Ez a szakasz az álló hullámok egy – és kétdimenziós eseteit tekinti reprezentatívnak. Először is, egy végtelen hosszúságú karakterlánc példája azt mutatja, hogy az ellentétes irányban utazó azonos hullámok zavarják az álló hullámok kialakulását. Ezután két véges hosszúságú karakterlánc-példa különböző határfeltételekkel bemutatja, hogy a határfeltételek hogyan korlátozzák az álló hullámokat képző frekvenciákat. Ezután a csőben lévő hanghullámok példája azt mutatja, hogy ugyanazok az elvek alkalmazhatók az analóg határfeltételekkel rendelkező hosszanti hullámokra.,
álló hullámok két – vagy háromdimenziós rezonátorokban is előfordulhatnak. A kétdimenziós membránokon, például a drumheadeken álló álló hullámokkal, amelyeket a fenti animációk szemléltetnek, a csomópontok csomópontokká válnak, vonalak azon a felületen, amelyen nincs mozgás, hogy a különálló régiók ellentétes fázissal rezegjenek. Ezeket a csomós vonalmintákat Chladni alakoknak nevezik. A háromdimenziós rezonátorokban, mint például a hangszeres hangdobozokban és a mikrohullámú üreg rezonátorokban, csomós felületek vannak., Ez a szakasz tartalmaz egy kétdimenziós álló hullám példát egy téglalap alakú határral, hogy bemutassa, hogyan lehet kiterjeszteni a koncepciót magasabb dimenziókra.
állandó hullám végtelen hosszúságú stringEdit
kezdeni, úgy egy sor végtelen hosszúságú mentén x-tengely, amely szabadon nyújtható keresztirányban az y irányba.
a húr mentén jobbra haladó harmonikus hullám esetén a húr elmozdulása y irányban az x pozíció függvényében , a T idő pedig
y R ( x, t ) = y max sin ( 2 π x λ − ω t ) ., {\displaystyle y_ {\text {R}}} (x, t) = y_ {\text{max}}} \ sin \ left ({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right).}
Az elmozdulás az y-irányban azonos harmonikus hullám utazik, hogy a bal
y L ( x , t ) = y max bűn ( 2 π x λ + ω t),, {\displaystyle y_{\text{L}}(x,t)=y_{\text{max}}\bűn \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\jobbra),}
, ahol a
- ymax az amplitúdó az elmozdulás a húr minden hullám,
- a szögsebesség ω frekvencia, vagy egyformán 2π alkalommal a frekvencia f,
- λ a hullámhossz a hullám.,
azonos jobb-és bal-utazó hullámok esetén a sztring teljes elmozdulása az yR és yL összege,
y ( x , t ) = y R + y L = y max sin ( 2 π x λ − ω t ) + y max sin ( 2 π x λ + ω t ) . {\displaystyle y (x, t)=y_{\text{r}}}+Y_{\text{l}}} = Y_{\text{max}}}\sin \left({2\pi x \over \lambda}- \omega t\right)+Y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda} +\omega t\right).}
|
y ( x , t ) = 2 y Max sin ( 2 π x λ ) cos ( ω t ) ., {\displaystyle y (x, t) = 2y_{\text{max}}}\sin \left({2\pi x \over \lambda} \right)\cos(\omega t).,26c0″>
|
(1) |
Note that Equation (1) does not describe a traveling wave., Bármely x pozícióban y (x, t) egyszerűen oszcillál az időben egy amplitúdóval, amely az x irányban változik, mint 2 y max sin ( 2 π x λ) {\displaystyle 2y_{\text{max}}}\sin \left({2\pi x \over \lambda} \right)}}. A cikk elején található animáció ábrázolja, mi történik. Ahogy a bal oldali kék hullám és a jobb oldali zöld hullám beavatkozik, az álló vörös hullámot alkotják, amely nem halad, hanem a helyén oszcillál.
mivel a karakterlánc végtelen hosszúságú,nincs határfeltétele annak elmozdulására az x-tengely mentén., Ennek eredményeként egy álló hullám bármilyen frekvencián kialakulhat.
