Questa sezione considera casi rappresentativi di onde stazionarie uno e bidimensionali. In primo luogo, un esempio di una stringa di lunghezza infinita mostra come onde identiche che viaggiano in direzioni opposte interferiscono per produrre onde stazionarie. Successivamente, due esempi di stringhe di lunghezza finita con condizioni al contorno diverse dimostrano come le condizioni al contorno limitino le frequenze che possono formare onde stazionarie. Successivamente, l’esempio delle onde sonore in un tubo dimostra come gli stessi principi possono essere applicati alle onde longitudinali con condizioni al contorno analoghe.,
Le onde stazionarie possono verificarsi anche in risonatori bidimensionali o tridimensionali. Con onde stazionarie su membrane bidimensionali come drumheads, illustrate nelle animazioni sopra, i nodi diventano linee nodali, linee sulla superficie in cui non c’è movimento, che separano regioni vibranti con fase opposta. Questi modelli di linee nodali sono chiamati figure di Chladni. Nei risonatori tridimensionali, come le casse di risonanza degli strumenti musicali e i risonatori a cavità a microonde, ci sono superfici nodali., Questa sezione include un esempio di onda stazionaria bidimensionale con un contorno rettangolare per illustrare come estendere il concetto a dimensioni superiori.
Onda stazionaria su una stringa di lunghezza infinitamodifica
Per iniziare, considera una stringa di lunghezza infinita lungo l’asse x che è libera di essere allungata trasversalmente nella direzione y.
Per un’onda armonica che viaggia a destra lungo la corda, lo spostamento della corda nella direzione y in funzione della posizione x e del tempo t è
y R ( x , t ) = y max sin sin ( 2 π x λ − ω t ) ., {\displaystyle y_ {\text {R}} (x,t)=y_ {\text{max}} \ sin \ left ({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right).}
Lo spostamento in direzione y per un identico onda armonica che viaggiano a sinistra
y L ( x , t ) = y max peccato ( 2 π x λ + ω t) {\displaystyle y_{\text{L}}(x,t)=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right),}
dove
- ymax è l’ampiezza dello spostamento di stringa per ogni onda,
- ω è la frequenza angolare o, equivalentemente, 2π volte la frequenza f,
- l è la lunghezza d’onda dell’onda.,
Per onde identiche che viaggiano a destra e a sinistra sulla stessa stringa, lo spostamento totale della stringa è la somma di yR e yL,
y ( x , t ) = y R + y L = y max sin sin ( 2 π x λ – ω t ) + y max sin sin ( 2 π x λ + ω t ) . {\displaystyle y(x,t)=y_{\text{R}}+y_{\text{L}}=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right)+y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\a destra).}
|
y ( x , t ) = 2 y max sin sin ( 2 π x λ ) cos cos ( ω t ) ., {\displaystyle y (x,t)=2y_ {\text{max}} \ sin \ left ({2\pi x \over \lambda }\right)\cos (\omega t).,26c0″>
|
(1) |
Note that Equation (1) does not describe a traveling wave., In qualsiasi posizione x, y ( x,t) oscilla semplicemente nel tempo con un’ampiezza che varia nella direzione x come 2 y max sin sin (2 π x λ ) {\displaystyle 2y_{\text{max}}\sin \left ({2\pi x \over \lambda }\right)} . L’animazione all’inizio di questo articolo descrive ciò che sta accadendo. Quando l’onda blu che viaggia a sinistra e l’onda verde che viaggia a destra interferiscono, formano l’onda rossa in piedi che non viaggia e invece oscilla in posizione.
Poiché la stringa è di lunghezza infinita, non ha alcuna condizione al contorno per il suo spostamento in qualsiasi punto lungo l’asse x., Di conseguenza, un’onda stazionaria può formarsi a qualsiasi frequenza.
