(2)

n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\ldots }

Waves can only form standing waves on this string if they have a wavelength that satisfies this relationship with L., Hvis bølger bevæger sig med hastighed v langs strengen, er frekvensen af de stående bølger ækvivalent begrænset til

f = v = = n v 2 L . {\displaystyle f={\frac {v}{\lambda }}={\frac {nv}{2L}}.}

den stående bølge med n = 1 svinger ved den grundlæggende frekvens og har en bølgelængde, der er dobbelt så lang som strengen. Højere heltal værdier af n svarer til former for svingning kaldet harmoniske eller overtoner. Enhver stående bølge på strengen vil have n + 1 noder, herunder de faste ender og n anti-noder.,

for At sammenligne dette eksempel er noder til beskrivelse af knudepunkter for stående bølger i uendelig længde streng, bemærk, at Ligningen (2) kan skrives som

λ = 4 L n {\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},} n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n=2,4,6,\ldots }

I denne variation af udtryk for den bølgelængde, n skal være endnu., Cross gange ser vi, at fordi L er en knude, det er et lige multiplum af en kvart bølgelængde,

L = n λ 4 , {\displaystyle L={\frac {n\lambda }{4}},} n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n=2,4,6,\ldots }

Dette eksempel viser en form for resonans, og de frekvenser, der producerer stående bølger kan blive henvist til som resonansfrekvenser.

stående bølge på en streng med en fast endEdit

dernæst overveje den samme streng af længde L, men denne gang er det kun fastsat til 0 = 0. Ved = = L er strengen fri til at bevæge sig i Y-retningen., For eksempel kan strengen være bundet ved = = L til en ring, der kan glide frit op og ned ad en stang. Strengen har igen lille dæmpning og drives af en lille drivkraft ved 0 = 0.

i dette tilfælde beskriver ligning (1) stadig det stående bølgemønster, der kan dannes på strengen, og strengen har den samme grænsebetingelser for y = 0 ved 0 = 0. Ved = = L, hvor strengen kan bevæge sig frit, skal der dog være en anti-node med maksimal amplitude af y. gennemgang af ligning (1), For = = L forekommer den største amplitude af y, når

sin ⁡ ( 2 L L λ) = 1., {\displaystyle \ sin \ venstre ({2\pi L \over \lambda }\højre)=1.}

dette fører til et andet sæt bølgelængder end i eksemplet med to faste ender. Her bølgelængden af de stående bølger er begrænset til

λ = 4 L n {\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},} n = 1 , 3 , 5 , … {\displaystyle n=1,3,5,\ldots }

Ækvivalent, hyppigheden er begrænset til

f = n v 4 L . {\displaystyle F={\frac {nv}{4L}}.}

Bemærk, at i dette eksempel tager n kun ulige værdier. Fordi L er en anti-node, er det et ulige multiplum af en kvart bølgelængde., Således har den grundlæggende tilstand i dette eksempel kun en fjerdedel af en komplet sinuscyklus-nul ved 0 = 0 og den første top ved. = L–den første harmoniske har tre fjerdedele af en komplet sinuscyklus og så videre.

dette eksempel viser også en type resonans, og de frekvenser, der producerer stående bølger, kaldes resonansfrekvenser.

stående bølge i et rørdit

overvej en stående bølge i et rør med længde L., Luften inde i røret tjener som medium for langsgående lydbølger rejser til højre eller venstre gennem røret. Mens den tværgående bølger på strengen fra de foregående eksempler variere i deres forskydning vinkelret på retningen af bølgebevægelse, de bølger, der rejser gennem luften i røret variere med hensyn til deres pres og langsgående forskydning langs retningen af bølgebevægelse., Bølgen forplantes ved skiftevis at komprimere og udvide luft i rørsegmenter, som fortrænger luften lidt fra sin hvileposition og overfører energi til nabosegmenter gennem de kræfter, der udøves af det vekslende høje og lave lufttryk. Ligninger, der ligner dem for bølgen på en streng, kan skrives til ændringen i trykpp på grund af en højre – eller venstre-rejse bølge i røret.,