A helyeken az x-tengelyt, hogy még több negyed hullámhossz,
x = … , − 3 λ 2 , − λ , − λ 2 , 0 , λ 2 , λ , 3 λ 2 , … {\displaystyle x=\ldots ,-{3\lambda \felett 2},\;-\lambda ,\;-{\lambda \vége 2},\;0,\;{\lambda \felett 2},\;\lambda ,\;{3\lambda \felett 2},\ldots }
az amplitúdó mindig nulla. Ezeket a helyeket csomópontoknak nevezik., Olyan helyeken az x-tengely, ami furcsa többszöröse egy negyed hullámhossz
x = … , − 5 λ 4 , − 3 λ 4 , − λ 4 , λ 4 , 3 λ 4 , 5 λ 4 , … {\displaystyle x=\ldots ,-{5\lambda \felett, 4},\;-{3\lambda \felett, 4},\;-{\lambda \felett, 4},\;{\lambda \felett, 4},\;{3\lambda \felett, 4},\;{5\lambda \felett, 4},\ldots }
a maximális amplitúdó értéke kétszer az amplitúdó a jobb, mind a bal-utazás hullámok, amelyek akadályozzák, hogy készítsen a állóhullám minta. Ezeket a helyeket anti-csomópontoknak nevezik. Két egymást követő csomópont vagy anti-csomópont közötti távolság a hullámhossz fele, λ / 2.,
álló hullám két rögzített végű karakterlánconszerkesztés
ezután fontolja meg egy rögzített végű karakterláncot x = 0 és x = L. a karakterláncnak van némi csillapítása, mivel az utazó hullámok nyújtják, de feltételezzük, hogy a csillapítás nagyon kicsi. Tegyük fel, hogy az x = 0 fix végén egy szinuszos erőt kell kifejteni, hogy a meghajtók a string fel-le az y-irányban egy kis amplitúdó egy frekvencia f. Ebben a helyzetben a hajtóerő termel egy haladó hullám., Ez a hullám visszaverődik a jobb rögzített végről, és visszafordul balra, visszaverődik a bal rögzített végről, és visszafordul jobbra, és így tovább. Végül egy állandósult állapotot érünk el, ahol a húr azonos jobb-és bal oldali hullámokkal rendelkezik, mint a végtelen hosszúságú esetben, és a húr csillapításával eloszlatott teljesítmény megegyezik a hajtóerő által szolgáltatott energiával, így a hullámok állandó amplitúdóval rendelkeznek.,
Egyenlet (1) még mindig leírja a folyamatos hullám minta, amely képes formában ezt a fonalat, de most Egyenlet (1) hatálya alá tartozik peremfeltételek, ahol y = 0, az x = 0 x = L, mert a string rögzített x = L, mert feltételezzük, hogy a hajtóerő a rögzített x = 0 end kis amplitúdóval. Az y értékeinek ellenőrzése a két végén,
y ( 0 , t ) = 0 , {\displaystyle y(0,t)=0,} y ( L , t ) = 2 y max sin ( 2 π l λ ) cos ( ω t ) = 0. {\displaystyle y (L, t)=2y_{\text{max}}}\sin \left({2\pi L \over \lambda} \right)\cos(\omega t) = 0.,}
álló hullámok egy stringben – az alapvető mód és az első 5 harmonika.,3f388d7654″>
(2)
n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\ldots }
Waves can only form standing waves on this string if they have a wavelength that satisfies this relationship with L., Ha a hullámok v sebességgel haladnak a húr mentén, akkor az álló hullámok frekvenciája egyenértékűen
f = v λ = n v 2 L-re korlátozódik . ez a szócikk részben vagy egészben a következő szöveggel egészül ki:}
az N = 1-gyel rendelkező álló hullám az alapfrekvencián oszcillál, hullámhossza pedig a húr hosszának kétszerese. Az n magasabb egész értékei megfelelnek a harmonikáknak vagy felhangoknak nevezett oszcillációs módoknak. Minden álló hullám a húr lesz n + 1 csomópontok, beleértve a rögzített végek és n anti-csomópontok.,
összehasonlítani ez a példa az csomópontok, hogy a leírás a csomópontok az állóhullám a végtelen hosszúságú karakterlánc, vegye figyelembe, hogy a (2) Egyenlet adja át lehet írni, mint a
λ = 4 L n {\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},} n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n=2,4,6,\ldots }
ebben a változatban a kifejezés a hullámhossz, meg kell n is., Kereszt-szorzás azt látjuk, hogy mivel L csomópont, ez egy negyed hullámhossz páros többszöröse,
L = n λ 4, {\displaystyle L={\frac {n\lambda }{4},} n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n = 2,4,6, \ ldots }
Ez a példa egyfajta rezonanciát mutat, és az álló hullámokat előállító frekvenciákat rezonáns frekvenciáknak lehet nevezni.