In posizioni sull’asse x che sono anche multipli di un quarto di lunghezza d’onda,
x = … , − 3 λ 2 , − λ − λ 2 , 0 , λ 2 , λ , 3 λ 2 , … {\displaystyle x=\ldots ,-{3\lambda \over 2},\;-\lambda ,\;-{\lambda \over 2},\;0,\;{\lambda \over 2},\;\lambda ,\;{3\lambda \over 2},\ldots }
l’ampiezza è sempre zero. Queste posizioni sono chiamate nodi., A posizioni sull’asse x che sono multipli dispari di un quarto di lunghezza d’onda
x = … , − 5 λ 4 , − 3 λ 4 , − λ 4 , λ 4 , 3 λ 4 , 5 λ 4 , … {\displaystyle x=\ldots ,-{5\lambda \over 4},\;-{3\lambda \over 4},\;-{\lambda \over 4},\;{\lambda \over 4},\;{3\lambda \over 4},\;{5\lambda \over 4},\ldots }
l’ampiezza è massima, con un valore pari a due volte l’ampiezza di destra e di sinistra che viaggiano onde che interferiscono per la produzione di questo modello di onda stazionaria. Queste posizioni sono chiamate anti-nodi. La distanza tra due nodi consecutivi o anti-nodi è metà della lunghezza d’onda, λ/2.,
Onda stazionaria su una corda con due estremità fissemodifica
Successivamente, considera una corda con estremità fisse a x = 0 e x = L. La corda avrà un certo smorzamento poiché è allungata dalle onde viaggianti, ma supponiamo che lo smorzamento sia molto piccolo. Supponiamo che all’estremità fissa x = 0 venga applicata una forza sinusoidale che spinge la corda su e giù nella direzione y con una piccola ampiezza a una certa frequenza f. In questa situazione, la forza motrice produce un’onda che viaggia a destra., Quell’onda riflette l’estremità fissa destra e viaggia di nuovo a sinistra, riflette di nuovo l’estremità fissa sinistra e viaggia di nuovo a destra, e così via. Alla fine, viene raggiunto uno stato stazionario in cui la stringa ha onde identiche a destra e sinistra come nel caso di lunghezza infinita e la potenza dissipata dallo smorzamento nella stringa è uguale alla potenza fornita dalla forza motrice in modo che le onde abbiano ampiezza costante.,
L’equazione (1) descrive ancora il modello d’onda stazionaria che può formarsi su questa stringa, ma ora l’equazione (1) è soggetta a condizioni al contorno dove y = 0 a x = 0 e x = L perché la stringa è fissa a x = L e perché assumiamo che la forza motrice all’estremità fissa x = 0 abbia una piccola ampiezza. Controllo dei valori di y alle due estremità,
y ( 0, t ) = 0, {\displaystyle y(0, t)=0,} y ( L, t ) = 2 y max sin sin ( 2 π L λ ) cos cos ( ω t ) = 0. {\displaystyle y (L,t)=2y_ {\text{max}} \ sin \ left({2 \ pi L \ over \ lambda} \ right)\cos (\omega t)=0.,}
Onde stazionarie in una stringa-la modalità fondamentale e le prime 5 armoniche.,3f388d7654″>
(2)
n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\ldots }
Waves can only form standing waves on this string if they have a wavelength that satisfies this relationship with L., Se le onde viaggiano con velocità v lungo la corda, allora equivalentemente la frequenza delle onde stazionarie è limitata a
f = v λ = n v 2 L . Per maggiori informazioni clicca qui.}
L’onda stazionaria con n = 1 oscilla alla frequenza fondamentale e ha una lunghezza d’onda che è il doppio della lunghezza della stringa. Valori interi più alti di n corrispondono a modalità di oscillazione chiamate armoniche o sfumature. Qualsiasi onda stazionaria sulla stringa avrà n + 1 nodi comprese le estremità fisse e n anti-nodi.,
Per confrontare questo esempio i nodi per la descrizione dei nodi per le onde stazionarie nell’infinita stringa di lunghezza, si noti che l’Equazione (2) può essere riscritta come:
λ = 4 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {4}{n}},} n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n=2,4,6,\ldots }
In questa variazione di espressione per la lunghezza d’onda, n deve essere pari., Croce moltiplicando vediamo che poiché L è un nodo, è ancora più di un quarto di lunghezza d’onda,
L = n λ 4 , {\displaystyle L={\frac {n\lambda }{4}},} n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n=2,4,6,\ldots }
in Questo esempio viene illustrato un tipo di risonanza, e le frequenze che producono onde stazionarie, possono essere indicate come le frequenze di risonanza.
