tbinom {n}{2}}} o m(m-1)/2 parallelogrammi.Queste tilings sono contenute come sottoinsiemi di vertici, bordi e facce in proiezioni ortogonali m-cubi.,In particolare questo è vero per i poligoni regolari con molti lati uniformemente, nel qual caso i parallelogrammi sono tutti rombi.L’elenco OEIS: A006245 fornisce il numero di soluzioni per poligoni più piccoli.,f convesso regolare di n lati del poligono avente lato s, circumradius R, apothem una, e il perimetro p è data da

A = 1 2 n i = 1 2 p a = 1 4 n s 2 culla ⁡ ( π n ) = n 2 tan ⁡ ( π n ) = 1 2 n R 2 sin ⁡ ( 2 π n ) {\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)}

Di tutti gli n-gon con un determinato perimetro, quello con l’area più grande è regolare.