az Egyik módja annak, hogy képviselje a Möbius szalag beágyazott három-dimenziós Euklideszi tér a parametrization:

x ( u , v ) = ( 1 + v 2, mert ⁡ u 2 ) mert ⁡ u {\displaystyle x(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\, mert u} y ( u , v ) = ( 1 + v 2, mert ⁡ u 2 ) a bűn ⁡ u {\displaystyle y(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\a bűn u} a z ( u , v ) = v 2 sin ⁡ u 2 {\displaystyle z(u,v)={\frac {v}{2}}\bűn {\frac {u}{2}}} napló ⁡ ( r ) sin ⁡ ( 1 2 θ ) = z, mert ⁡ ( 1 2 θ ) ., {\displaystyle \ log (r) \sin\left ({\tfrac {1}{2}}} \Theta\right)=z \cos\left ({\tfrac {1} {2}} \Theta \ right).}

Legszélesebb izometrikus beágyazás 3-spaceEdit

Ha egy sima Möbius szalag három-tér egy téglalap egyik–, hogy az, létrehozott azonosító két ellentétes oldalán egy geometriai téglalap hajlító, de nem érik el a felszínt – akkor egy ilyen beágyazás ismert, hogy lehetséges, ha a képarány a téglalap nagyobb, mint 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} , a rövidebb oldalán azonosított., (Kisebb képarány esetén nem ismert, hogy lehetséges-e sima beágyazás.) Mivel a képarány 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} felé csökken , úgy tűnik, hogy minden ilyen beágyazás megközelít egy olyan alakot, amelyet három egyenlő oldalú háromszög csíkjának lehet tekinteni, egymás tetejére hajtva, hogy egyenlő oldalú háromszöget foglaljanak el.

Ha a három térben lévő Möbius csík csak egyszer folyamatosan differenciálható (C1 osztály), akkor a Nash-Kuiper tétele azt mutatja,hogy nincs alacsonyabb kötés.,

a módszer, hogy egy Möbius szalag egy téglalap alakú szalag túl széles, hogy egyszerűen csavarja és csatlakozzon—például egy téglalap csak egy egység hosszú és egy egység széles) az, hogy először hajtsa a széles irányba oda-vissza egy páros számú redők – egy “harmonika fold” -úgy, hogy a hajtogatott szalag lesz elég keskeny ahhoz, hogy lehet csavarni és csatlakozott, mint egy hosszú szalag is csatlakozott. Két hajtogatással például egy 1 × 1-es szalag 1 × ⅓ hajtogatott szalaggá válna, amelynek keresztmetszete ” N “alakú, és félcsavarás után” N ” maradna., Ez a hajtogatott szalag, háromszor olyan hosszú, mint széles, elég hosszú lenne ahhoz, hogy a végein csatlakozzon. Ez a módszer elvileg működik, de elég sok hajtás után nem praktikus, ha papírt használnak. Normál papír használatával ez a konstrukció laposan hajtható, a papír minden rétegével egyetlen síkban, de matematikailag nem világos, hogy ez lehetséges-e a téglalap felületének nyújtása nélkül.,

TopologyEdit

a Möbius csík kétdimenziós kompakt elosztó (azaz felület) határral. Ez egy szabványos példa egy nem orientálható felületre. Valójában a Möbius szalag a nem orientálhatóság topológiai jelenségének megtestesítője., Ennek oka az, hogy a kétdimenziós formák (felületek) a legalacsonyabb dimenziós formák, amelyekre nem orientálhatóság lehetséges, és a Möbius szalag az egyetlen felület, amely topológiailag minden nem orientálható felület szubtérje. Ennek eredményeként bármely felület nem orientálható, ha és csak akkor, ha szubtérként Möbius sávot tartalmaz.

a Möbius szalag egy szabványos példa, amelyet egy szálköteg matematikai fogalmának illusztrálására használnak. Pontosabban, ez egy nem triviális köteg az S1 kör felett, amelynek rostja megegyezik az egység intervallumával, I = ., Ha csak a Möbius szalag szélére nézünk, akkor az S1 felett egy kétpontos (vagy Z2) köteg nem triviális.

számítógépes grafikákszerkesztés

a Möbius szalag egyszerű felépítése, amely számítógépes grafikákban vagy modellező csomagokban ábrázolható:

