minden szabályos egyszerű sokszög (egy egyszerű sokszög olyan, amely nem keresztezi magát sehol) konvex. Azok, akiknek azonos számú oldala van, szintén hasonlóak.
az n-oldalú konvex szabályos sokszöget a {n} Schläfli szimbólum jelöli. N < 3 esetén két degenerált esetünk van:
Monogon {1} degenerálódik a rendes térben. (A legtöbb hatóság nem tekinti a monogont valódi sokszögnek, részben emiatt, valamint azért is, mert az alábbi képletek nem működnek, szerkezete nem az absztrakt sokszögé.,) Digon {2}; a” kettős vonal szegmens ” degenerálódik a rendes térben. (Egyes hatóságok emiatt nem tekintik a digont valódi sokszögnek.)
bizonyos összefüggésekben az összes vizsgált poligon szabályos lesz. Ilyen körülmények között szokás, hogy az előtagot rendszeresen eldobják. Például az egységes poliéder minden arcának szabályosnak kell lennie, az arcokat pedig egyszerűen háromszögnek, négyzetnek, ötszögnek stb.,
AnglesEdit
egy szabályos konvex n-gon, minden belső szög intézkedés:
180 ( n − 2 ) n {\displaystyle {\frac {180(n-2)}{n}}} fok; ( n − 2 ) π n {\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}} radián; vagy ( n − 2 ) 2 n {\displaystyle {\frac {(n-2)}{2n}}} teljes fordulat,
DiagonalsEdit
egy egység sugarú körbe írt szabályos n-gon esetén az adott csúcstól az összes többi csúcsig (beleértve a szomszédos csúcsokat és csúcsokat, amelyeket átlósan kötnek össze) mért távolságok szorzata n.,
pontok a planeeditben
egy szabályos egyszerű n-gon esetében, a circumradius R-vel, és Di távolságok a sík tetszőleges pontjától a csúcsokig,
i i = 1 n d i 4 n + 3 R 4 = (∑i = 1 n d i 2 n + R 2) 2. {\displaystyle {\frac {\sum _ {i=1}^{n}d_{i}^{4}}} {n}}}+3R^{4} = \ bal ({\FRAC {\sum _ {I=1}^{n}d_{i}^{2}}{n}}}} + r^{2}\Jobb)^{2}.,2 k {\displaystyle S_{n}^{(2m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\összeg _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}(S_{n}^{(2)}-R^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}} ,
S n ( 2 m ) = ( S n ( 2 ) ) m + víz k = 1 ⌊ m 2 ⌋ 1 2 k ( m 2 k ) ( 2 k k ) ( S n ( 4 ) − ( S n ( 2 ) ) 2 ) k ( S, n ( 2 ) ) m − 2 k {\displaystyle S_{n}^{(2m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\összeg _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}(S_{n}^{(4)}-(S_{n}^{(2)})^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}} ,
Ha L {\displaystyle L} a távolság tetszőleges pont a síkon, hogy a súlypontja a rendszeres n {\displaystyle n} -gon a circumradius R {\displaystyle R} , aztán
∑ i = 1 n d i 2 m = n ( ( R 2 + L 2 ) m + ∑ k = 1 ⌊ m 2 ⌋ ( m 2 k ) ( 2 k k ) R 2 k L 2 k ( R 2 + L 2 ) m − 2 k ) {\displaystyle \összeg _{i=1}^{n}d_{i}^{2}=n((R^{2}+L^{2})^{m}+\összeg _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}L^{2k}(R^{2}+L^{2})^{m-2k})} ,
belső pontokszerkesztés
rendszeres n-gon esetén a belső ponttól az n oldalig terjedő merőleges távolságok összege n-szerese a apothemnek: p. 72 (a apothem a középponttól bármely oldalig terjedő távolság). Ez Viviani tételének általánosítása az n=3 esetre.,őket, egy-egy terület, Egy szabályos sokszög n oldalt, majd circumradius 1, a bázis, b téglalap ugyanazon a területen – a zöld vonal mutatja az n = 6
A circumradius R a közepén egy szabályos sokszög egyik csúcsa kapcsolódik az oldalon hossz s vagy a apothem egy a
R = s 2 sin ( π n ) = a cos ( π n ) {\displaystyle R={\frac {s}{2\bűn \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}
constructible sokszög, algebrai kifejezések, ezek a kapcsolatok állnak fenn; lásd Bicentric sokszög#Szabályos sokszögek.,
a szabályos n-gon csúcsaitól a körülmetélt körhöz érintő bármely vonalig terjedő merőlegesek összege megegyezik a circumradius n-jével.:p. 73
a szabályos n-gon csúcsaitól a körülmetélési kör bármely pontjáig terjedő négyzetes távolságok összege 2nr2, ahol R A circumradius.:p. 73
a szabályos n-gon oldalainak felezőpontjaitól a körülmetélési kör bármely pontjáig terjedő négyzetes távolságok összege 2nr2 − ns2/4, ahol s az oldalhossz, R pedig a circumradius.:p., 73
3 ( ∑ i = 1 n d i 2) 2 = 2 n ∑ i = 1 n d i 4 {\displaystyle 3(\sum _ {I=1}^{n}d_{i}^{2})^{2}=2n \ sum _ {I=1}^{n}d_{i}^{4}}}.
DissectionsEdit
Coxeter kimondja, hogy minden zonogon (egy 2M-gon, amelynek ellentétes oldala párhuzamos és egyenlő hosszúságú) lehet boncolni ( n 2 ) {\displaystyle {\tbinom {n}{2}}}}} vagy m(m-1)/2 parallelogramma.Ezek a dőlésszögek a csúcsok, szélek és arcok részhalmazai az M-kockák ortogonális vetületeiben.,Ez különösen igaz a rendszeres sokszögekre, amelyek egyenletesen sok oldalúak, ebben az esetben a parallelogrammok mind rombi.A lista OEIS: a006245 megadja a megoldások számát A kisebb sokszögek.,f konvex szabályos n oldalú sokszög oldala s, circumradius R, apothem egy területet a p által megadott A = 1 2 n k = 1 2 p = 1 4 n s 2 ágy ( π n ) = n 2 tan ( π n ) = 1 2 n R 2 sin ( 2 π n ) {\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\gyerekágy \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\bűn \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)}
Összehasonlítása méretű, szabályos sokszögek ugyanazzal a széle, hossza, három-hatvan oldalról., A méret kötés nélkül növekszik, mivel az Oldalak száma megközelíti a végtelenséget.
az összes n-gon egy adott kerület, az egyik a legnagyobb terület rendszeres.