Un modo per rappresentare la striscia di Moebius incorporato in tre-dimensionale spazio Euclideo è la parametrizzazione:

x ( u , v ) = ( 1 + v 2 cos ⁡ u 2 ) cos ⁡ u {\displaystyle x(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u} y ( u , v ) = ( 1 + v 2 cos ⁡ u 2 ) il peccato ⁡ u {\displaystyle y(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u} z ( u , v ) = v 2 sin ⁡ u 2 {\displaystyle z(u,v)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}}} log ⁡ ( r ) peccato ⁡ ( 1 2 θ ) = z cos ⁡ ( 1 2 θ ) ., {\displaystyle\log(r) \ sin\left ({\tfrac {1}{2}} \theta \ right)=z \ cos \ left ({\tfrac {1}{2}}\theta \right).}

Embedding isometrico più ampio in 3-spaceEdit

Se una striscia di Möbius liscia nello spazio a tre è rettangolare, cioè creata dall’identificazione di due lati opposti di un rettangolo geometrico con curvatura ma senza allungamento della superficie , allora tale embedding è noto per essere possibile se le proporzioni del rettangolo sono maggiori di 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}}, con i lati più corti identificati., (Per un rapporto di aspetto più piccolo, non è noto se sia possibile un incorporamento uniforme.) Poiché le proporzioni diminuiscono verso 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}}, qualsiasi incorporamento di questo tipo sembra avvicinarsi a una forma che può essere pensata come una striscia di tre triangoli equilateri, piegati uno sopra l’altro per occupare un triangolo equilatero.

Se la striscia di Möbius nello spazio a tre è solo una volta continuamente differenziabile (classe C1), tuttavia, allora il teorema di Nash-Kuiper mostra che non esiste un limite inferiore.,

Un metodo per fare una striscia di Möbius da una striscia rettangolare troppo larga per torcere e unire semplicemente (ad esempio, un rettangolo lungo solo un’unità e largo un’unità) consiste nel piegare prima la direzione larga avanti e indietro usando un numero pari di pieghe—una “piega a fisarmonica”—in modo che la striscia piegata diventi abbastanza stretta da poter essere attorcigliata e unita, proprio come una singola striscia abbastanza lunga può essere unita. Con due pieghe, ad esempio, una striscia 1 × 1 diventerebbe una striscia piegata 1 × ⅓ la cui sezione trasversale ha la forma di una ‘N’ e rimarrebbe una ‘N’ dopo una mezza torsione., Questa striscia piegata, tre volte più lunga che è larga, sarebbe abbastanza lunga da unirsi alle estremità. Questo metodo funziona in linea di principio, ma diventa impraticabile dopo un numero sufficiente di pieghe, se si utilizza la carta. Usando carta normale, questa costruzione può essere piegata piatta, con tutti gli strati della carta in un unico piano, ma matematicamente, se questo è possibile senza allungare la superficie del rettangolo non è chiaro.,

topologiaedit

La striscia di Möbius è un collettore compatto bidimensionale (cioè una superficie) con contorno. È un esempio standard di una superficie che non è orientabile. In effetti, la striscia di Möbius è l’epitome del fenomeno topologico della non orientabilità., Questo perché le forme bidimensionali (superfici) sono le forme dimensionali più basse per le quali è possibile la non orientabilità e la striscia di Möbius è l’unica superficie che è topologicamente un sottospazio di ogni superficie non orientabile. Di conseguenza, qualsiasi superficie non è orientabile se e solo se contiene una banda di Möbius come sottospazio.

La striscia di Möbius è anche un esempio standard utilizzato per illustrare il concetto matematico di un fascio di fibre. In particolare, è un fascio non banale sul cerchio S1 con la sua fibra uguale all’intervallo unitario, I = ., Guardando solo il bordo della striscia di Möbius si ottiene un fascio non banale a due punti (o Z2) su S1.

