saatat muistaa algebra ja calculus, että toiminta voi olla yksi-yhteen ja päälle, ja nämä ominaisuudet liittyvät, onko toiminto on käännettävissä. Tarkastelemme nyt näitä tärkeitä ajatuksia. Edistyneen matematiikan, sana injective käytetään usein sijasta one-to-one, ja surjective sijaan käytetään päälle. Tässä tarkat määritelmät:

alla on määritelmän visuaalinen kuvaus 12.4., Pohjimmiltaan, injective tarkoittaa, että epätasa-elementtejä aina lähetetään eriarvoiseen elementtejä B. Surjective tarkoittaa, että jokainen elementti B-nuoli osoittaa se, että on, se on yhtä kuin f(a) joillekin a verkkotunnus f.

On olemassa neljä mahdollista injective/surjective yhdistelmiä, jotka funktio voi olla. Tämä on esitetty alla neljä toimintoa \(a \rightarrow b\). Ensimmäisen sarakkeen funktiot ovat injektoivia, toisen sarakkeen funktiot eivät ole injektiivisia. Ensimmäisen rivin funktiot ovat surjektiivisia, toisen rivin funktiot eivät.,

huomaamme ohimennen, että, mukaan määritelmät, toiminto on surjective, jos ja vain jos sen codomain vastaa sen alueella.

Miten näyttää funktion \(f : A \oikea nuoli: B\) on injective:

nämä kaksi lähestymistapaa, contrapositive on usein helpoin käyttää, erityisesti jos f on määritelty algebrallinen kaava. Tämä johtuu siitä, että contrapositive lähestymistapa alkaa yhtälö \(f(a) = f(a’)\) ja etenee yhtälö \(a = a’\). Algebrassa, kuten tiedätte, yhtälöiden kanssa on yleensä helpompi työskennellä kuin epätasa-arvoa.,

Miten näyttää funktion \(f : A \oikea nuoli: B\) on surjective:

Oletetaan, että \(b \B\).

Harjoitus \(\PageIndex{1}\)

Let \(A= \{1,2,3,4\}\) ja \(B = \{a,b,c\}\). Anna esimerkki funktion \(f : A \oikea nuoli: B\), joka ei ole injective eikä surjective.,

Exercise \(\PageIndex{2}\)

Exercise \(\PageIndex{3}\)

Exercise \(\PageIndex{4}\)

Exercise \(\PageIndex{5}\)

Exercise \(\PageIndex{6}\)

Exercise \(\PageIndex{7}\)

Exercise \(\PageIndex{8}\)

Exercise \(\PageIndex{9}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R}-\{5\}\) defined by \(f(x)= \frac{5x+1}{x-2}\) is bijective.

Exercise \(\PageIndex{10}\)

Prove the function \(f : \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}\) defined by \(f(x) = (\frac{x+1}{x-1})^{3}\) is bijective.,

Exercise \(\PageIndex{11}\)

Exercise \(\PageIndex{12}\)

Exercise \(\PageIndex{13}\)

Exercise \(\PageIndex{14}\)

Exercise \(\PageIndex{15}\)

Exercise \(\PageIndex{16}\)

Exercise \(\PageIndex{17}\)

Exercise \(\PageIndex{18}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) defined as \(f (n) = \frac{(-1)^{n}(2n-1)+1}{4}\) is bijective.