álló hullám egy string egy fix endEdit
következő, fontolja meg ugyanazt a string hosszúságú L, de ezúttal csak rögzített x = 0. X = L esetén a karakterlánc szabadon mozoghat y irányba., Például, a húr lehet kötve x = L egy gyűrű, amely csúszik szabadon fel-le egy pólus. A húrnak ismét van egy kis csillapítása, amelyet egy kis hajtóerő vezet x = 0-nál.
ebben az esetben Az Egyenlet (1) még mindig leírja a folyamatos hullám minta, amely formájában a string, a string ugyanaz a peremfeltétel y = 0, az x = 0. Azonban x = L-nél, ahol a karakterlánc szabadon mozoghat, egy anti-csomópontnak kell lennie, amelynek maximális amplitúdója y. az (1) egyenlet áttekintése, x = L esetében az y legnagyobb amplitúdója akkor fordul elő, ha
sin (2 π l λ) = 1., {\displaystyle \ sin \ left ({2 \ pi L \ over \ lambda} \ right) = 1.}
Ez más hullámhosszhoz vezet, mint a két rögzített végű példában. Itt, a hullámhossz az állóhullám korlátozódik
λ = 4 L n {\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},} n = 1 , 3 , 5 , … {\displaystyle n=1,3,5,\ldots }
Egyformán, a frekvencia korlátozódik
f = n v 4 L . ez a módszer a következő:}
vegye figyelembe, hogy ebben a példában az n csak páratlan értékeket vesz fel. Mivel l egy anti-csomópont, ez egy páratlan többszörös negyed hullámhossz., Így ebben a példában az alapvető módnak csak egynegyede van egy teljes szinuszciklusnak-nulla x = 0-nál, az első csúcs pedig x = L-nél–az első harmonikus háromnegyede egy teljes szinuszciklusnak stb.
Ez a példa egyfajta rezonanciát is mutat, és az álló hullámokat előállító frekvenciákat rezonáns frekvenciáknak nevezzük.
álló hullám egy pipeeditben
fontolja meg egy álló hullámot egy l hosszúságú csőben., A cső belsejében lévő levegő közegként szolgál a hosszanti hanghullámokhoz, amelyek jobbra vagy balra haladnak a csövön keresztül. Míg a transzverzális hullámok az idegen, az előző példák változó az elmozdulás irányára merőleges a hullámmozgás, a hullámok utazik keresztül a levegő a csőben változó szempontjából a nyomás hosszirányú elmozdulás végig az irányt hullám., A hullám terjed által felváltva tömörítése, bővülő levegő szegmensek a cső, amely kiszorítja a levegőt kissé a többi pozícióba, majd az energiát a szomszédos szegmensek keresztül erők által gyakorolt váltakozó, magas, illetve alacsony légköri nyomás. A húron lévő hullámhoz hasonló egyenletek írhatók a Δp nyomás változására a csőben lévő jobb – vagy bal oldali utazási hullám miatt., Δ o R ( x , t ) = p max bűn ( 2 π x λ − ω t),, {\displaystyle \Delta p_{\text{R}}(x,t)=p_{\text{max}}\bűn \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\jobbra),} Δ p L ( x , t ) = p max bűn ( 2 π x λ + ω t ) , {\displaystyle \Delta p_{\text{L}}(x,t)=p_{\text{max}}\bűn \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\jobbra),}
, ahol a
- pmax a nyomás amplitúdó-vagy a maximális növelheti vagy csökkentheti a légnyomás miatt, hogy minden hullám,
- a szögsebesség ω frekvencia, vagy egyformán 2π alkalommal a frekvencia f,
- λ a hullámhossz a hullám.,
ha azonos jobb-és bal oldali hullám halad át a csövön, a kapott szuperpozíciót a
Δ P ( x , t ) = Δ P R ( x , t ) + Δ P L ( x , t ) = 2 p max sin ( 2 π x λ ) cos ( ω t) összeg írja le . {\displaystyle \ Delta P (x,t)=\Delta p_{\text{R}}} (x,t)+\Delta p_{\text{l}}} (x,t)=2p_{\text{max}}}\sin \left ({2\pi x \over \lambda} \right)\cos (\omega t).}
vegye figyelembe, hogy a nyomás ezen képlete az (1) egyenlethez hasonló formában van, tehát egy helyhez kötött nyomáshullám alakul ki, amely térben rögzül, és időben oszcillál.,
Ha a cső vége zárva van, a nyomás maximális, mivel a cső zárt vége olyan erőt fejt ki, amely korlátozza a levegő mozgását. Ez egy nyomásgátló csomópontnak felel meg. Ha a cső vége nyitva van, a nyomásváltozások nagyon kicsiek, ami egy nyomáscsomópontnak felel meg. A nyomáscsomópont pontos elhelyezkedése nyitott végén valójában kissé meghaladja a cső nyitott végét, így a cső tényleges hossza a rezonáns frekvenciák meghatározása céljából kissé hosszabb, mint fizikai hossza. Ebben a példában ezt a hosszkülönbséget figyelmen kívül hagyjuk., A reflexiók szempontjából a nyitott végek részben visszaverik a hullámokat a csőbe, lehetővé téve bizonyos energia felszabadulását a külső levegőbe. Ideális esetben a zárt végek a teljes hullámot a másik irányba tükrözik.