Computer graphicsEdit

Una semplice costruzione della striscia di Möbius che può essere utilizzata per ritrarla in computer grafica o pacchetti di modellazione è:

• Prendi una striscia rettangolare. Ruotarlo attorno a un punto fisso non nel suo piano. Ad ogni passo, ruotare anche la striscia lungo una linea nel suo piano (la linea che divide la striscia in due) e perpendicolare al raggio orbitale principale. La superficie generata su un giro completo è la striscia di Möbius.,
• Prendi una striscia di Möbius e tagliala lungo il centro della striscia. Questo forma una nuova striscia, che è un rettangolo unito ruotando un’estremità di un giro intero. Tagliandolo di nuovo al centro, questo forma due strisce interbloccanti.

Geometria del bandedit aperto di Möbius

Può essere costruito come una superficie di curvatura positiva, negativa o zero (gaussiana) costante., Nei casi di curvatura negativa e zero, la banda di Möbius può essere costruita come una superficie (geodetica) completa, il che significa che tutte le geodetiche (“linee rette” sulla superficie) possono essere estese indefinitamente in entrambe le direzioni.

Curvatura negativa costante:come il piano e il cilindro aperto, la banda di Möbius aperta ammette non solo una metrica completa di curvatura costante 0, ma anche una metrica completa di curvatura negativa costante, ad esempio -1., Un modo per vedere questo è iniziare con il modello del semipiano superiore (Poincaré) del piano iperbolico ℍ, vale a dire = ={(x, y) ∈ ℝ2 | y > 0} con la metrica riemanniana data da (dx2 + dy2) / y2. Le isometrie che preservano l’orientamento di questa metrica sono tutte le mappe f: → → → della forma f(z) := (az + b) / (cz + d), dove a, b, c, d sono numeri reali che soddisfano ad − bc = 1. Qui z è un numero complesso con Im (z)> 0, e abbiamo identificato {con {z id | Im(z)> 0} dotato della metrica riemanniana che è stata menzionata., Quindi una isometria di inversione dell’orientamento g di ℍ è data da g(z) := −z, dove z denota il complesso coniugato di z. Questi fatti implicano che la mappatura h: → → given data da h(z) := -2 z z è un’isometria di inversione dell’orientamento di ℍ che genera un infinito gruppo ciclico G di isometrie. (Può essere espresso come h (z) = (√2i z + 0) / (0z − I/√2), e il suo quadrato è l’isometria h(h (z)) := 4 z z, che può essere espresso come (2z + 0) / (0z + 1 2 2).) Il quoziente ℍ / G dell’azione di questo gruppo può essere facilmente visto come topologicamente una banda di Möbius., Ma è anche facile verificare che sia completo e non compatto, con curvatura negativa costante pari a -1.

Il gruppo di isometrie di questa banda di Möbius è 1-dimensionale ed è isomorfo al gruppo ortogonale speciale SO(2).

(Costante) curvatura zero: questo può anche essere costruito come una superficie completa, iniziando con la porzione del piano R2 definita da 0 ≤ y ≤ 1 e identificando (x, 0) con (- x, 1) per tutte le x in R (i reali). La metrica risultante rende la banda di Möbius aperta in una superficie piana (geodeticamente) completa (cioè con curvatura gaussiana uguale a 0 ovunque)., Questa è l’unica metrica sulla banda di Möbius, fino alla scala uniforme, che è sia piatta che completa.

Il gruppo di isometrie di questa banda di Möbius è 1-dimensionale ed è isomorfo al gruppo ortogonale SO(2).

Curvatura positiva costante:una banda di Möbius di curvatura positiva costante non può essere completa, poiché è noto che le uniche superfici complete di curvatura positiva costante sono la sfera e il piano proiettivo., Il piano proiettivo P2 di curvatura costante +1 può essere costruito come il quoziente della sfera unitaria S2 in R3 dalla mappa antipodale A: S2 → S2, definita da A(x, y, z) = (−x, −y, −z). La banda di Möbius aperta è omeomorfa al piano proiettivo una volta forato, cioè P2 con un punto qualsiasi rimosso. Questo può essere pensato come il più vicino che una banda di Möbius di curvatura positiva costante può arrivare ad essere una superficie completa: solo un punto di distanza.