Onda stazionaria su una stringa con una estremità fissamodifica
Quindi, considera la stessa stringa di lunghezza L, ma questa volta è fissata solo a x = 0. A x = L, la stringa è libera di muoversi nella direzione y., Ad esempio, la corda potrebbe essere legata a x = L a un anello che può scorrere liberamente su e giù per un palo. La corda ha di nuovo un piccolo smorzamento ed è guidata da una piccola forza motrice a x = 0.
In questo caso, l’equazione (1) descrive ancora il modello di onda stazionaria che può formarsi sulla stringa e la stringa ha la stessa condizione al contorno di y = 0 a x = 0. Tuttavia, a x = L dove la stringa può muoversi liberamente dovrebbe esserci un anti-nodo con ampiezza massima di y. Rivedendo l’equazione (1), per x = L la più grande ampiezza di y si verifica quando
sin sin ( 2 π L λ) = 1., {\displaystyle \ sin \ left({2 \ pi L \ over \ lambda }\right)=1.}
Questo porta a un diverso insieme di lunghezze d’onda rispetto all’esempio a due estremità fisse. Qui, la lunghezza d’onda delle onde stazionarie è limitata a
λ = 4 L n, {\displaystyle \ lambda ={\frac {4L}{n}},} n = 1 , 3 , 5 , … {\displaystyle n=1,3,5, \ ldots}
Equivalentemente, la frequenza è limitata a
f = n v 4 L . Per maggiori informazioni clicca qui.}
Si noti che in questo esempio n prende solo valori dispari. Poiché L è un anti-nodo, è un multiplo dispari di un quarto di lunghezza d’onda., Quindi la modalità fondamentale in questo esempio ha solo un quarto di un ciclo sinusoidale completo-zero a x = 0 e il primo picco a x = L-la prima armonica ha tre quarti di un ciclo sinusoidale completo, e così via.
Questo esempio dimostra anche un tipo di risonanza e le frequenze che producono onde stazionarie sono chiamate frequenze risonanti.
Onda stazionaria in un tubomodifica
Considera un’onda stazionaria in un tubo di lunghezza L., L’aria all’interno del tubo funge da mezzo per le onde sonore longitudinali che viaggiano a destra oa sinistra attraverso il tubo. Mentre le onde trasversali sulla corda degli esempi precedenti variano nel loro spostamento perpendicolare alla direzione del moto ondoso, le onde che viaggiano attraverso l’aria nel tubo variano in termini di pressione e spostamento longitudinale lungo la direzione del moto ondoso., L’onda si propaga alternativamente comprimendo ed espandendo l’aria in segmenti del tubo, che sposta leggermente l’aria dalla sua posizione di riposo e trasferisce energia ai segmenti vicini attraverso le forze esercitate dalle pressioni alternate dell’aria alta e bassa. Equazioni simili a quelle per l’onda su una stringa possono essere scritte per il cambiamento di pressione Δp a causa di un’onda che viaggia a destra oa sinistra nel tubo.,
Δ p R ( x , t ) = p max peccato ( 2 π x λ − ω t) {\displaystyle \Delta p_{\text{R}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right),} Δ p L ( x , t ) = p max peccato ( 2 π x λ + ω t ) , {\displaystyle \Delta p_{\text{L}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right),}
dove
- pmax è l’ampiezza di pressione o il massimo di aumentare o diminuire la pressione dell’aria a causa di ogni onda,
- ω è la frequenza angolare o, equivalentemente, 2π volte la frequenza f,
- l è la lunghezza d’onda dell’onda.,
Se le onde identiche a destra e a sinistra viaggiano attraverso il tubo, la sovrapposizione risultante è descritta dalla somma