először fontolja meg a mindkét végén nyitott csövet, például egy nyitott szervcsövet vagy egy felvevőt.,ds, a peremfeltételeket hasonló a húr két fix véget ér,
Δ p ( 0 , t ) = 0 , {\displaystyle \Delta p(0,t)=0,} Δ p ( L , t ) = 2 p max bűn ( 2 π L λ ), mert ( ω t ) = 0 , {\displaystyle \Delta p(L,t)=2p_{\text{max}}\a bűn \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\omega t)=0,}
amely csak akkor fordul elő, amikor a hullámhossz álló hullámok
λ = 2 L n {\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},} n = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}
vagy egyformán, amikor a frekvencia
f = n v 2 L , {\displaystyle f={\frac {nv}{2L}},}
ahol v a sebesség hang.,
ezután tekintsünk egy nyitott csövet, amelynek tehát x = 0-nál van egy nyomáscsomópontja, és ezért van egy nyomásgátló csomópontja x = L. A példák közé tartozik egy üveg és egy klarinét. Ez a cső határfeltételekkel rendelkezik, amelyek csak egy rögzített véggel rendelkeznek. Álló hullámai
λ = 4 L n, {\displaystyle \ lambda ={\frac {4L}{n},} n = 1 , 3 , 5 , … , {\displaystyle n = 1,3,5, \ ldots,}
vagy ennek megfelelően az álló hullámok frekvenciája
f = n v 4 L . ez a módszer a következő:,}
vegye figyelembe, hogy abban az esetben, ha az egyik vége zárva van, n csak páratlan értékeket vesz fel, mint a csak az egyik végén rögzített karakterlánc esetében.
egy álló hullám molekuláris ábrázolása n = 2-vel egy olyan cső esetében, amely mindkét végén zárva van. Figyelembe véve a hosszirányú elmozdulást, vegye figyelembe, hogy a végeken lévő molekulákat és a közepén lévő molekulákat a hullám nem mozdítja el, ami a hosszanti elmozdulás csomópontjait jelenti. A csomópontok között félúton vannak hosszirányú elmozdulás elleni csomópontok, ahol a molekulák maximálisan elmozdulnak., Figyelembe véve a nyomást, vegye figyelembe, hogy a molekulák maximálisan összenyomódnak és a végeken és a közepén tágulnak, ami nyomásgátló csomópontokat jelent. Az anti-csomópontok között félúton vannak olyan nyomáscsomópontok, ahol a molekulák nem tömörülnek, nem tágulnak, ahogy mozognak.
eddig a hullámot az x pozíció és az idő függvényében írták a nyomására., Alternatív megoldásként a hullámot a levegő hosszirányú elmozdulása szempontjából is meg lehet írni, ahol a cső egy szegmensében a levegő kissé előre-hátra mozog az x irányban, mivel a nyomás változik, és a hullámok mindkét vagy mindkét irányban haladnak. A nyomás változása Δp, illetve hosszirányú elmozdulás s kapcsolódó, mint
Δ p = − ρ v 2 ∂ s ∂ x,, {\displaystyle \Delta p=-\rho v^{2}{\frac {\partial s}{\partial x}},}
ahol ρ a sűrűség a levegő., A hosszirányú elmozdulás szempontjából a csövek zárt végei csomópontoknak felelnek meg, mivel a levegő mozgása korlátozott, a nyitott végek pedig Anti-csomópontoknak felelnek meg, mivel a levegő szabadon mozoghat. Hasonló, könnyebben megjeleníthető jelenség fordul elő a rugó mentén terjedő hosszanti hullámokban.
