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Sezione 5-3 : Prodotto Dot

A volte il prodotto dot è chiamato prodotto scalare. Il prodotto dot è anche un esempio di un prodotto interno e così a volte si può sentire chiamato un prodotto interno.

Ecco alcune proprietà del prodotto dot.

Proprietà

Le prove di queste proprietà sono per lo più prove “computazionali” e quindi ne faremo solo un paio e lasceremo il resto a te da dimostrare.,

Prova di \(\vec u\centerdot \left( {\vec v + \vec w} \right) = \vec u\centerdot \vec v + \vec u\centerdot \vec w\)

Prova : Se \(\vec v\centerdot \vec v = 0\) allora \(\vec v = \vec 0\)

Possiamo quindi il seguente teorema.

Teorema

Prova

La formula di questo teorema viene spesso utilizzata non per calcolare un prodotto punto ma per trovare l’angolo tra due vettori., Si noti inoltre che mentre lo schizzo dei due vettori nella dimostrazione è per vettori bidimensionali, il teorema è valido per vettori di qualsiasi dimensione (purché abbiano la stessa dimensione ovviamente).

Vediamo un esempio di questo.

Il prodotto dot ci fornisce un metodo molto bello per determinare se due vettori sono perpendicolari e darà un altro metodo per determinare quando due vettori sono paralleli. Si noti anche che spesso useremo il termine ortogonale al posto della perpendicolare.

Ora, se due vettori sono ortogonali, sappiamo che l’angolo tra loro è di 90 gradi., Da \(\eqref{eq: eq2}\) questo ci dice che se due vettori sono ortogonali allora,

\

Allo stesso modo, se due vettori sono paralleli allora l’angolo tra loro è 0 gradi (che punta nella stessa direzione) o 180 gradi (che punta nella direzione opposta). Ancora una volta usando \(\eqref{eq:eq2}\) ciò significherebbe che una delle seguenti cose dovrebbe essere vera.

\

Ci sono diverse belle applicazioni del prodotto dot pure che dovremmo guardare.,

Proiezioni

C’è una bella formula per trovare la proiezione di \(\vec b\) su \(\vec a\). Eccolo qui,

Nota che dobbiamo anche stare molto attenti con la notazione qui. La proiezione di \(\vec a\) su \ (\vec b\)è data da

\

Ecco un esempio.

A scopo di confronto facciamolo anche al contrario.

Come possiamo vedere dai due esempi precedenti, le due proiezioni sono diverse, quindi fai attenzione.,

Coseni di direzione

Questa applicazione del prodotto dot richiede che siamo nello spazio tridimensionale a differenza di tutte le altre applicazioni che abbiamo esaminato fino a questo punto.

Ecco uno schizzo di un vettore e gli angoli di direzione.

Le formule per i coseni di direzione sono,

Verifichiamo il primo punto prodotto sopra. Lasceremo il resto a voi per verificare.

\

Ecco un paio di fatti interessanti sui coseni di direzione.

Facciamo un rapido esempio che coinvolge i coseni di direzione.