Több mint 2000 évvel ezelőtt a görög matematikus Euclid öt posztulátumból álló listát állított fel, amelyekre szerinte geometriát kell építeni. Egyikük, az ötödik, egyenértékű volt egy nyilatkozattal, amelyet mindannyian ismerünk: hogy a háromszög szögei akár 180 fokot is elérhetnek. Ez a posztulátum azonban nem tűnt olyan nyilvánvalónak, mint az Euclid listáján szereplő másik négy, így a matematikusok megpróbálták levezetni tőlük: megmutatni, hogy az első négy posztulátumnak megfelelő geometria szükségszerűen engedelmeskedik az ötödiknek., Harcuk évszázadok óta folytatódott, de végül kudarcot vallottak. Olyan geometriákat találtak, amelyek nem engedelmeskednek az ötödik posztulátumnak.
Gömbgeometria
kép: Lars H. Rohwedder.
a Gömbgeometria egy gömb geometriája. A gömbgeometriában egy vonal euklideszi elképzelése nagy körré válik, vagyis egy maximális sugár körévé, amely közvetlenül a gömb legkövérebb része körül helyezkedik el. Már nem igaz, hogy a háromszög szögeinek összege mindig 180 fok., A nagyon kis háromszögek szöge csak egy kicsit több, mint 180 fok lesz (mert egy nagyon kicsi háromszög szempontjából a gömb felülete majdnem lapos). Nagyobb háromszögek lesz szögek összegezve sokkal több, mint 180 fok.
egy vicces dolog a gömbgeometria felfedezéséhez szükséges idő hosszában az, hogy a geometriát tartja a Föld felszínén!, De soha nem vesszük észre, mert annyira kicsi vagyunk a Föld méretéhez képest, hogy ha háromszöget rajzolunk a földre, és megmérjük annak szögeit, az az összeg, amellyel a szögek összege meghaladja a 180 fokot, olyan apró, hogy nem tudjuk észlelni.
a gömbnek megvan az a része, amit a matematikusok pozitív görbületnek neveznek, és ennek intuitív értelme van., De van egy másik geometria is, amely a dolgokat a másik irányba viszi:
hiperbolikus geometria
a hiperbolikus geometria nem olyan egyszerű, mint a gömbgeometria, mert nem lehet torzítás nélkül modellezni háromdimenziós euklideszi térben. A megjelenítés egyik módja a Poincaré lemez.
Vegyünk egy kerek korongot, mint amilyet a jobb oldali ábrán látható kék kör határol, és képzeljünk el benne egy hangyát., Az euklideszi geometriában a legrövidebb út a korong belsejében lévő két pont között egyenes vonal mentén van. A hiperbolikus geometriában a távolságokat másképp mérik, így a legrövidebb út már nem egy euklideszi egyenes mentén, hanem egy olyan kör íve mentén helyezkedik el, amely derékszögben megfelel a lemez határának, mint az ábrán piros. A hiperbolikus hangya az egyenes vonalat kitérőként tapasztalná meg-inkább egy ilyen kör íve mentén mozog.
egy hiperbolikus háromszög, amelynek oldalai ezeknek a félköröknek az ívei, 180 foknál kisebb szögekkel rendelkezik., A bal oldali ábrán látható fekete-fehér alakzatok hiperbolikus háromszögek.
ennek az új hiperbolikus metrikának az egyik következménye, hogy a korong határköre végtelenül távol van a hiperbolikus hangya szempontjából. Ennek oka az, hogy a metrika torzítja a távolságokat a szokásos euklideszi értékhez képest. Az euklideszi metrikában azonos hosszúságú utak hosszabbak a hiperbolikus metrikában, minél közelebb vannak a határkörhöz., Az alábbi ábra a hiperbolikus sík burkolását mutatja rendszeres heptagonokkal. A torzított metrika miatt a heptagonok mind azonos méretűek a hiperbolikus metrikában. És ahogy látjuk, a hangyának végtelenül sokat kell átkelnie, hogy eljusson a határkörhöz-végtelenül messze van!
a pozitív görbületű szférával ellentétben a hiperbolikus sík negatívan ívelt., Nagyon kis régiói ugyanolyan görbületűek, mint a nyergek: az egyik irány mentén úgy néznek ki, mint egy hegygerinc csúcsa, egy másik irányba pedig úgy néznek ki, mint egy völgy alja.
David Wright által létrehozott kép.
a hiperbolikus geometria úgy néz ki, mint egy fantasztikus matematikai konstrukció, de valós felhasználásokkal rendelkezik. Amikor Einstein 1905-ben kifejlesztette speciális relativitáselméletét, úgy találta, hogy a hiperbolikus geometria szimmetriái pontosan az, amire szüksége volt az elmélet megfogalmazásához., Ma a matematikusok úgy vélik, hogy a hiperbolikus geometria segíthet megérteni a nagy hálózatokat, mint például a Facebook vagy az Internet.
a hiperbolikus geometriáról a nem-euklideszi geometriában és az Indra gyöngyeiben olvashat bővebben.