egy csövet is figyelembe vehetünk, amely mindkét végén zárva van. Ebben az esetben mindkét vég nyomáscsökkentő csomópont lesz, vagy ennek megfelelően mindkét vég elmozduló csomópont lesz., Ez a példa hasonló ahhoz az esethez, amikor mindkét vég nyitva van, kivéve, ha az álló hullámmintának π⁄2 fáziseltolódása van az x-irány mentén, hogy eltolja a csomópontok és az anti-csomópontok helyét. Például a rezonáló leghosszabb hullámhossz-az alapvető mód-ismét kétszerese a cső hosszának, azzal a különbséggel, hogy a cső végei nyomáscsökkentő csomópontokkal rendelkeznek a nyomáscsomók helyett. A végek között van egy nyomáscsomópont., Két zárt vég esetén a hullámhossz ismét
λ = 2 l n, {\displaystyle \ lambda ={\frac {2L}{n},} n = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n = 1,2,3, \ ldots,}
és a frekvencia ismét csak
f = n v 2 L . ez a szócikk az alábbi linken érhető el:}
a Rubens cső lehetővé teszi az álló hullámok nyomásváltozásainak megjelenítését egy két zárt végű csőben.,
2D álló hullám téglalap alakú korláttalszerkesztés
ezután fontolja meg a keresztirányú hullámokat, amelyek egy kétdimenziós felületen mozoghatnak az LX téglalap alakú határán az x irányban és a Ly hosszúságban az y irányban. Példák az ilyen típusú hullámokra a medencében lévő vízhullámok vagy a négyszögletes lapon lévő hullámok, amelyeket feszesen húztak. A hullámok kiszorítják a felületet a z-irányba, a z = 0 pedig a felület magasságát határozza meg, amikor még mindig van.,
két dimenzióban, illetve Derékszögű koordináták, a hullám egyenlet
∂ 2 z ∂ t 2 = c 2 ( ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 ) , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\right),}
, ahol a
- z(x,y,t) az elmozdulás a felület,
- c a sebesség a hullám.
ennek a differenciálegyenletnek a megoldásához először oldjuk meg a Fourier-transzformációt,
Z (x, y, ω) = ∫ − ∞ ∞ Z ( x , y , t) e − i ω t d t ., {\displaystyle Z (x, y, \omega) =\int _{- \infty} ^{\infty }Z(x,y, t)e^{-i \ omega t}dt.}
a hullámegyenlet Fourier-transzformációjának felvétele,
∂ 2 Z ∂ x 2 + ∂ 2 Z ∂ y 2 = – ω 2 c 2 Z (x , y , ω ) . {\displaystyle {\frac {\parciális ^{2}z}{\parciális x^{2}}}} + {\frac {\parciális ^{2}z}{\parciális y^{2}}}=-{\frac {\omega ^{2}}{C^{2}}}} Z (x,y,\omega ).}
Ez egy eigenvalue probléma, ahol a frekvenciák megfelelnek az olyan eigenértékeknek, amelyek ezután megfelelnek a frekvenciaspecifikus módoknak vagy az eigenfunctioneknek. Pontosabban, ez a Helmholtz-egyenlet egyik formája, amely a változók szétválasztásával oldható meg., Tegyük fel, hogy
Z = X (x) Y (y). {\displaystyle Z = X (x) Y (y).}
A Helmholtz-egyenlet elosztása Z-vel,
1 X (x) ∂ 2 x ∂ x 2 + 1 Y (y ) ∂ 2 y ∂ y 2 + ω 2 C 2 = 0. {\displaystyle {\frac {1} {X (x)}} {\frac {\parciális ^{2}x}{\parciális x^{2}}}}} + {\frac {1}}}} {\frac {\parciális ^{2}y}{\parciális y^{2}}}}}+{\frac {\omega ^{2}} {C^{2}}}}} = 0.}
Ez két összekapcsolt rendes differenciálegyenlethez vezet. Az x kifejezés X-hez képest állandó, amelyet
1 X ( x ) ∂ 2 x ∂ x 2 = ( i k x ) 2-ként definiálhatunk . {\displaystyle {\frac {1}{X (x)}} {\frac {\parciális ^{2}x} {\parciális x^{2}}}} = (ik_{x})^{2}.,}
megoldása X (x),