Δ p R ( x , t ) = s max antal synd ⁡ ( 2 π-x λ − ω t ) , {\displaystyle \Delta p_{\text{R}}(x,t)=p_{\text{max}}\synd \left({2\pi x \over \lambda }-\omega-t\right),} Δ p L ( x , t ) = s max antal synd ⁡ ( 2 π-x λ + ω t ) , {\displaystyle \Delta p_{\text{L}}(x,t)=p_{\text{max}}\synd \left({2\pi x \over \lambda }+\omega-t\right),}

hvor

• pmax er presset amplitude eller den maksimale stigning eller et fald i lufttrykket på grund af hver bølge,
• ω er den angulære frekvens eller tilsvarende 2π gange frekvensen f,
• λ er bølgelængden af den bølge.,

Hvis identiske højre-og venstrebølger bevæger sig gennem røret, beskrives den resulterende superposition ved summen

Δ p (,, t)=. P R (., T)+. P L (., T ) = 2 p ma. sin ⁡ ( 2 π. λ ) cos. (t t). {\displaystyle \Delta p(x,t)=\Delta p_{\text{R}}(x,t)+\Delta p_{\text{L}}(x,t)=2p_{\text{max}}\synd \left({2\pi x \over \lambda }\right)\cos(\omega t).}

Bemærk, at denne formel for trykket er af samme form som ligning (1), så der dannes en stationær trykbølge, der er fastgjort i rummet og svinger i tide.,

Hvis enden af et rør er lukket, er trykket maksimalt, da den lukkede ende af røret udøver en kraft, der begrænser luftens bevægelse. Dette svarer til et tryk anti-node. Hvis rørets ende er åben, er trykvariationerne meget små, svarende til en trykknude. Den nøjagtige placering af tryknoden i en åben ende er faktisk lidt ud over rørets åbne ende, så rørets effektive længde med det formål at bestemme resonansfrekvenser er lidt længere end dens fysiske længde. Denne forskel i længde ignoreres i dette eksempel., Med hensyn til refleksioner reflekterer åbne ender delvist bølger tilbage i røret, hvilket gør det muligt at frigive noget energi i udeluften. Ideelt set afspejler lukkede ender hele bølgen tilbage i den anden retning.overvej først et rør, der er åbent i begge ender, for eksempel et åbent orgelrør eller en optager.,ds, randbetingelserne svarer til strengen med to faste ender,

Δ p ( 0 , t ) = 0 , {\displaystyle \Delta p(0,t)=0,} Δ p ( L , t ) = 2 p max synd ⁡ ( 2 π L λ ) cos ⁡ ( ω t ) = 0 , {\displaystyle \Delta p(L,t)=2p_{\text{max}}\synd \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\omega t)=0,}

, som kun forekommer, når bølgelængden af stående bølger er

λ = 2 L n {\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},} n = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}

eller ækvivalent, når frekvensen

f = n v 2 L {\displaystyle f={\frac {nv}{2L}},}

hvor v er hastigheden af lyd.,

Dernæst skal du overveje et rør, der er åbent og derfor har en trykknude ved 0 = 0 og lukket og derfor har en tryk-anti-knude ved. = L. eksempler inkluderer en flaske og en klarinet. Dette rør har grænsebetingelser, der er analoge med strengen med kun en fast ende. De stående bølger har bølgelænder begrænset til

λ = 4 L n {\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},} n = 1 , 3 , 5 , … , {\displaystyle n=1,3,5,\ldots ,}

eller tilsvarende hyppigheden af stående bølger er begrænset til

f = n v 4 L . {\displaystyle F={\frac {nv}{4L}}.,}

Bemærk, at for det tilfælde, hvor den ene ende er lukket, tager n kun ulige værdier ligesom i tilfældet med strengen, der kun er fastgjort i den ene ende.

indtil videre er bølgen skrevet med hensyn til dens tryk som en funktion af position and og tid., Alternativt kan bølgen skrives med hensyn til dens langsgående forskydning af luft, hvor luft i et segment af røret bevæger sig lidt frem og tilbage i direction-retningen, da trykket varierer, og bølgerne bevæger sig i en eller begge retninger. Ændringen i tryk andp og længdeforskydning s er relateret til

= − v v 2 ∂ s,,, {\displaystyle \Delta p=-\rho v^{2}{\frac {\partial s}{\partial.}},}

hvor is er luftens densitet., Med hensyn til længdeforskydning svarer lukkede ender af rør til knudepunkter, da luftbevægelsen er begrænset, og åbne ender svarer til anti-knudepunkter, da luften er fri til at bevæge sig. Et lignende, lettere at visualisere fænomen forekommer i langsgående bølger, der formerer sig langs en fjeder.