• Vegyünk egy téglalap alakú csíkot. Forgassa egy rögzített pont körül, nem a síkjában. Minden lépésben forgassa el a csíkot egy vonal mentén a síkjában(a csíkot két részre osztó vonal), merőlegesen a fő orbitális sugárra. Az egyik teljes fordulat során keletkező felület a Möbius szalag.,
• vegyen egy Möbius csíkot, majd vágja le a szalag közepén. Ez egy új szalagot képez, amely egy téglalap, amelyet az egyik vég egy egész fordulattal elforgatva csatlakoztat. Ha ismét levágja a közepét, ez két egymásba fonódó, egész fordulatú csíkot képez.

A nyitott Möbius bandEdit

geometriája állandó pozitív, negatív vagy nulla (Gauss) görbületű felületként építhető fel., Negatív és nulla görbület esetén a Möbius-sáv (geodéziai) teljes felületként építhető fel, ami azt jelenti, hogy minden geodéziát (“egyenes vonalak” a felületen) határozatlan időre meghosszabbíthatunk mindkét irányban.

Állandó negatív görbület:Mint a gép, s a nyitott henger, a nyílt Möbius zenekar elismeri, nem csak egy teljes metrikus állandó görbületű 0, hanem egy teljes metrikus állandó negatív görbület, mondjuk -1., Ennek egyik módja a hiperbolikus sík ℍ felső félsíkjával (Poincaré) kezdődik, nevezetesen ℍ = { (x, y) ∈ ℝ2 | y > 0} a (DX2 + DY2) / Y2 által megadott Riemanniai metrikával. Ennek a mutatónak az orientáció-megőrző izometriái az f(z) forma F : ℍ → ℍ térképei := (az + b) / (cz + d), ahol a, b, c, d valós számok, amelyek megfelelnek az ad − bc = 1-nek. Itt Z egy komplex szám Im(z) > 0, és azonosítottuk ℍ {z ∈ ℂ | im(z) > 0} az említett Riemanniai metrikával felruházva., Ezután az egyik orientáció-megfordító izometria G ℍ −t g(z) adja: = -z, ahol z A Z komplex konjugátumát jelöli. ezek a tények azt sugallják, hogy a H : ℍ → ℍ h(z) által adott leképezés := -2⋅z A ℍ orientáció-hátrameneti izometria, amely végtelen ciklikus g csoportot generál. (H(z) = (√2i z + 0) / (0z − I/√2), négyzete pedig h(h(z) izometria) := 4⋅z, amely (2z + 0) / (0z + 1⁄2) kifejezhető.) Ennek a csoportnak a hányadosa könnyen topológiailag Möbius zenekarnak tekinthető., De azt is könnyű ellenőrizni, hogy teljes vagy nem kompakt, állandó negatív görbülettel egyenlő -1.

ennek a Möbius-sávnak az izometrikus csoportja 1 dimenziós, és izomorf a speciális ortogonális csoporthoz, így(2).

(állandó) nulla görbület:ez teljes felületként is felépíthető, kezdve az R2 sík 0 ≤ y ≤ 1 által meghatározott részével, és azonosítva (x, 0) (−x, 1) az összes x R-ben (a reál). Az így kapott metrika a nyitott Möbius sávot egy (geodéziai) teljes sík felületre teszi (azaz Gauss görbülete mindenütt 0-nak felel meg)., Ez az egyetlen mutató a Möbius sávon, egyenletes méretezésig, amely mind lapos, mind teljes.

ennek a Möbius-sávnak az izometrikus csoportja 1-dimenziós és izomorf az ortogonális csoporthoz(2).