X (x) = a K x e i k x + B K x e-i k x x . {\displaystyle X (x) = A_{k_{x}}} e^{ik_{x} x}+b_{k_{x}}} e^{-ik_{x} x} x}.}
Ez az x-függőség szinuszos-emlékeztetve Euler képletére-az Akx és Bkx konstansokkal, amelyeket a határfeltételek határoznak meg., Hasonlóképpen, az y kifejezés egyenlő egy állandó tekintetében y tudunk definiálni
1 Y ( y ) ∂ 2 Y ∂ y 2 = ( k-y ) 2 = k x 2 − ω 2 c 2 , {\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}=(ik_{y})^{2}=k_{x}^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}},}
a diszperziós reláció ez a hullám tehát
ω = c k x 2 + k y 2 . {\displaystyle \ omega =C {\sqrt {k_{x}^{2} + k_{y}^{2}}}}}}.}
Az y kifejezés differenciálegyenletének megoldása,
Y (y) = C K y I K y + D K y e-I k y. {\displaystyle Y (y) = C_{k_{y}}} e^{ik_{y}y} + d_{k_{y}}} e^{- ik_{y}y} y}.,}
ezeknek a függvényeknek a szorzata és az inverz Fourier-transzformáció alkalmazása, A z(x,y,t) az üzemmódok szuperpozíciója, ahol minden üzemmód az X, y és t szinuszos funkcióinak terméke,
z ( x , y , t ) ∼ e ± i k x e ± i k y y e ± i ω t . {\displaystyle z(x,y,t)\sim e^{\pm ik_{x}x}e^{\pm ik_{y}y}e^{\pm I\omega t}.}
a szinuszos függvények pontos meghatározását végző konstansok a határfeltételektől és a kezdeti állapotoktól függenek., Ha látni szeretné, hogy a határfeltételek hogyan érvényesek, fontolja meg egy olyan példát,mint például a feszesen húzott lap,ahol z(x, y, t) nullának kell lennie a téglalap alakú határ körül. Az x-függőség esetében a z-nek (x,y,t) oly módon kell változnia, hogy nulla lehet mind x = 0, mind x = LX esetén az y és t összes értékére.,ció, hogy az megfelel-e határ feltétel
bűn k x x,, {\displaystyle \bűn, {k_{x}x},}
a kx korlátozott
k x = n π L x , n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle k_{x}={\frac {n\pi }{L_{x}}},\quad n=1,2,3,\dots }
Hasonlóképpen, az y-függőség a z(x,y,t) nulla kell, hogy legyen mind az y = 0 y = Ly, ami kielégítette
bűn k y , k y = m π L y , m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \bűn, {k_{y}y},\quad k_{y}={\frac {m\pi }{L_{y}}},\quad m=1,2,3,\dots }
Korlátozza a hullám számok, hogy ezek az értékek is korlátozza a frekvenciát, ami rezonál
ω = c π ( n-L-x ) 2 + ( m-L-y ) 2 ., {\displaystyle \ omega =c \ pi {\sqrt {\left ({\frac {n} {l_{x}}}}} \ right)^{2} + \ left ({\frac {m}{l_{y}}}}\right)^{2}}}}}}}.}
Ha a Z(x,y,0) és időrendjének ż(x,y,0) kezdeti feltételeit úgy választjuk ki, hogy a T-függőség koszinuszfüggvény , akkor ennek a rendszernek az álló hullámai
z ( x , y, t ) = Z max sin ( n π X L x ) sin ( m π y l y ) cos ( ω t ) . {\displaystyle z (x, y, t) = z_{\text{max}}}}\sin \left({\frac {n\pi x} {l_{x}}}}}}\right)\sin \left({\frac {m\pi y} {l_{y}}}}\right)\cos \left(\omega t\right).,} n = 1 , 2 , 3 , …, m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\dots \quad m=1,2,3,\dots }
Megjegyzés: a diszperziós reláció, hogy bizonyos helyzetekben különböző módok–azaz a különböző kombinációk a n, de m–május rezonáljon, ugyanolyan gyakorisággal, annak ellenére, hogy különböző formák az x – y-függőség. Például, ha a határ négyzet, Lx = Ly, az N = 1 és m = 7, n = 7 és m = 1, és n = 5 és m = 5 módok mindegyike
ω = c π l x 50 . ez a szócikk részben vagy egészben a következő szöveggel egészül ki:}