(2)

n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\ldots }

Waves can only form standing waves on this string if they have a wavelength that satisfies this relationship with L., Jos aallot matkustaa nopeudella v pitkin merkkijono, sitten vastaavasti taajuus seisovat aallot on rajoitettu

f = v λ = n v-2 L . {\displaystyle f={\frac {v}{\lambda }}={\frac {nv}{2L}}.}

seisova aalto, jonka N = 1 värähtelee perustaajuudella ja jonka aallonpituus on kaksi kertaa merkkijonon pituus. Korkeampi kokonaisluku arvot n vastaavat värähtelytapoja kutsutaan harmoniset tai sävyjä. Kaikki seisova aalto merkkijono on n + 1 solmut, mukaan lukien kiinteät päät ja n anti-solmut.,

vertaa tätä esimerkiksi solmujen kuvaus solmut seisovat aallot ääretön pituus merkkijonon, huomaa, että Yhtälö (2) voidaan kirjoittaa muotoon

λ = 4 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},} n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n=2,4,6,\ldots }

tässä vaihtelu lauseke aallonpituuden, n täytyy olla parillinen., Rajat kertomalla voimme nähdä, että koska L on solmu, se on vielä useita neljäsosa aallonpituus,

L = n λ 4 , {\displaystyle L={\frac {n\lambda }{4}},} n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n=2,4,6,\ldots }

Tämä esimerkki osoittaa, tyyppi resonanssi ja taajuudet, jotka tuottavat seisovat aallot voi olla tarkoitetun kuten resonanssitaajuutta.

Seisova aalto merkkijono, jossa on yksi kiinteä endEdit

mieti Seuraavaksi sama merkkijono, jonka pituus on L, mutta tällä kertaa se on vain vahvistettu x = 0. X = L: ssä merkkijono saa vapaasti liikkua y-suuntaan., Esimerkiksi naru saatetaan sitoa x = L: ssä renkaaseen, joka voi liukua vapaasti tankoa ylös ja alas. Narussa on jälleen pieni vaimennus, ja sitä ajaa pieni ajovoima x = 0.

tässä tapauksessa Yhtälön (1) vielä kuvaa seisovan aallon kuvio, joka voi muodostaa merkkijono ja merkkijono on sama reunaehto y = 0 x = 0. Kuitenkin, x = L, jos merkkijono voi liikkua vapaasti siellä pitäisi olla anti-solmu, jossa maksimaalinen amplitudi y. Tarkastellaan Yhtälöä (1), x = L suurin amplitudi y tapahtuu kun

synti ⁡ ( 2 π L λ ) = 1., {\displaystyle \sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)=1.}

Tämä johtaa eri aallonpituuksilla kuin kaksi-kiinteä-päättyy esimerkki. Täällä, aallonpituus seisovat aallot on rajoitettu

λ = 4 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},} n = 1 , 3 , 5 , … {\displaystyle n=1,3,5,\ldots }

Vastaavasti, taajuus on rajoitettu

f: = n v 4 L . {\displaystyle f={\frac {nv}{4L}}.}

huomaa, että tässä esimerkissä n ottaa vain parittomia arvoja. Koska L on anti-solmu,se on pariton, neljänneksen aallonpituus., Siten perustavanlaatuinen tilassa tässä esimerkissä on vain yksi neljännes täydellinen sini sykli–nolla pisteissä x = 0 ja ensimmäinen huippu x = L–ensimmäinen harmoninen on kolme neljäsosaa täydellinen sini syklin, ja niin edelleen.

Tämä esimerkki osoittaa myös eräänlainen resonanssi ja taajuudet, jotka tuottavat seisovat aallot kutsutaan resonanssitaajuutta.

Seisova aalto on pipeEdit

Harkitse seisovan aallon putken pituus L., Ilma putken sisällä toimii välineenä pitkittäinen ääniaallot matkustaa oikealle tai vasemmalle putken läpi. Kun poikittainen aaltoja string edellisestä esimerkkejä vaihtelevat niiden siirtymä kohtisuorassa aallon liikettä, aallot matkustaa läpi ilmaa putki on eroja sen suhteen, niiden paine-ja pituussuuntainen siirtymä pitkin suuntaan aaltoliike., Aalto etenee vuorotellen puristamalla ja laajentamalla ilman segmenttien putken, joka syrjäyttää ilmaa hieman sen lepoasennossa ja siirtää energiaa naapurimaiden segmenttien kautta kohdistuvat voimat, joita vuorotellen korkea ja alhainen ilman paineita. Yhtälöt, jotka muistuttavat merkkijonon aaltoa, voidaan kirjoittaa paineen Δp muutosta varten putken oikean-tai vasemman-liikkuvan aallon vuoksi.,

