Show Mobile Notice Show All Notes Hide All Notes
5-3. szakasz: Dot termék
néha a dot terméket skalár terméknek nevezik. A dot termék egy belső termék példája is, így alkalmanként hallhatja, hogy belső terméknek nevezik.
Íme a dot termék néhány tulajdonsága.
tulajdonságok
ezeknek a tulajdonságoknak a bizonyítéka többnyire “számítási” bizonyíték, ezért csak néhányat fogunk megtenni, a többit pedig magukra hagyjuk, hogy bebizonyítsuk.,
\(\vec u\centerdot \left( {\vec v + \vec w} \right) = \vec u\centerdot \vec v + \vec u\centerdot \vec w\)
Proof of : If \(\vec v\centerdot \vec V = 0\) then \(\vec v = \vec 0\)vec 0\)
ezután a következő tétel lehet.
tétel
Proof
ennek a tételnek a képletét gyakran nem ponttermék kiszámítására használják, hanem a két vektor közötti szög megtalálására., Vegye figyelembe azt is, hogy míg a két vektor vázlata a bizonyítékban két dimenziós vektorra vonatkozik, a tétel minden dimenzió vektoraira érvényes (mindaddig, amíg természetesen azonos dimenzióval rendelkeznek).
nézzünk egy példát erre.
a dot termék nagyon szép módszert ad annak meghatározására, hogy két vektor merőleges-e, és ad egy másik módszert annak meghatározására, hogy két vektor párhuzamos-e. Vegye figyelembe azt is, hogy gyakran merőleges helyett az ortogonális kifejezést használjuk.
most, ha két vektor ortogonális, akkor tudjuk, hogy a köztük lévő szög 90 fok., A \(\eqref{eq:eq2}\) – ból ez azt mondja nekünk, hogy ha két vektor ortogonális, akkor
\
hasonlóképpen, ha két vektor párhuzamos, akkor a köztük lévő szög 0 fok (ugyanabba az irányba mutat) vagy 180 fok (ellenkező irányba mutat). Ismét a \(\eqref{eq:eq2}\) használatával ez azt jelenti, hogy az alábbiak egyikének igaznak kell lennie.
\
a dot terméknek számos szép alkalmazása is van, amelyeket meg kell vizsgálnunk.,
van egy szép képlet a \(\vec b\) vetületének \(\vec a\) – ra történő megállapításához. Itt van,
vegye figyelembe, hogy itt is nagyon óvatosnak kell lennünk a jelöléssel. A \(\vec a\) \(\vec B\) vetítését
\
adja meg itt egy példa.
összehasonlítás céljából csináljuk fordítva is.
amint azt az előző két példából láthatjuk, a két vetület eltérő, ezért legyen óvatos.,
Direction Cosines
A dot termék alkalmazása megköveteli, hogy háromdimenziós térben legyünk, ellentétben az összes többi alkalmazással, amelyet eddig megvizsgáltunk.
itt egy vektor vázlata és az irányszögek.
az iránykozinok képletei:
ellenőrizzük a fenti első pontterméket. A többit magára hagyjuk, hogy ellenőrizze.
\
itt van néhány szép tény az irány koszinuszokról.
tegyünk egy gyors példát az iránykozinokkal kapcsolatban.