Yli 2000 vuotta sitten kreikan matemaatikko Eukleides keksi luettelo viisi pääperiaatetta, joihin hän ajatteli geometria olisi rakennettu. Yksi niistä, viides, vastasi toteamusta, jonka me kaikki tunnemme: että kulmat kolmio lisätä jopa 180 astetta. Kuitenkin, tämä olettamus ei näytä niin ilmeinen kuin muut neljä Eukleides on lista, joten matemaatikot yrittivät päätellä sen: osoittamaan, että geometria tottele ensimmäiset neljä pääperiaatetta olisi välttämättä totella viides., Heidän taistelunsa jatkui vuosisatoja, mutta lopulta he epäonnistuivat. He löysivät esimerkkejä geometrioista, jotka eivät tottele viidettä postulaattia.
Pallomainen geometria
Kuva: Lars H. Rohwedder.
Pallogeometria on geometriaa pallossa. Vuonna pallomainen geometria, Eukleideen ajatus line tulee suuri ympyrä, että on, ympyrä suurin säde ulottuu noin lihavin osa alalla. Enää ei pidä paikkaansa, että kolmion kulmien summa olisi aina 180 astetta., Hyvin pieniä kolmioita on kulmat yhteen vain hieman yli 180 astetta (koska näkökulmasta hyvin pieni kolmio, pinta on pallo, joka on lähes tasainen). Isommat kolmiot ovat kulmat yhteen hyvin paljon yli 180 astetta.
Yksi hauska juttu noin kauan kesti löytää pallomainen geometria on se, että se on geometria, joka pitää pinnalla Maan!, Mutta emme koskaan todella huomaa, koska olemme niin pieni verrattuna koko Maan että jos me piirtää kolmion päällä, ja mitata sen kulmien summa, jonka kulmien summa on suurempi kuin 180 astetta, on niin pieni, että emme voi havaita sitä.
pallossa on matemaatikkojen mukaan positiivista kaarevuutta ja tämä on intuitiivista järkeä., Mutta on toinenkin geometria, joka vie asioita toiseen suuntaan:
Hyperbolinen geometria
Hyperbolinen geometria ei ole niin helppo kuvitella, kuten pallomainen geometria, koska se voi olla mallinnettu kolmiulotteinen Euklidinen avaruus ilman säröä. Yksi tapa visualisoida se on nimeltään Poincarén levy.
ota pyöreä levy, kuten se, jota rajoittaa oikealla olevassa kuvassa oleva sininen ympyrä, ja kuvittele muurahainen, joka asuu sen sisällä., Euklidisessa geometriassa lyhin polku kahden pisteen välillä kyseisen levyn sisällä on suoraa viivaa pitkin. Vuonna hyperbolinen geometria etäisyydet mitataan eri tavalla niin, että lyhin polku ei ole enää pitkin Euklidinen suora viiva, mutta pitkin ympyrän kaaren, joka täyttää rajan levyn kulmassa, kuten kuvassa punaisella kuvassa. Hyperbolinen muurahainen kokisi suoran reitin kiertotienä — se liikkuu mieluummin tällaisen ympyrän kaarta pitkin.
hyperbolisessa kolmiossa, jonka sivut ovat näiden puoliympyröiden kaaria, on kulmat, jotka laskevat alle 180 asteeseen., Kaikki kuvassa vasemmalla olevat mustavalkoiset muodot ovat hyperbolisia kolmioita.
Yksi seuraus tästä uusi hyperbolinen metriikka on, että raja ympyrä levy on äärettömän kaukana näkökulmasta hyperbolinen ant. Tämä johtuu siitä, että metriikka vääristää etäisyyksiä tavallisen euklidisen suhteen. Polkuja, jotka näyttävät samalta pituus Euklidinen metriikka ovat enää hyperbolinen metriikka, mitä lähempänä ne ovat rajan ympyrä., Alla olevassa kuvassa hyperbolisen tason laatoitus esitetään tavallisilla heptagoneilla. Vinoutuneen metriikan vuoksi heptagonit ovat hyperbolisessa metriikassa kaikki samankokoisia. Ja kuten voimme nähdä ant täytyy kulkea äärettömän monta niistä päästä rajan ympyrä — se on äärettömän kaukana!
toisin kuin pallon positiivinen kaarevuus, hyperbolinen taso on negatiivisesti kaareva., Hyvin pienillä alueilla se on sama tyyppi kaarevuus kuten satulat: pitkin yhteen suuntaan, ne näyttävät huipulle vuoren harjanteelle, ja pitkin toiseen suuntaan ne näyttävät alas laaksoon.
Kuva luonut David Wright.
hyperbolinen geometria saattaa näyttää mielikuvitukselliselta matemaattiselta konstruktiolta, mutta sillä on tosielämän käyttötarkoituksia. Kun Einstein kehitti erityisen suhteellisuusteorian vuonna 1905 hän totesi, että symmetries hyperbolinen geometria olivat juuri sitä, mitä hän tarvitsi muotoilla teoria., Nykyään matemaatikot uskovat, että hyperbolinen geometria voi auttaa ymmärtämään suuria verkkoja, kuten Facebookia tai Internetiä.
voit lukea lisää hyperbolisesta geometriasta Epäeuklidisessa geometriassa ja Indran helmistä.