Δ p ( x , t ) = Δ p R ( x , t ) + Δ p L ( x , t ) = 2 p max sin sin ( 2 π x λ ) cos cos ( ω t ) . {\displaystyle \Delta p(x,t)=\Delta p_{\text{R}}(x,t)+\Delta p_{\text{L}}(x,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)\cos(\omega t).}
Si noti che questa formula per la pressione è della stessa forma dell’equazione (1), quindi si forma un’onda di pressione stazionaria che è fissa nello spazio e oscilla nel tempo.,
Se l’estremità di un tubo è chiusa, la pressione è massima poiché l’estremità chiusa del tubo esercita una forza che limita il movimento dell’aria. Questo corrisponde a un anti-nodo di pressione. Se l’estremità del tubo è aperta, le variazioni di pressione sono molto piccole, corrispondenti a un nodo di pressione. La posizione esatta del nodo di pressione a un’estremità aperta è in realtà leggermente oltre l’estremità aperta del tubo, quindi la lunghezza effettiva del tubo allo scopo di determinare le frequenze di risonanza è leggermente più lunga della sua lunghezza fisica. Questa differenza di lunghezza viene ignorata in questo esempio., In termini di riflessi, le estremità aperte riflettono parzialmente le onde nel tubo, consentendo di rilasciare una certa energia nell’aria esterna. Idealmente, le estremità chiuse riflettono l’intera onda nella direzione opposta.
Considera prima una pipa aperta ad entrambe le estremità, ad esempio una pipa per organo aperta o un registratore.,ds, le condizioni al contorno sono analoghe a stringa con due estremi fissi,
Δ p ( 0 , t ) = 0 , {\displaystyle \Delta p(0,t)=0,} Δ p ( L , t ) = 2 p max peccato ( 2 π L λ ) cos ( ω t ) = 0 , {\displaystyle \Delta p(L,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\omega t)=0,}
che si verifica solo quando la lunghezza d’onda delle onde stazionarie è
λ = 2 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {2}{n}},} n = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}
o, equivalentemente, quando la frequenza è
f = n v 2 L , {\displaystyle f={\frac {nv}{2}},}
dove v è la velocità del suono.,
Quindi, considera un tubo aperto e quindi ha un nodo di pressione a x = 0 e chiuso e quindi ha un anti-nodo di pressione a x = L. Esempi includono una bottiglia e un clarinetto. Questa pipe ha condizioni al contorno analoghe alla stringa con una sola estremità fissa. Le sue onde stazionarie hanno lunghezze d’onda limitate a
λ = 4 L n, {\displaystyle \ lambda ={\frac {4L}{n}},} n = 1 , 3 , 5 , … , {\displaystyle n=1,3,5, \ ldots,}
o equivalentemente la frequenza delle onde stazionarie è limitata a
f = n v 4 L . Per maggiori informazioni clicca qui.,}
Si noti che per il caso in cui un’estremità è chiusa, n prende solo valori dispari proprio come nel caso della stringa fissata a una sola estremità.
Rappresentazione molecolare di un’onda stazionaria con n = 2 per un tubo chiuso ad entrambe le estremità. Considerando lo spostamento longitudinale, si noti che le molecole alle estremità e le molecole nel mezzo non sono spostate dall’onda, rappresentando nodi di spostamento longitudinale. A metà strada tra i nodi ci sono anti-nodi di spostamento longitudinale in cui le molecole sono spostate al massimo., Considerando la pressione, si noti che le molecole sono compresse e espanse al massimo alle estremità e al centro, rappresentando gli anti-nodi di pressione. A metà strada tra gli anti-nodi ci sono nodi di pressione in cui le molecole non sono né compresse né espanse mentre si muovono.