állandó pozitív görbület: az állandó pozitív görbületű Möbius sáv nem lehet teljes, mivel ismert, hogy az állandó pozitív görbület egyetlen teljes felülete a gömb és a projektív sík., A + 1 állandó görbületű P2 projektív sík az S2 egységgömb hányadosaként építhető R3-ban az a: S2 → S2 antipodális térképen, amelyet a(x, y, z) = (−x, −y, −z) határoz meg. A nyitott Möbius sáv homeomorf az egyszer lyukasztott projektív síkhoz, azaz a P2-hez, bármelyik ponttal eltávolítva. Ezt úgy lehet elképzelni, mint a legközelebb ahhoz, hogy egy állandó pozitív görbületű Möbius sáv teljes felület legyen: csak egy pont távolságra.

ennek a Möbius-sávnak az izometrikus csoportja szintén 1-dimenziós és izomorf az O(2) ortogonális csoportba.,

a síkban lévő nem orientált vonalak tere diffeomorf a nyitott Möbius sávra. Annak érdekében, hogy megtudja, miért, l(θ) jelölje meg a vonalat az Origón keresztül θ szögben a pozitív x-tengelyhez. Minden l(θ) esetében a síkban lévő összes vonal p(θ) családja merőleges az L-re(θ). Topológiailag a p(θ) család csak egy vonal (mert minden p(θ) vonal csak egy pontban metszi az L(θ) vonalat). Ily módon, mivel a θ a 0° ≤ θ < 180° tartományban növekszik, az L(θ) vonal a síkban különálló vonalak értékét jelenti., De amikor θ eléri a 180° – ot, az L(180°) azonos az L(0) értékkel, így a merőleges vonalak p(0°) és P(180°) családjai is azonosak. Az L(0°) vonal azonban visszatért önmagához, mivel l(180°) az ellenkező irányba mutatott. A síkban minden vonal pontosan egy p(θ) családnak felel meg, pontosan egy θ-nak, 0° ≤ θ < 180° – nak, P(180°) pedig megegyezik a P(0°) értékkel, de az ellenkező irányba mutat. Ez biztosítja, hogy a síkban lévő összes vonal tér – az összes l(θ) Uniója 0° ≤ θ ≤ 180° – ra-nyitott Möbius sáv.,

a sík GL(2, R) bijektív lineáris transzformációinak csoportja (valódi 2 × 2 mátrixok, amelyek nem nulla determinánssal rendelkeznek) természetesen a síkban lévő vonalak térének bijektumait indukálja magának, amelyek a vonalak térének önhonomorfizmusainak csoportját alkotják. Ezért ugyanaz a csoport képezi az előző bekezdésben leírt Möbius zenekar önhonomorfizmusainak csoportját. De nincs metrikus a síkban lévő vonalak térén, amely invariáns a homeomorfizmusok ezen csoportjának hatására. Ebben az értelemben a síkban lévő vonalak térének nincs természetes metrikája.,

Ez azt jelenti, hogy a Möbius sáv rendelkezik egy természetes, 4 dimenziós Lie-csoporttal, amelyet a GL(2, R) ad, de ez a magas fokú szimmetria nem mutatható ki bármely metrikus izometria csoportjaként.

Möbius sáv kerek kötésselszerkesztés

a Möbius szalag széle vagy határa homeomorf (topológiailag egyenértékű) egy körrel. A szalag szokásos beágyazása alatt az euklideszi térben, mint fent, a határ nem valódi kör., A Möbius szalagot azonban három dimenzióba lehet beágyazni, hogy a határ egy tökéletes kör legyen, amely valamilyen síkban fekszik. Lásd például a “geometria és a képzelet”307., 308. és 309. ábráját.

egy sokkal geometrikusabb beágyazódás egy minimális Klein palackkal kezdődik, amely a 3-gömbbe merül, amint azt Blaine Lawson fedezte fel. Ezután a Klein palack felét vesszük, hogy egy Möbius sávot beágyazzunk a 3-gömbbe (az egységgömb 4-térben)., Az eredményt néha “szudáni Möbius bandának” nevezik, ahol a “szudáni” nem az országra, hanem két topológus, Sue Goodman és Daniel Asimov nevére utal. A sztereográfiai vetítés alkalmazása a Szudáni sávra háromdimenziós térbe helyezi, amint az alább látható-a George Francis miatt készült változat itt található.