Δ p T ( x , t ) = p max synti ⁡ ( 2 π x λ − ω t ) , {\displaystyle \Delta p_{\text{T}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right),} Δ p L ( x , t ) = p max synti ⁡ ( 2 π x λ + ω t ) , {\displaystyle \Delta p_{\text{L}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right),}

, jossa

• pmax on paine amplitudi tai suurin nousu tai lasku ilmanpaineen, koska jokaisen aallon,
• ω on kulmanopeus taajuus tai vastaavasti 2π kertaa taajuus f,
• λ on aallonpituus aalto.,

Jos samanlaisia oikea – ja vasen-matkustaminen aallot kulkevat putken läpi, tuloksena päällekkäisyys on kuvattu summa

Δ p ( x , t ) = Δ p T ( x , t ) + Δ p L ( x , t ) = 2 p max synti ⁡ ( 2 π x-λ ) cos ⁡ ( ω t ) . {\displaystyle \Delta p(x,t)=\Delta p_{\text{T}}(x,t)+\Delta p_{\text{L}}(x,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)\cos(\omega t).}

Huomaa, että tämä kaava paine on samaa muotoa kuin Yhtälö (1), joten paikallaan paine aalto muotoja, jotka on kiinnitetty avaruudessa ja värähtelee ajan.,

Jos putken päähän on suljettu paine on suurimmillaan, koska suljetun putken kohdistaa voiman, joka rajoittaa liikkumista ilmaa. Tämä vastaa paineen vastaista solmua. Jos putken pää on auki, paine-erot ovat hyvin pieniä, vastaava paine-solmu. Tarkka sijainti paine solmu avoin pää on itse asiassa hieman pidemmälle avoimeen päähän putken, niin tehollinen pituus putken määrittämiseksi, kaikuva taajuus on hieman pidempi kuin sen fyysinen pituus. Tämä pituusero jätetään tässä esimerkissä huomiotta., Heijastusten osalta avoimet päät heijastavat osittain aaltoja takaisin putkeen, jolloin jonkin verran energiaa vapautuu ulkoilmaan. Ihannetapauksessa suljetut päät heijastavat koko aallon takaisin toiseen suuntaan.

Ensin harkita putki, joka on molemmista päistä avoin, esimerkiksi avoimen urut putki tai tallennin.,ds, reunaehdot ovat analogisia merkkijono, jossa on kaksi kiinteä päättyy,

Δ p ( 0 , t ) = 0 , {\displaystyle \Delta p(0,t)=0,} Δ p ( L , t ) = 2 p max synti ⁡ ( 2 π L λ ) cos ⁡ ( ω t ) = 0 , {\displaystyle \Delta p(L,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\omega t)=0,}

joka vain tapahtuu, kun aallonpituus seisovat aallot on

λ = 2 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},} n = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}

tai vastaavasti, kun taajuus on

f: = n v 2 L , {\displaystyle f={\frac {nv}{2L}},}

missä v on äänen nopeus.,

Seuraava, harkita putki, joka on avoin ja siksi on paine, joka on solmun x = 0 ja suljettu, ja siksi on paine, anti-solmun x = L. Esimerkkejä ovat pullo ja klarinetti. Tämä putki on reunaehdot analoginen merkkijono vain yksi kiinteä pää. Sen seisovat aallot ovat aallonpituuksilla rajoitettu

λ = 4 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},} n = 1 , 3 , 5 , … , {\displaystyle n=1,3,5,\ldots ,}

tai vastaavasti taajuus seisovat aallot on rajoitettu

f: = n v 4 L . {\displaystyle f={\frac {nv}{4L}}.,}

huomaa, että tapauksessa, jossa toinen pää on suljettu, n ottaa vain parittomia arvoja aivan kuten vain toisessa päässä olevan merkkijonon tapauksessa.

toistaiseksi, aalto on kirjoitettu kannalta sen paineen funktiona asentoon x ja aikaa., Vaihtoehtoisesti, aalto voidaan kirjoittaa kannalta sen pituussuuntainen siirtymä ilmaa, jossa ilman segmentin putki liikkuu edestakaisin hieman x-suuntaan, koska paine vaihtelee ja aallot matkustaa jompaankumpaan tai molempiin suuntiin. Muutos Δp paine-ja pituussuuntainen siirtymä s-liittyvät kuin

