Yksi tapa edustaa Möbius nauhat upotettu kolme-ulotteinen Euklidinen avaruus on parametrization:

x ( u , v ) = ( 1 + v 2 cos ⁡ u 2 ) cos ⁡ u {\displaystyle x(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u} y ( u , v ) = ( 1 + v 2 cos ⁡ u 2 ) synti ⁡ u {\displaystyle y(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u} z ( u , v ) = v 2 sin ⁡ u 2 {\displaystyle z(u,v)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}}} log ⁡ ( t ) sin ⁡ ( 1 2 θ ) = z cos ⁡ ( 1 2 θ ) ., {\displaystyle \log(t)\sin \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)=z\cos \left({\tfrac {1}{2}}\theta \oikealla).}

Laaja isometrinen upotus 3-spaceEdit

Jos sujuva Möbius strip-kolme-tila on suorakaiteen muotoinen yhden, joka on luotu tunnistamaan kaksi vastakkaista puolta geometrinen suorakulmio taivutus, mutta ei venyttely pinta – sitten tällainen upottamisen tiedetään olevan mahdollista, jos kuvasuhde suorakulmion on suurempi kuin 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} , jossa on lyhyempi puolin tunnistettu., (Pienemmässä kuvasuhteessa ei tiedetä, onko sujuva embedding mahdollinen.), Koska kuvasuhde vähenee kohti 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} , tällainen upottamisen näyttää lähestyä muoto, joka voi olla ajatellut kuin kaistale kolme tasasivuiset kolmiot, taitettu päällekkäin miehittää tasasivuinen kolmio.

Jos Möbius strip kolme tilaa on vain kerran jatkuvasti derivoituva (luokka C1), mutta sitten lause, Nash-Kuiperin osoittaa, että n alaraja on olemassa.,

tapa tehdä Möbius nauhat suorakaiteen nauhat liian leveä yksinkertaisesti twist ja liittyä (esim. suorakulmio vain yksi yksikkö pitkä ja yhden yksikön leveä) on ensimmäinen taita leveä suuntaan edestakaisin käyttäen parillinen määrä taittuu—on ”harmonikka taita”—niin, että taitettu kaistale on kapea riitä, että se voi olla kierretty ja liittyi, niin paljon kuin yksi pitkä-tarpeeksi nauhat voidaan yhdistää. Kaksi taittuu, esimerkiksi 1 × 1 liuska olisi tullut 1 × ⅓ taitettu kaistale, jonka poikkileikkaus on muodoltaan ” N ”ja jäisi” N ” jälkeen puoli-kierre., Tämä taitettu nauha, kolme kertaa niin kauan kuin se on leveä, olisi tarpeeksi pitkä, jotta sitten liittyä päissä. Tämä menetelmä toimii periaatteessa, mutta muuttuu epäkäytännölliseksi riittävän monen taitteen jälkeen, jos paperia käytetään. Käyttämällä tavallista paperia, tämä rakenne voidaan taitettu tasainen, kaikki kerrokset paperin yhdessä tasossa, mutta matemaattisesti, onko tämä on mahdollista ilman venytystä pinta suorakulmio, ei ole selvää.,

TopologyEdit

Möbius-nauha on kaksiulotteinen kompakti moninaiset (eli pinta) kanssa rajan. Se on vakioesimerkki pinnasta, joka ei ole suunnistettavissa. Itse asiassa Möbius-kaistale on epitomi ei-suuntaisuuden topologisesta ilmiöstä., Tämä johtuu siitä, kaksiulotteinen muotoja (pinnat) ovat alhaisimmat-ulotteinen muotoja, jotka nonorientability on mahdollista ja Möbius strip on vain pinta, joka on topologisesti on aliavaruus, joka nonorientable pinta. Tämän seurauksena mikä tahansa pinta on ei-suuntainen, jos ja vain jos se sisältää Möbius-kaistan aliavaruutena.

Möbius-kaistale on myös vakioesimerkki, jota käytetään havainnollistamaan kuitukimpun matemaattista käsitettä. Erityisesti, se on nontrivial nippu ympyrän S1 sen kuitu vastaa yksikön intervalli, I=., Tarkasteltaessa vain reuna Möbius nauhat antaa triviaali kahden pisteen (tai Z2) nippu yli S1.

