È possibile ricordare dall’algebra e dal calcolo che una funzione può essere uno-a-uno e su, e queste proprietà sono correlate al fatto che la funzione sia invertibile o meno. Ora esaminiamo queste idee importanti. In matematica avanzata, la parola iniettiva è spesso usato al posto di uno-a-uno, e suriettivo è usato invece di onto. Ecco le definizioni esatte:

Di seguito è riportata una descrizione visiva della Definizione 12.4., In sostanza, iniettivi significa che impari elementi sempre ottenere inviati a disparità di elementi in B. Surjective significa che ogni elemento di B ha una freccia che punta ad esso, che è, è uguale a f(a) per qualche a, nel dominio di f.

Ci sono quattro possibili iniettivo/surjective combinazioni che una funzione può possedere. Questo è illustrato di seguito per quattro funzioni \(A \ rightarrow B\). Le funzioni nella prima colonna sono iniettive, quelle nella seconda colonna non sono iniettive. Le funzioni nella prima riga sono suriettive, quelle nella seconda riga no.,

Notiamo di passaggio che, secondo le definizioni, una funzione è suriettiva se e solo se il suo codominio è uguale al suo intervallo.

Come mostrare una funzione \(f : A \rightarrow B\) è iniettiva:

Di questi due approcci, il contrappositivo è spesso il più facile da usare, specialmente se f è definito da una formula algebrica. Questo perché l’approccio contrappositivo inizia con l’equazione \(f(a) = f(a’)\) e procede all’equazione \(a = a’\). In algebra, come sai, di solito è più facile lavorare con le equazioni che con le disuguaglianze.,

Come mostrare una funzione \(f : A \rightarrow B\) è suriettivo:

Supponiamo \(b \in B\).

Esercizio \(\PageIndex{1}\)

Let \(A=\ {1,2,3,4\}\) e \(B = \{a,b,c\}\). Dare un esempio di una funzione \(f: A \ rightarrow B\) che non è né iniettiva né suriettiva.,

Exercise \(\PageIndex{2}\)

Exercise \(\PageIndex{3}\)

Exercise \(\PageIndex{4}\)

Exercise \(\PageIndex{5}\)

Exercise \(\PageIndex{6}\)

Exercise \(\PageIndex{7}\)

Exercise \(\PageIndex{8}\)

Exercise \(\PageIndex{9}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R}-\{5\}\) defined by \(f(x)= \frac{5x+1}{x-2}\) is bijective.

Exercise \(\PageIndex{10}\)

Prove the function \(f : \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}\) defined by \(f(x) = (\frac{x+1}{x-1})^{3}\) is bijective.,

Exercise \(\PageIndex{11}\)

Exercise \(\PageIndex{12}\)

Exercise \(\PageIndex{13}\)

Exercise \(\PageIndex{14}\)

Exercise \(\PageIndex{15}\)

Exercise \(\PageIndex{16}\)

Exercise \(\PageIndex{17}\)

Exercise \(\PageIndex{18}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) defined as \(f (n) = \frac{(-1)^{n}(2n-1)+1}{4}\) is bijective.