Δ p = − ρ v 2 ∂ s ∂ x , {\displaystyle \Delta p=-\rho v^{2}{\frac {\partial t}{\osittainen x}},}

missä ρ on ilman tiheys., Kannalta pituussuuntainen siirtymä, suljetut päät putket vastaavat solmuja, koska ilman liike on rajoitettu ja avoin päät vastaavat anti-solmuja, koska ilma on vapaa liikkumaan. Samanlainen, helpompi visualisoida ilmiö esiintyy pitkittäinen aallot etenevät pitkin kevään.

voimme myös harkita putkea, joka on suljettu molemmista päistä. Tällöin molemmat päät ovat paineen vastaisia solmuja tai vastaavasti molemmat päät ovat siirtymäsolmuja., Tämä esimerkki on analoginen tapauksessa, jossa molemmat päät ovat auki, paitsi seisovan aallon kuvio on π⁄2 phase shift pitkin x-suunnan vaihto-sijainti solmut ja anti-solmut. Esimerkiksi pisin aallonpituus, joka resonoi–perustavanlaatuinen-tilassa–on jälleen kaksi kertaa pituus putken, paitsi että putken päissä on paine anti-solmujen sijaan paine solmut. Päiden välissä on yksi painesolmu., Jos kaksi suljetut päät, aallonpituus on jälleen rajoitettu

λ = 2 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},} n = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}

ja taajuus on jälleen rajoitettu

f: = n v-2 L . {\displaystyle f={\frac {nv}{2L}}.}

Rubensin putki tarjoaa keinon visualisoida seisovien aaltojen painevaihtelut putkessa, jossa on kaksi suljettua päätä.,

2D seisova aalto, jossa on suorakaiteen muotoinen boundaryEdit

Seuraavaksi miettiä, poikittainen aaltoja, jotka voivat liikkua pitkin kaksiulotteinen pinta sisällä suorakulmainen rajan pituus Lx x-suunta ja pituus Ly y-suuntaan. Esimerkkejä tällaisesta aallosta ovat vesiaallot altaassa tai aallot suorakaiteen muotoisella lakanalla, joka on vedetty taut. Aallot syrjäyttää pinnan z-suunnassa, z = 0 on määritelty korkeus pinta kun se on vielä.,

kaksi ulottuvuutta ja Suorakulmaiset koordinaatit, aallon yhtälö on

∂ 2 z ∂ t 2 = c 2 ( ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 ) , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}z}{\osittainen x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\right),}

, jossa

• z(x,y,t) on siirtymä pinta,
• c on nopeutta aalto.

ratkaista tämän differentiaaliyhtälön, katsotaanpa ensin ratkaista sen Fourier-muunnos,

Z ( x , y , ω ) = ∫ − ∞ ∞ z ( x , y , t ) e − i ω t d t ., {\displaystyle Z(x,y,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }z(x,y,t)e^{-i\omega t}dt.}

Ottamalla Fourier-muunnos aallon yhtälö,

∂ 2 Z ∂ x 2 + ∂ 2 Z ∂ y 2 = − ω 2 c 2 Z ( x , y , ω ) . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Z}{\osittainen x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}Z}{\partial y^{2}}}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}Z(x,y,\omega ).}

Tämä on eigenvalue ongelma jossa taajuudet vastaavat ominaisarvot että vastaavat tällöin taajuus-erityisiä tiloja tai eigenfunctions. Erityisesti tämä on Helmholtzin yhtälön muoto ja se voidaan ratkaista muuttujien erottamisella., Oletetaan

Z = X ( x ) Y (y ) . {\displaystyle Z = X(x)Y (y).}

Jakamalla Helmholtzin yhtälö Z,

1 X ( x ) ∂ 2 X ∂ x 2 + 1 Y ( y ) ∂ 2 Y ∂ y 2 + ω 2 c 2 = 0. {\displaystyle {\frac {1}{X – (x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\osittainen x^{2}}}+{\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0.}

tämä johtaa kahteen kytkettyyn tavalliseen differentiaaliyhtälöön. X-termi on X: n suhteen vakio, jonka voimme määritellä

1 X ( x ) ∂ 2 X ∂ x 2 = ( i k x ) 2 . {\displaystyle {\frac {1}{X – (x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\osittainen x^{2}}}=(ik_{x})^{2}.,}

Ratkaiseminen X(x),

X ( x ) = k x e i k x x + B k x e − i k-x-x . {\displaystyle X(x)=A_{k_{x}}e^{ik_{x}x}+B_{k_{x}}e^{-ik_{x}, x}.}

Tämä x-riippuvuus on sinimuotoinen–muistuttaa Eulerin kaava–mallin vakiot Akx ja Bkx määritetään reunaehdot., Samoin, y-termi on yhtä kuin vakio suhteessa y, että voimme määritellä