Tietokone graphicsEdit

yksinkertainen rakentaminen Möbius strip, joka voidaan kuvata sitä, tietokonegrafiikan tai mallinnus paketteja on:

• Ota suorakulmainen kaistale. Pyöritä sitä kiinteän pisteen ympärillä, joka ei ole sen tasossa. Jokaisessa vaiheessa, myös kiertää kaistale pitkin linjaa sen tasossa (linja, joka jakaa nauhat kaksi) ja kohtisuoraan tärkein kiertoradan säde. Yhdellä täydellisellä vallankumouksella syntynyt pinta on Möbius-kaistale.,
• ota Möbius-kaistale ja leikkaa se kaistaleen keskelle. Tämä muodostaa uuden kaistaleen, joka on suorakulmio, johon yhtyy pyörivä toinen pää kokonaisena käännöksenä. Leikkaamalla sen keskeltä uudestaan, tämä muodostaa kaksi toisiinsa kietoutuvaa kokokäänteistä liuskaa.

Geometria avata Möbius bandEdit

Se voi olla rakennettu pinta jatkuva positiivinen, negatiivinen tai nolla (Gaussin) kaarevuus., Tapauksissa negatiivinen ja nolla kaarevuus, Möbius bändi voi olla rakennettu (geodesically) täydellinen pinta, mikä tarkoittaa, että kaikki geodesics (”suorat viivat” pinnalla) voidaan jatkaa loputtomiin kumpaankin suuntaan.

Jatkuva negatiivinen kaarevuus:Kuten kone ja avaa kaasupullon, avaa Möbius bändi myöntää, ei vain täydellinen metrinen vakio kaarevuus 0, mutta myös täydellinen metrinen jatkuva negatiivinen kaarevuus, sanoa, -1., Yksi tapa nähdä tämä on aluksi yläosa kone (Poincaré) malli hyperbolic lentokone ℍ, eli ℍ = { (x, y) ∈ ℝ2 | y > 0} kanssa Riemannin metriikan antama (dx2 + dy2) / y2. Suunta-säilyttää isometries tätä metrinen on kaikki kartat f : ℍ → ℍ muodossa f(z) := (az + b) / (cz + d), missä a, b, c, d ovat reaalilukuja tyydyttävä ad − bc = 1. Tässä z on kompleksiluku, Im(z) > 0, ja olemme tunnistaneet ℍ kanssa {z ∈ ℂ | Im(z) > 0}, jolla Riemannin metristä, joka oli mainittu., Sitten yksi suunta-peruutettaessa isometria g ℍ saadaan g(z) := −z, jossa z tarkoittaa kompleksikonjugaatti z. Nämä tosiasiat merkitsevät, että kartoitus s : ℍ → ℍ antama h(z) := -2⋅z on suunta-peruutettaessa isometry ℍ, joka tuottaa ääretön syklinen ryhmä G isometries. (Se voidaan ilmaista muodossa h(z) = (√2i z + 0) / (0z − I/√2), ja sen neliö on isometria h(h(z)) := 4⋅z, joka voi olla ilmaistu (2z + 0) / (0z + 1⁄2).) Tämän ryhmän toiminnan osamäärä ℍ / G voidaan helposti nähdä topologisesti Möbius-yhtyeenä., Mutta se on myös helppo tarkistaa, että se on täydellinen ja ei-kompakti, jatkuva negatiivinen kaarevuus vastaa -1.

tämän Möbius-yhtyeen isometrioiden ryhmä on 1-ulotteinen ja isomorfinen erityisen ortogonaalisen ryhmän SO(2) kanssa.

(Vakio) nolla kaarevuus:Tämä voi myös olla rakennettu siten, täydellinen pinta, aloittamalla osa tasossa R2 määritelty 0 ≤ y ≤ 1 ja tunnistaminen (x, 0) ja (−x, 1) kaikilla x R (reals). Tuloksena oleva metriikka tekee avoimesta Möbius-kaistasta (geodeettisesti) täydellisen tasaisen pinnan (eli Gaussin kaarevuus on 0 kaikkialla)., Tämä on ainoa tieto on Möbius-yhtye, jopa yhtenäinen skaalaus, joka on sekä tasainen ja täydellinen.

tämän Möbius-yhtyeen isometrioiden ryhmä on 1-ulotteinen ja isomorfinen ortogonaalisen ryhmän SO(2) kanssa.