Il gruppo di isometrie di questa banda di Möbius è anche 1-dimensionale e isomorfo al gruppo ortogonale O(2).,

Lo spazio delle rette non orientate nel piano è diffeomorfo alla banda di Möbius aperta. Per capire perché, sia L (θ) che denota la linea attraverso l’origine ad un angolo θ rispetto all’asse x positivo. Per ogni L(θ) c’è la famiglia P(θ) di tutte le rette nel piano che sono perpendicolari a L (θ). Topologicamente, la famiglia P (θ) è solo una linea(perché ogni linea in P(θ) interseca la linea L (θ) in un solo punto). In questo modo, quando θ aumenta nell’intervallo 0 ° ≤ θ < 180°, la linea L(θ) rappresenta il valore di una linea di linee distinte nel piano., Ma quando θ raggiunge 180°, L (180°) è identico a L(0), e quindi anche le famiglie P(0°) e P(180°) delle linee perpendicolari sono famiglie identiche. La linea L (0°), tuttavia, è tornata a se stessa come L(180°) puntata nella direzione opposta. Ogni linea nel piano corrisponde esattamente a una linea in qualche famiglia P(θ), per esattamente una θ, per 0° ≤ θ < 180°, e P(180°) è identico a P (0°) ma restituisce puntato nella direzione opposta. Ciò assicura che lo spazio di tutte le rette nel piano – l’unione di tutte le L(θ) per 0° ≤ θ ≤ 180° – sia una banda di Möbius aperta.,

Il gruppo di trasformazioni lineari biiettive GL(2, R) del piano a se stesso (matrici reali 2 × 2 con determinante diverso da zero) induce naturalmente biiezioni dello spazio delle rette nel piano a se stesso, che formano un gruppo di auto-omeomorfismi dello spazio delle rette. Quindi lo stesso gruppo forma un gruppo di auto-omeomorfismi della banda di Möbius descritta nel paragrafo precedente. Ma non c’è metrica sullo spazio delle linee nel piano che è invariante sotto l’azione di questo gruppo di omeomorfismi. In questo senso, lo spazio delle linee nel piano non ha alcuna metrica naturale su di esso.,

Ciò significa che la banda di Möbius possiede un gruppo di Lie 4-dimensionale naturale di auto-omeomorfismi, dato da GL(2, R), ma questo alto grado di simmetria non può essere esibito come il gruppo di isometrie di qualsiasi metrica.

Banda di Möbius con limite tondomodifica

Il bordo, o limite, di una striscia di Möbius è omeomorfo (topologicamente equivalente) a un cerchio. Sotto i soliti incorporamenti della striscia nello spazio euclideo, come sopra, il confine non è un vero cerchio., Tuttavia, è possibile incorporare una striscia di Möbius in tre dimensioni in modo che il confine sia un cerchio perfetto che giace in un piano. Ad esempio, vedere le figure 307, 308 e 309 di “Geometria e immaginazione”.

Un embedding molto più geometrico inizia con una bottiglia di Klein minimale immersa nella sfera 3, come scoperto da Blaine Lawson. Prendiamo quindi metà di questa bottiglia di Klein per ottenere una banda di Möbius incorporata nella sfera 3 (la sfera unitaria nello spazio 4)., Il risultato è talvolta chiamato “Sudanese Möbius Band”, dove” sudanese ” non si riferisce al paese Sudan ma ai nomi di due topologi, Sue Goodman e Daniel Asimov. L’applicazione della proiezione stereografica alla banda sudanese la colloca nello spazio tridimensionale – come si può vedere sotto-una versione dovuta a George Francis può essere trovata qui.