Finora, l’onda è stata scritta in termini di pressione in funzione della posizione x e del tempo., In alternativa, l’onda può essere scritta in termini di spostamento longitudinale dell’aria, dove l’aria in un segmento del tubo si muove avanti e indietro leggermente nella direzione x al variare della pressione e le onde viaggiano in una o entrambe le direzioni. La variazione di pressione Δp e lo spostamento longitudinale s sono correlati come
Δ p − – ρ v 2 s s x x, {\displaystyle \ Delta p = – \ rho v^{2} {\frac{\partial s} {\partial x}},}
dove ρ è la densità dell’aria., In termini di spostamento longitudinale, le estremità chiuse dei tubi corrispondono ai nodi poiché il movimento dell’aria è limitato e le estremità aperte corrispondono agli anti-nodi poiché l’aria è libera di muoversi. Un fenomeno simile, più facile da visualizzare, si verifica nelle onde longitudinali che si propagano lungo una molla.
Possiamo anche considerare un tubo chiuso ad entrambe le estremità. In questo caso, entrambe le estremità saranno anti-nodi di pressione o equivalentemente entrambe le estremità saranno nodi di spostamento., Questo esempio è analogo al caso in cui entrambe le estremità sono aperte, tranne che il modello di onda stazionaria ha uno sfasamento π 2 2 lungo la direzione x per spostare la posizione dei nodi e degli anti-nodi. Ad esempio, la lunghezza d’onda più lunga che risuona–la modalità fondamentale–è di nuovo il doppio della lunghezza del tubo, tranne che le estremità del tubo hanno anti-nodi di pressione invece di nodi di pressione. Tra le estremità c’è un nodo di pressione., Nel caso di due estremità chiuse, la lunghezza d’onda viene nuovamente limitata a
λ = 2 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},} n = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n=1,2,3, \ ldots,}
e la frequenza è nuovamente limitata a
f = n v 2 L . Per maggiori informazioni clicca qui.}
Un tubo di Rubens fornisce un modo per visualizzare le variazioni di pressione delle onde stazionarie in un tubo con due estremità chiuse.,
Onda stazionaria 2D con limite rettangolaremodifica
Successivamente, considerare le onde trasversali che possono muoversi lungo una superficie bidimensionale all’interno di un limite rettangolare di lunghezza Lx nella direzione x e lunghezza Ly nella direzione y. Esempi di questo tipo di onda sono onde d’acqua in una piscina o onde su un foglio rettangolare che è stato tirato teso. Le onde spostano la superficie nella direzione z, con z = 0 definito come l’altezza della superficie quando è ferma.,
In due dimensioni e In coordinate Cartesiane, l’equazione d’onda è
∂ 2 z ∂ t 2 = c 2 ( ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 ) , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\right),}
dove
- z(x,y,t) è lo spostamento della superficie,
- c è la velocità dell’onda.