Jatkuva positiivinen kaarevuus:Möbius bändi jatkuva positiivinen kaarevuus ei voi olla täydellistä, koska se on tiedossa, että vain täydellinen pinnat jatkuva positiivinen kaarevuus ovat alalla ja projective plane., Projective plane P2 vakio kaarevuus +1 voi olla rakennettu siten, osamäärä yksikön pallon S2 R3, jonka vastakkaisia kartta: S2 → S2, määritelty(x, y, z) = (−x, −y, −z). Avoin Möbius bändi on homeomorphic kerran osunut projective plane, joka on, P2 jokin kohta poistetaan. Tätä voidaan pitää lähimpänä sitä, että jatkuvan positiivisen kaarevuuden Möbius-kaistalle voi tulla täydellinen pinta: vain yhden pisteen päässä.

tämän Möbius-yhtyeen isometrioiden ryhmä on myös 1-ulotteinen ja isomorfinen ortogonaalisen ryhmän O(2) kanssa.,

suuntaamattomien linjojen tila tasossa on diffeomorfinen avoimen Möbius-yhtyeen kanssa. Jos haluat nähdä miksi, l (θ) kuvaamaan linjaa Origon kautta kulmassa θ positiiviseen x-akseliin. Jokaiselle L: lle(θ) on kaikkien tasossa olevien viivojen suku P(θ), jotka ovat kohtisuorassa L: ään (θ) nähden. Topologisesti, perhe P(θ) on vain viiva (koska jokainen rivi P(θ) intersects linjan L(θ) vain yksi piste). Tällä tavalla, kun θ kasvaa välillä 0° ≤ θ < 180°, linja L(θ) edustaa linjaa on syytä erilliset linjat tasossa., Mutta kun θ saavuttaa 180°, L(180°) on sama kuin L(0), ja niin perheet, P(0°) ja S(180°) kohtisuorassa linjat ovat myös samanlaisia perheitä. Linja L (0°) on kuitenkin palannut itsekseen, kun L(180°) osoitti vastakkaiseen suuntaan. Jokainen linjan kone vastaa täsmälleen yksi rivi joissakin perhe P(θ), tasan yhden θ, 0° ≤ θ < 180°, ja P(180°) on sama kuin P(0°), mutta palaa huomautti vastakkaiseen suuntaan. Näin varmistetaan, että kaikkien tasossa olevien linjojen tila – kaikkien L: n(θ) suhde 0° ≤ θ ≤ 180° – on avoin Möbius-kaista.,

ryhmän bijective lineaariset muunnokset GL(2, R) koneen itse (reaalisten 2 × 2 matriisien ei-nolla-tekijä) luonnollisesti aiheuttaa bijections tilaa rivit kone itse, joka muodostaa ryhmän itsensä homeomorphisms tilaa rivien. Niinpä sama ryhmä muodostaa edellisessä kappaleessa kuvatun Möbius-yhtyeen omakotiomorfismiryhmän. Mutta ei ole metriikka, avaruus linjojen tasossa, joka on invariant nojalla toiminnan tämän ryhmän homeomorfismeja. Tässä mielessä tasossa olevien viivojen avaruudessa ei ole luonnollista metriikkaa.,

Tämä tarkoittaa sitä, että Möbius-yhtye on luonnollinen 4-dimensional Lie ryhmä itse homeomorphisms, koska GL(2, R), mutta tämä korkea symmetria ei voi olla esillä kuin ryhmä isometries tahansa metrinen.

Möbius bändi pyöreä boundaryEdit

reuna tai raja, on Möbius strip on homeomorphic (topologically vastaava), ympyrä. Alla tavallista embeddings nauhat Euklidinen avaruudessa, kuten edellä, raja ei ole todellinen ympyrä., Möbius-kaistale on kuitenkin mahdollista upottaa kolmeen ulottuvuuteen niin, että rajana on jossain tasossa makaava täydellinen ympyrä. Katso esimerkiksi ”geometrian ja mielikuvituksen” luvut 307, 308 ja 309.

paljon enemmän geometrinen upottamisen alkaa minimaalinen Klein pullo upotetaan 3-pallo, koska löysi Blaine Lawson. Otamme sitten puolet tästä Klein-pullosta saadaksemme Möbius-kaistan upotettuna 3-palloon (yksikköpallo 4-avaruudessa)., Tulos on joskus kutsutaan ”Sudanin Möbius-Bändi”, jossa ”sudanin” ei viittaa maa-Sudanin mutta nimet kaksi topologists, Sue Goodman ja Daniel Asimov. Soveltamalla stereograafinen projektio Sudanin bändi paikoissa se kolmiulotteisessa avaruudessa, kuten voidaan nähdä alla – versio, koska George Francis löytyy täältä.