Dalla bottiglia minimal Klein di Lawson deriviamo un incorporamento della banda nella sfera 3 S3, considerata come un sottoinsieme di C2, che è geometricamente uguale a R4., Mappiamo gli angoli η, φ ai numeri complessi z1, z2 tramite

z 1 = sin η η e i φ {\displaystyle z_{1}=\sin \eta\, e^{i \ varphi}} z 2 = cos η η e i φ / 2 . {\displaystyle z_{2}= \ cos \ eta \, e^{i \ varphi / 2}.}

Per ottenere un embedding della striscia di Möbius in R3 si mappa S3 a R3 tramite una proiezione stereografica. Il punto di proiezione può essere qualsiasi punto su S3 che non giace sulla striscia di Möbius incorporata (questo esclude tutti i soliti punti di proiezione). Una scelta possibile è { 1 / 2,i / 2 } {\displaystyle \left\{1/{\sqrt {2}}, i/{\sqrt {2}}\right\}} ., Le proiezioni stereografiche mappano cerchi in cerchi e preservano il contorno circolare della striscia. Il risultato è un inserimento regolare della striscia di Möbius in R3 con un bordo circolare e senza auto-intersezioni.

La fascia sudanese di Möbius nella sfera S3 è geometricamente un fascio di fibre su un grande cerchio, le cui fibre sono grandi semicerchi. L’immagine più simmetrica di una proiezione stereografica di questa banda in R3 è ottenuta usando un punto di proiezione che si trova su quel grande cerchio che attraversa il punto medio di ciascuno dei semicerchi., Ogni scelta di un tale punto di proiezione si traduce in un’immagine che è congruente a qualsiasi altro. Ma perché un tale punto di proiezione si trova su Mobius band stessa, due aspetti dell’immagine sono significativamente differenti dal caso (come illustrato sopra), dove il punto non è sulla fascia a: 1) l’immagine in R3 non è la Mobius band, ma piuttosto la band con un punto rimosso (da la sua linea di mezzeria); e 2) l’immagine è sconfinata e come si ottiene sempre più lontani dall’origine di R3, sempre più si approssima un aereo., Tuttavia questa versione dell’immagine stereografica ha un gruppo di 4 simmetrie in R3 (è isomorfa al gruppo 4 di Klein), rispetto alla versione limitata illustrata sopra che ha il suo gruppo di simmetrie il gruppo unico di ordine 2. (Se sono consentite tutte le simmetrie e non solo le isometrie che preservano l’orientamento di R3, il numero di simmetrie in ciascun caso raddoppia.)

Ma la versione più geometricamente simmetrica di tutte è la banda di Möbius sudanese originale nella tre-sfera S3, dove il suo intero gruppo di simmetrie è isomorfo al gruppo di Lie O(2)., Avendo una cardinalità infinita (quella del continuum), questo è molto più grande del gruppo di simmetria di qualsiasi possibile incorporamento della banda di Möbius in R3.

Geometria proiettivamodifica

Usando la geometria proiettiva, una banda di Möbius aperta può essere descritta come l’insieme delle soluzioni di un’equazione polinomiale. Aggiungendo una disuguaglianza polinomiale si ottiene una banda di Möbius chiusa. Questi riguardano le bande di Möbius alla geometria dei fasci di linee e all’operazione di esplosione nella geometria algebrica.

= { ( λ A , λ B ) : λ R R {{0 } } ., In questo caso, è possibile utilizzare la funzione di visualizzazione.}

Una realizzazione di una banda di Möbius aperta è data dall’insieme

M = { ( ( x , y),) R R 2 × R P 1 : A x = B y } . {\displaystyle M=\{((x,y),)\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=By\}.,} M ‘= { ( ( x , y)) ∈ R 2 × R P 1 : A x = B, y , B ≠ 0 } = { ( x , y , m ) ∈ R 3 : m x = y } , {\displaystyle {\begin{aligned}M’&=\{((x,y),)\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=Da,\ B\neq 0\}\\&=\{(x,y,m)\in \mathbf {R} ^{3}:mx=y\},\end{aligned}}}

dove m corrisponde a / B {\displaystyle A/B} .

C’è una realizzazione della banda di Möbius chiusa come un insieme simile, ma con un’ulteriore disuguaglianza per creare un confine:

N = { ( ( x , y),) R R 2 × R P 1 : A x = B y , x 2 + y 2 ≤ 1 } ., {\displaystyle N=\{((x,y),)\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=By,\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}.}