Per risolvere questa equazione differenziale, prima risolviamo per la sua trasformata di Fourier, con
Z ( x , y , ω ) = ∫ − ∞ ∞ z ( x , y , t ) e − i ω t d t ., Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}
Prendendo la trasformata di Fourier dell’equazione d’onda,
∂ 2 Z x x 2 + 2 2 Z y y 2 = − ω 2 c 2 Z ( x , y , ω ) . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}Z}{\partial y^{2}}}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}Z(x,y,\omega ).}
Questo è un problema di autovalori in cui le frequenze corrispondono a autovalori che corrispondono a modalità o autofunzioni specifiche della frequenza. In particolare, questa è una forma dell’equazione di Helmholtz e può essere risolta usando la separazione delle variabili., Assumere
Z = X ( x ) Y (y ) . {\displaystyle Z=X (x)Y (y).}
Dividendo l’equazione di Helmholtz per Z,
1 X ( x) 2 2 X x x 2 + 1 Y ( y) 2 2 Y y y 2 + ω 2 c 2 = 0. Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione………………………………………}
Questo porta a due equazioni differenziali ordinarie accoppiate. Il termine x è uguale a una costante rispetto a x che possiamo definire come
1 X ( x) 2 2 X x x 2 = ( i k x ) 2 . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione., La soluzione per X (x), X ( x ) = A k x e i k x x + B k x e-i k x x . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}
Questa x–dipendenza è sinusoidale–ricordando la formula di Eulero-con costanti Akx e Bkx determinate dalle condizioni al contorno., Allo stesso modo, il termine y è uguale a una costante rispetto a y, che potremmo definire
1 Y ( y ) ∂ 2 Y ∂ y 2 = ( k, y ) 2 = k x 2 − ω 2 c 2 , {\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}=(ik_{y})^{2}=k_{x}^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}},}
e le relazioni di dispersione per questa onda è quindi
ω = c k x 2 + k y 2 . il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.}
Risolvere l’equazione differenziale per il termine y,
Y ( y ) = C k y e i k y y + D k y e − i k y y . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.,}
Moltiplicando queste funzioni insieme e applicando la trasformata di Fourier inversa, z ( x,y,t) è una sovrapposizione di modi in cui ogni modo è il prodotto di funzioni sinusoidali per x, y e t,
z (x, y , t) ± e ± i k x x e ± i k y y e ± i ω t . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}
Le costanti che determinano le funzioni sinusoidali esatte dipendono dalle condizioni al contorno e dalle condizioni iniziali., Per vedere come si applicano le condizioni al contorno, considera un esempio come il foglio che è stato tirato teso dove z(x,y,t) deve essere zero attorno al limite rettangolare. Per la dipendenza x, z (x,y,t) deve variare in modo che possa essere zero sia a x = 0 che x = Lx per tutti i valori di y e t.,zione che soddisfa questa condizione al contorno è
peccato k x x {\displaystyle \sin {k_{x}x},}
con kx limitato a
k x = n π L x , n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle k_{x}={\frac {n\pi }{L_{x}}},\quad n=1,2,3,\dots }
allo stesso modo, y dipendenza di z(x,y,t) deve essere zero sia y = 0 e y = Ly, che è soddisfatto dall’
peccato k y y k y = π m L y , m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \sin {k_{y}y},\quad k_{y}={\frac {m\pi }{L_{y}}},\quad m=1,2,3,\puntini }
Limitare l’ondata numeri a questi valori, inoltre, limita le frequenze che risuonano a
ω = c π ( n L x a ) 2 + ( m, L, y ) 2 ., Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}
Se le condizioni iniziali per z(x,y,0) e la sua derivata temporale ż(x,y,0) sono scelte in modo che la dipendenza t sia una funzione coseno, le onde stazionarie per questo sistema assumono la forma
z ( x , y , t ) = z max sin sin ( n π x L x ) sin sin ( m π y L y ) cos cos ( ω t ) . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.,} n = 1 , 2 , 3 , … m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\dots, \quad m=1,2,3,\dots }
Così, le onde stazionarie all’interno di questa fissa contorno rettangolare oscillare nel tempo in determinate frequenze di risonanza con parametri dal n e m interi. Come oscillano nel tempo, non di viaggio e la loro variazione spaziale è sinusoidale sia la x – e y-indicazioni tali da soddisfare le condizioni al contorno. La modalità fondamentale, n = 1 e m = 1, ha un singolo antinodo al centro del rettangolo., La variazione di n e m fornisce modelli bidimensionali complicati ma prevedibili di nodi e antinodi all’interno del rettangolo.
Si noti dalla relazione di dispersione che in determinate situazioni diverse modalità–che significano diverse combinazioni di n e m–possono risuonare alla stessa frequenza anche se hanno forme diverse per la loro dipendenza da x e y. Ad esempio, se il confine è quadrato, Lx = Ly, i modi n = 1 e m = 7, n = 7 e m = 1, e n = 5 e m = 5 risuonano tutti a
ω = c π L x 50 . il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.}