Lawson on minimaalinen Klein pullo johdamme embedding bändi osaksi 3-pallo S3, pitää osajoukko C2, joka on geometrisesti sama kuin R4., Meidän kartta näkökulmista η, φ, jotta kompleksiluvut z1, z2 kautta

z 1 = sin ⁡ η e i φ {\displaystyle z_{1}=\sin \eta \,e^{i\varphi }} z 2 = cos ⁡ η e i φ / 2 . {\displaystyle z_{2}=\cos \eta \,e^{i\varphi /2}.}

saada upottamisen Möbius strip R3 yksi maps S3 R3 kautta stereograafinen projektio. Projektiopiste voi olla mikä tahansa piste S3, joka ei ole upotettu Möbius nauhat (tämä sulkee pois kaikki tavanomaiset projektio pistettä). Yksi mahdollinen valinta on { 1 / 2 , i / 2 } {\displaystyle \left\{1/{\sqrt {2}},i/{\sqrt {2}}\right\}} ., Stereographic ennusteet kartta piireissä piireissä ja säilyttää pyöreä rajan nauhat. Tuloksena on sileä upottamisen Möbius strip osaksi R3, jossa on pyöreä reuna ja ole itse risteyksiä.

Sudanin Möbius-yhtyeen kolme-alalla S3 on geometrisesti kuidun nippu yli suuri ympyrä, jonka kuidut ovat suuria semicircles. Eniten symmetrinen kuva stereographic projektio tämä bändi R3 saadaan käyttämällä projektio kohta, että on, että suuri ympyrä, joka kulkee läpi midpoint, jokainen semicircles., Jokainen valinta tällaisen projektiopiste johtaa kuvan, joka on yhdenmukainen muiden kanssa. Mutta koska tällainen projektio kohta sijaitsee Möbius bändi itse, kaksi näkökohtia kuva on merkittävästi erilainen kuin tapauksessa (kuvattu edellä), jossa kohta ei ole bändi: 1) kuvan R3 ei ole koko Möbius bändi, vaan bändin kanssa yksi kohta poistettu (sen keskiviiva); ja 2) kuva on rajaton – ja se saa yhä kaukana alkuperä R3, se yhä on lähellä konetta., Vielä tämä versio stereographic kuva on ryhmä 4 symmetries R3 (se on isomorfinen Klein 4-ryhmä), verrattuna rajoittuu versio edellä kuvattu ottaa sen ryhmän symmetries ainutlaatuinen ryhmä, jotta 2. (Jos kaikki symmetriat eikä vain R3: n orientaatiota säilyttäviä isometrioita sallitaan, symmetrioiden lukumäärä kussakin tapauksessa kaksinkertaistuu.)

Mutta kaikkein geometrisesti symmetrinen versio on alkuperäinen Sudanin Möbius-yhtyeen kolme-alalla S3, jossa sen koko ryhmä symmetries on isomorphic on Lie-ryhmä O(2)., Ottaa ääretön kardinaliteetti (että continuum), tämä on paljon suurempi kuin symmetria ryhmä mahdolliset upottamisen Möbius bändi R3.

Projective geometryEdit

Using projective geometry, avoin Möbius bändi voidaan kuvata joukko ratkaisuja polynomi yhtälö. Polynomin epäyhtälön lisääminen johtaa suljettuun Möbius-yhtyeeseen. Nämä liittyvät Möbius bändejä geometria linja nippuja ja toiminnan räjäyttäminen algebrallinen geometria.

= { ( λ A , λ b ) : λ λ r ∖ { 0 } } ., {\displaystyle =\{(\lambda,\lambda B):\lambda \in \mathbf {R} \setminus \{0\}\}.}

toteutumista avoin Möbius bändi on antanut set

M: = { ( ( x , y)) ∈ R 2 × R P 1 : A x = B, y } . {\displaystyle M=\{((x,y))\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=By\}.,} M ’= { ( ( x , y)) ∈ R 2 × R P 1 : A x = B, y , B ≠ 0 } = { ( x , y , m ) ∈ R 3 : m x = y } , {\displaystyle {\begin{aligned}M’&=\{((x,y))\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=By,\ B\neq 0\}\\&=\{(x,y,m)\in \mathbf {R} ^{3}:mx=y\},\end{aligned}}}

jossa m vastaa A / B {\displaystyle A/B} .

– on toteutumista suljettu Möbius-yhtyeen samanlainen setti, mutta lisää eriarvoisuutta luoda raja:

N = { ( ( x , y)) ∈ R 2 × R P 1 : A x = B, y , x 2 + y 2 ≤ 1 } ., {\displaystyle N=\{((x,y),)\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=By,\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}.}