Lawson minimális Klein palackjából a sáv beágyazását a C2 részhalmazának tekintett 3-gömb S3-ba vezetjük, amely geometriailag megegyezik az R4-gyel., Mi térkép szögek η, φ komplex számok Z1, z2 keresztül

z 1 = sin η η e i φ {\displaystyle z_{1} = \ sin \ eta \, e^{i\varphi}} Z 2 = cos ⁡ e i φ / 2 . {\displaystyle z_{2} = \ cos \ eta\, e^{i \ varphi / 2}.}

a Möbius szalag R3-ba történő beágyazásához az egyik az S3-t R3-ra helyezi sztereográfiai vetítéssel. A vetítési pont az S3 bármely olyan pontja lehet, amely nem fekszik a beágyazott Möbius szalagon (ez kizárja az összes szokásos vetítési pontot). Az egyik lehetséges választás { 1 / 2, i / 2} {\displaystyle \ left \ {1 / {\sqrt {2}}}, i /{\sqrt {2}} \ right\}}}., A sztereografikus vetületek köröket rajzolnak körbe, és megőrzik a szalag körkörös határát. Az eredmény a Möbius csík sima beágyazása az R3-Ba, kör alakú éllel, önmetszés nélkül.

A Szudáni Möbius sáv a háromgömbös S3-ban geometriailag egy szálköteg egy nagy kör felett, amelynek szálai nagy félkörök. A szimmetrikus kép egy sztereografikus ez a zenekar a R3 kapott segítségével a vetületi pont, hogy hazugság az, hogy a nagy kör fut keresztül a középpontban, minden a félkörök., Egy ilyen vetítési pont minden választása olyan képet eredményez, amely megegyezik bármely más képével. Hanem azért, mert egy ilyen vetítés pont fekszik a Möbius zenekar is, a két szempontot a kép jelentősen eltér az esetben (fenti ábrán látható), ahol a lényeg nem a zenekar: 1) a kép R3 nem a teljes Möbius zenekar, hanem a zenekar egy pont távolítani (a középvonala); 2) a kép a határtalan, – s mint lesz egyre távolabb a származási R3, hogy egyre inkább megközelíti egy gép., Még ez a verzió a stereographic kép egy csoport 4 szimmetria az R3 (ez izomorf a Klein 4-csoport), mint az határolt verzió fenti ábrán látható, hogy a csoport a szimmetria az egyedi csoport érdekében, 2. (Ha minden szimmetria, és nem csak az R3 orientáció-megőrző izometriája megengedett, akkor a szimmetriák száma minden esetben megduplázódik.)

de a legtöbb geometriailag szimmetrikus változata az eredeti szudáni Möbius zenekar a három gömb S3, ahol a teljes csoport szimmetria izomorf A Lie group O (2)., Végtelen kardinalitással (a kontinuuméval) ez sokkal nagyobb, mint a Möbius sáv esetleges beágyazásának szimmetriacsoportja az R3-ban.

projektív geometriaszerkesztés

projektív geometria segítségével egy nyitott Möbius sáv leírható egy polinom egyenlet megoldásainak halmazaként. A polinom egyenlőtlenség hozzáadása zárt Möbius sávot eredményez. Ezek a Möbius-sávok a vonalkötegek geometriájához és az algebrai geometriában történő robbantás műveletéhez kapcsolódnak.

= {(λ a, λ b): λ ∈ r ∖ { 0} }., {\displaystyle = \ {(\lambda A, \ lambda B): \ lambda \ in \ mathbf {R} \ setminus \ {0\}\}.}

egy nyitott Möbius sáv megvalósítását a

m = {(((x , y ) , ) ∈ R 2 × R P 1 : A x = B y} halmaz adja . {\displaystyle M = \ {((x, y),) \ in \ mathbf {R} ^{2} \ times \ mathbf {rp} ^{1}: Ax = by\}.,} M ‘= { ( ( x , y)) ∈ R 2 × R P 1 : x = B, y , B ≠ 0 } = { ( x , y , m ) ∈ R 3 : m x = y } , {\displaystyle {\begin{igazítva}M’&=\{((x,y))\a \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=A\ B\neq 0\}\\&=\{(x,y,m)\a \mathbf {R} ^{3}:mx=y\},\end{igazítva}}}

hol m felel meg A / B {\displaystyle A/B} .

a zárt Möbius sáv megvalósítása hasonló halmazként történik ,de további egyenlőtlenséggel egy határ létrehozásához:

n = {(((x, y),) ∈ R 2 × R P 1 : A x = B y, x 2 + y 2 ≤ 1}., {\displaystyle N=\{((x,y),)\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=By,\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}.}