Elementary proofEdit
tegyük fel, hogy p(p/q) = 0 néhány koprime p, q ∈ ℤ:
p ( p q ) = n ( p q ) n + a N − 1 ( p q ) n − 1 + ⋯ + a 1 ( p q ) + a 0 = 0. {\displaystyle P ({\tfrac {P} {q}}}) \ = \ a_{n} ({\tfrac {p}{q}}}})^{n}+a_{n-1} ({\tfrac {p} {q}}})^{n-1}+\cdots +a_{1}({\tfrac {P}{q}}}) + a_{0}\ =\ 0.}
a nevezők törléséhez,
n P n + A n − 1 p n − 1 q + ⋯ + A 1 p q n – 1 + a 0 q n = 0. {\displaystyle a_{n}p^{n} + a_{n-1}p^{n-1}q + \ cdots +a_{1}pq^{n-1} + a_{0}Q^{n} = 0.,}
az a0 kifejezés jobb oldalra való áthelyezése és a bal oldali p faktorálás a következőket eredményezi:
p ( A N P n − 1 + A n − 1 q P n − 2 + ⋯ + a 1 q n-1) = − a 0 q n . {\displaystyle p\left(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1} \ right)=-a_{0}Q^{n}.}
így a P osztja az a0qn-t. De p coprime q, ezért qn, így Euklidész Lemma p kell osztani a fennmaradó tényező a0.
ezzel szemben az a kifejezés jobb oldalra tolása és a bal oldalon a Q faktorálása a következőt eredményezi:
q (A N-1 p n – 1 + A n − 2 q P n − 2 + ⋯ + a 0 q n − 1 ) = − A n p n ., {\displaystyle Q \ left (a_{n-1}p^{n-1} + a_{n-2}QP^{n-2} + \ cdots + a_{0}Q^{n-1} \ right) = -a_{n}p^{n}.}
érvelés mint korábban, ebből következik, hogy q osztja az an-t.
bizonyítás Gauss lemmaEdit
Ha a polinom összes együtthatóját nem triviális tényező osztja el, akkor az együtthatók legnagyobb közös osztójával osztható meg, hogy Gauss Lemmája értelmében primitív polinom legyen; ez nem változtatja meg a racionális gyökerek halmazát, és csak erősíti az oszthatósági feltételeket., Ez lemma azt mondja, hogy ha a polinom tényezők Q, akkor is tényezők Z, mint egy termék primitív polinomok. Most minden racionális P/q gyökér megfelel a polinom 1-es fokának Q-ban, primitív képviselője pedig qx-p, feltételezve, hogy p és q koprime. De a qx-p Z-jének bármely többszöröse Q-val osztható, a konstans kifejezés pedig P-vel osztható, ami bizonyítja az állítást., Ez az érvelés azt mutatja, hogy általánosabban, minden irreducibilis p tényező feltételezhetjük, hogy egész együtthatók, és vezető és állandó együtthatók elosztjuk a megfelelő együtthatók P.