1 Y ( y ) ∂ 2 Y ∂ y 2 = ( i k y ) 2 = k x 2 − ω 2 c 2 , {\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}=(ik_{y})^{2}=k_{x}^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}},}

ja hajonta suhteessa, tämä aalto on siis

ω = c k 2 x + k y 2 . {\displaystyle \omega =c{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.}

Ratkaista differentiaaliyhtälön y termi,

Y ( y ) = C k y e i k y y + K k y e − i k y y . {\displaystyle Y(y)=C_{k_{y}}e^{ik_{y}, y}+D_{k_{y}}e^{-ik_{y}, y}.,}

Kertomalla nämä toiminnot yhdessä ja soveltamalla käänteinen Fourier-muunnos, z(x,y,t) on päällekkäisyys tilaa, jossa jokainen tila on tuote sinimuotoinen toiminnot x, y, ja t,

z ( x , y , t ) ∼ e ± i k x x e ± i k y y e ± i ω t . {\displaystyle z(x,y,t)\sim-e^{\pm ik_{x}x}e^{\pm ik_{y}, y}e^{\pm\omega t}.}

vakiot, joka määrittää tarkka sinimuotoinen toiminnot riippuvat reunaehdot ja alkuehdot., Nähdä, miten raja-ehtoja sovelletaan, harkitse esimerkki, kuten levy, joka on vedetty kireällä, missä z(x,y,t) on oltava nolla kaikkialla suorakulmainen rajan. X-riippuvuus, z(x,y,t) on vaihdella siten, että se voi olla nolla sekä x = 0 ja x = Lx kaikki arvot y ja t.,seen, joka täyttää tämän reunaehto on,

synti ⁡ k x x , {\displaystyle \sin {k_{x}, x},}

kanssa kx rajoitettu

k x = n π L x , n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle k_{x}={\frac {n\pi }{L_{x}}},\quad n=1,2,3,\dots }

Samoin y riippuvuus z(x,y,t) on nolla sekä y = 0 ja y = Ly, joka on tyytyväinen

synti ⁡ k y y , k y = m d L y , m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \sin {k_{y}, y},\quad k_{y}={\frac {m\pi }{L_{y}}},\quad m=1,2,3,\dots }

Rajoittamalla aalto numeroita näitä arvoja myös rajoittaa taajuuksia, jotka resonoivat

ω = c π ( n-L-x ) 2 + ( m L-y ) 2 ., {\displaystyle \omega =c\pi {\sqrt {\left({\frac {n}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {m}{L_{y}}}\right)^{2}}}.}

Jos alustavat ehdot z(x,y,0) ja sen aikaderivaatta ż(x,y,0) on valittu niin, t-riippuvuus on kosini-toiminto, sitten seisovat aallot tämän järjestelmän muodoltaan

z ( x , y , t ) = z max synti ⁡ ( n d x L-x ) sin ⁡ ( m d y L-y ) cos ⁡ ( ω t ) . {\displaystyle z(x,y,t)=z_{\text{max}}\sin \left({\frac {n\pi-x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {m\pi y}{L_{y}}}\right)\cos \left(\omega t\right).,} n = 1 , 2 , 3 , … m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\dots \quad m=1,2,3,\dots }

Niin, seisovat aallot sisällä kiinteä suorakulmainen rajan värähtelemään aikaa tiettyinä resonanssitaajuutta parametroituja, jonka kokonaisluvut n ja m. Koska ne värähtelemään ajoissa, he eivät matkustaa ja niiden alueellinen vaihtelu on sinimuotoinen sekä x – ja y-suuntiin siten, että ne täyttävät reunaehdot. Keskeinen tila, n = 1 ja m = 1, on yksi antinode keskellä suorakulmion., Vaihteleva n ja m antaa monimutkaisia mutta ennustettavissa kaksiulotteisia malleja solmujen ja antinodien sisällä suorakulmion.

Huom hajonta suhteessa, että tietyissä tilanteissa eri liikennemuotojen–merkitys eri yhdistelmiä, n: n ja m–voi värähdellä samalla taajuudella, vaikka ne ovat eri muotoja, niiden x – ja y-riippuvuus. Esimerkiksi jos raja on neliö, Lx = Ly, tilat, n = 1 ja m = 7, n = 7 ja m = 1, ja n = 5 ja m = 5 kaikki resonoivat

ω = c d L x 50 . {\displaystyle \omega ={\frac {c\pi }{L_{x}}}{\sqrt {50}}.}