Alkeis proofEdit
Oletetaan, että P(p/q) = 0 joillekin keskenään jaottomia p, q ∈ ℤ:
P ( p q ) = n ( p q ) n + a n − 1 ( p-q ) n − 1 + ⋯ + 1 ( p q ) + 0 = 0. {\displaystyle P({\tfrac {p}{q}})\ =\ a_{n}({\tfrac {p}{q}})^{n}+a_{n-1}({\tfrac {p}{q}})^{n-1}+\cdots +a_{1}({\tfrac {p}{q}})+a_{0}\ =\ 0.}
poista nimittäjät,
n-p n + a n − 1 p n − 1 q + ⋯ + 1 p q n − 1 + a 0 q n = 0. {\displaystyle a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}k+\cdots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0.,}
Siirtymässä a0 aikavälillä oikealle puolelle ja factoring p vasemmalla puolella tuottaa:
p ( a n-p n − 1 + a n − 1 q p n − 2 + ⋯ + 1 q n − 1 ) = − a 0 k n . {\displaystyle p\left(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}\right)=-a_{0}q^{n}.}
siis p jakaa a0qn: n. Mutta p on keskenään jaottomia q ja siis qn, niin Euclid ’ s lemma p on jakaa jäljellä tekijä a0.
toisaalta, siirtyminen on termi oikealla puolella ja factoring q vasemmalla puolella tuottaa:
q ( n − 1 p n − 1 + a n − 2 q p n − 2 + ⋯ + 0 q n − 1 ) = − n p n ., {\displaystyle q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1}\right)=-a_{n}p^{n}.}
päättely kuten ennenkin, siitä seuraa, että q jakaa an.
Todiste käyttäen Gauss’ lemmaEdit
Pitäisi olla triviaali tekijä jakaa kaikki polynomin kertoimia, sitten yksi voi jakaa suurin yhteinen tekijä kertoimia niin, että saadaan primitiivinen polynomi siinä mielessä, että Gaussin lemma; tämä ei vaikuta joukko rationaalisia juuria ja vain vahvistaa jaettavuus ehtoja., Että lemma sanoo, että jos polynomi tekijät Q, niin se myös tekijät Z tuotteena primitiivinen polynomi. Nyt mitään järkevää root-p/q vastaa tekijä tutkinto 1 Q polynomin, ja sen primitiivinen edustaja on sitten qx − p, olettaen, että p ja q ovat keskenään jaottomia. Mutta kaikki kerrannaiset Z, qx-p on johtava termi jaollinen q ja vakio termi jaollinen p, joka todistaa lausuman., Tämä väite osoittaa, että yleisesti ottaen mitään irreducible tekijä P voi olla, pitäisi olla integer kertoimia, ja johtava ja jatkuvasti kertoimia jakamalla vastaavat kertoimet P.