kaikki säännölliset yksinkertaiset monikulmiot (yksinkertainen monikulmio on sellainen, joka ei leikkaa itseään missään) ovat kuperia. Samansuuntaisia ovat myös ne, joilla on sama Sivumäärä.

n-puolinen Kupera säännöllinen monikulmio merkitään sen Schläfli-symbolilla {n}. N < 3, meillä on kaksi rappeutua tapauksissa:

Monogon {1} Rappeutua tavallinen tilaa. (Useimmat viranomaiset eivät ole suhteessa monogon kuin todellinen monikulmio, osittain tämän takia, ja myös siksi, että kaavat alla eivät toimi, ja sen rakenne ei ole mitään abstrakteja monikulmio.,) Digon {2};” kaksoisraidasegmentti ” rappeutuu tavallisessa avaruudessa. (Jotkut viranomaiset eivät pidä digonia todellisena monikulmiona tämän vuoksi.)

tietyissä yhteyksissä kaikki tarkastellut polygonit ovat säännöllisiä. Tällaisissa olosuhteissa on tapana pudottaa etuliite säännöllisesti. Esimerkiksi, kaikki kasvot yhtenäinen monitahokas on oltava säännöllinen ja kasvot kuvataan yksinkertaisesti kolmio, neliö, pentagon, jne.,

AnglesEdit

säännöllinen kupera n-gon, jokainen sisustus kulma on mitta:

180 ( n − 2 ) n {\displaystyle {\frac {180(n-2)}{n}}} astetta; ( n − 2 ) π n {\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}} radiaaneina; tai ( n − 2 ) 2 n {\displaystyle {\frac {(n-2)}{2n}}} täyttä kierrosta,

Kun n lähestyy ääretöntä, sisäinen kulma lähestyy 180 astetta. Säännöllisessä monikulmiossa, jossa on 10 000 sivua (myriagon), sisäinen kulma on 179,964°. Kuten määrä sivuilla kasvaa, sisäinen kulma voi tulla hyvin lähelle 180°, ja muodoltaan monikulmio lähestymistapoja, jotka ympyrän., Monikulmio ei kuitenkaan voi koskaan muuttua ympyräksi. Arvo sisäinen kulma voi koskaan tulla yhtä suuri kuin 180°, niin että ympärysmitta olisi käytännössä suora viiva. Tästä syystä, ympyrä ei ole monikulmio, jossa on ääretön määrä puolin.

DiagonalsEdit

säännöllinen n-gon merkitty yksikkö-säde ympyrä, tuote etäisyydet tietyn vertex kaikki muut kärkipisteet (mukaan lukien vierekkäisten vertices, ja kärjet on yhdistetty lävistäjä) = n.,

Pistettä planeEdit

säännöllinen yksinkertainen n-gon kanssa circumradius R ja etäisyydet di alkaen mielivaltainen piste tasossa, jotta vertices, olemme

∑ i = 1 n d i 4 n + 3 R 4 = ( ∑ i = 1 n d i 2 n + R 2 ) 2 . {\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{en}^{4}}{n}}+3R^{4}=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{en}^{2}}{n}}+R^{2}\right)^{2}.,2 k {\displaystyle S_{n}^{(2m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}(S_{n}^{(2)}-R^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}} ,

ja

S n ( 2 m ) = ( S n ( 2 ) ) m + vesi k = 1 ⌊ m 2 ⌋ 1 2 k ( m 2 k ) ( 2 k k ) ( S-n – ( 4 ) − ( S-n – ( 2 ) ) 2 ) k ( S n ( 2 ) ) m − 2 k {\displaystyle S_{n}^{(2m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}(S_{n}^{(4)}-(S_{n}^{(2)})^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}} ,

, jossa m {\displaystyle m} on positiivinen kokonaisluku, joka on pienempi kuin n {\displaystyle n} .,

Jos L {\displaystyle L} on etäisyys on mielivaltainen piste tasossa, jotta centroid säännöllisesti n {\displaystyle n} -gon kanssa circumradius R {\displaystyle R} sitten

∑ i = 1 n d i 2 m = n ( ( R 2 + L 2 ) m + ∑ k = 1 ⌊ m 2 ⌋ ( m 2 k ) ( 2 k-k ) R 2 k L 2 k ( R 2 + L 2 ) m − 2 k ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{en}^{2}=n((R^{2}+L^{2})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}L^{2k}(R^{2}+L^{2})^{m-2k})} ,

, jossa m {\displaystyle m} = 1,2,…, n {\displaystyle n} -1.,

Sisustus pointsEdit

säännöllinen n-gon, summa kohtisuorassa etäisyydet mihin tahansa sisustukseen kohta n puolin on n kertaa apothem:s. 72 (apothem on etäisyys mihin tahansa puolella). Tämä on Vivianin lauseen yleistys N = 3-tapaukselle.,niitä, ja alueella säännöllisesti polygons n puolin ja circumradius 1, pohja -, b -, suorakulmio kanssa samalla alueella – vihreä linja osoittaa, että tapauksessa n = 6

circumradius R keskustasta säännöllinen monikulmio yksi niistä vertices liittyy sivun pituus s tai apothem by

R = s 2 sin ⁡ ( π n ) = a cos ⁡ ( π n ) {\displaystyle R={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}

Varten konstruoitava polygoneja, algebralausekkeissa näiden suhteet olemassa; ks. Bicentric monikulmio#Säännölliset monikulmiot.,

summa pystysuoria osoitteesta säännöllinen n-gon on vertices tahansa line tangentti circumcircle on yhtä kuin n kertaa circumradius.:p. 73

summa potenssiin etäisyyksiltä vertices on säännöllinen n-gon tahansa sen circumcircle vastaa 2nR2, missä R on circumradius.:p.73

summa potenssiin etäisyydet midpoints, puolin säännöllinen n-gon tahansa kohta, circumcircle on 2nR2 − ns2/4, missä s on sivun pituus ja R on circumradius.:p., 73

3 ( ∑ i = 1 n d i 2 ) 2 = 2 n ∑ i = 1 n d i 4 {\displaystyle 3(\sum _{i=1}^{n}d_{en}^{2})^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{en}^{4}} .

DissectionsEdit

Coxeter todetaan, että jokaisella zonogon (2m-gon, jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset ja yhtä pitkät) voidaan leikellään osaksi ( n 2 ) {\displaystyle {\tbinom {n}{2}}} ja m(m-1)/2 parallelograms.Nämä tilings sisältyvät subsets vertices, reunat ja kasvot ortogonaaliset ennusteet m-kuutiot.,Erityisesti tämä on totta säännöllisiä polygoneja tasaisesti monta puolta, jolloin suunnikkaita ovat kaikki rhombi.Luettelo OEIS: A006245 antaa ratkaisumäärän pienemmille monikulmioille.,f kupera säännöllinen n-sivuinen monikulmio, jolla on side s, circumradius R, apothem, ja kehä p on antanut

A = 1 2 n s = 1 2 p a = 1 4 n n 2 cot ⁡ ( π n ) = n 2 tan ⁡ ( π n ) = 1 2 n R 2 sin ⁡ ( 2 π n ) {\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}nsa: n={\tfrac {1}{2}}, pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)}

kaikki n-gons tietyn kehä, jossa suurin alue on säännöllinen.