Vi kan også overveje et rør, der er lukket i begge ender. I dette tilfælde vil begge ender være tryk anti-noder eller tilsvarende begge ender vil være forskydning noder., Dette eksempel er analogt med det tilfælde, hvor begge ender er åbne, undtagen det stående bølgemønster har et phase 2 2 faseskift langs direction-retningen for at skifte placeringen af knuderne og anti-knuderne. For eksempel er den længste bølgelængde, der resonerer–den grundlæggende tilstand–igen dobbelt så lang som røret, bortset fra at rørets ender har trykanti-noder i stedet for tryknoder. Mellem enderne er der en trykknude., I tilfælde af to lukkede ender, bølgelængden er igen begrænset til at

λ = 2 L n {\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},} n = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}

og frekvensen er igen begrænset til at

f = n v 2 L . {\displaystyle F={\frac {nv}{2L}}.}

et Rubens ‘ rør giver en måde at visualisere trykvariationerne af de stående bølger i et rør med to lukkede ender.,

2D stående bølge med en rektangulær grænsedit

dernæst overveje tværgående bølger, der kan bevæge sig langs en todimensionel overflade inden for en rektangulær grænse af længde L.i direction-Retning og længde Ly i y-retning. Eksempler på denne type bølge er vandbølger i en pool eller bølger på et rektangulært ark, der er trukket stramt. Bølgerne fortrænger overfladen i direction-Retning, med defined = 0 defineret som højden af overfladen, når den stadig er.,

I to dimensioner og Kartesiske koordinater, den bølge ligning

∂ 2 z ∂ t 2 = c 2 ( ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 ) , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\right),}

hvor

• z(x,y,t) er forskydningen af overfladen,
• c er hastigheden af bølgen.

for at løse denne differentielle ligning, lad os først løse for sin Fourier − transformation, med

Z (,, y,,)=− -.. ((., y, T ) e-I ω t d t., {\displaystyle Z(x,y\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }z(x,y,t)e^{-jeg\omega t}dt.}

under Fourier-transformationen af bølgeligningen,

2 2 2 2 2 2 + 2 2 y y Y 2 = − 2 2 c 2. (., y , ω). {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}Z}{\partial y^{2}}}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}Z(x,y\omega ).}

Dette er et eigenvalue-problem, hvor frekvenserne svarer til egenværdier, der derefter svarer til frekvensspecifikke tilstande eller egenfunktioner. Specifikt er dette en form for Helmholt. – ligningen, og den kan løses ved hjælp af adskillelse af variabler., Antag

= = Y ( Y ) Y ( y ) . {\displaystyle= = Y (Y) Y (y).}

dividere Helmholt equation ligning med 1,

1 1 (.) ∂ 2. 2 2 2 + 1 y ( y) ∂ 2 y 2 y 2 + 2 2 c 2 = 0. {\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0.}

dette fører til to koblede ordinære differentialligninger. Term-udtrykket er lig med en konstant med hensyn til 1, som vi kan definere som

1 1 ( 1 ) ∂ 2 .2 2 2 = ( i k.) 2. {\displaystyle {\frac {1}{1 ())}} {\frac {\delvis ^{2} {} {\delvis.^{2}}}=(ik_ {{})^{2}.,}

løsning for ((.),

. (.) = A K. E I k. + + b k. e − i k… {\displaystyle X(x)=A_{k_{x}}e^{ik_{x}x}+B_{k_{x}}e^{-ik_{x}x}.}

denne dependence-afhængighed er sinusformet-minder Eulers formel – med konstanter AK and og BK.bestemt af grænsebetingelserne., Ligeledes, y sigt er lig med en konstant med hensyn til y, som vi kan definere som

1 Y ( y ) ∂ 2 Y ∂ y 2 = ( jeg k y ) 2 = k x 2 − ω 2 c 2 , {\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}=(ik_{y})^{2}=k_{x}^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}},}

og spredning forhold til denne bølge er derfor

ω = k x 2 + k y 2 . {\displaystyle \ omega =c{\s .rt {k_ {{}^{2}+k_{y}^{2}}}.}

løsning af differentialligningen for y-udtrykket,

Y ( Y ) = C K y E I k y y + d k y e − i k y y . {\displaystyle Y(y)=C_{k_{y}}e^{ik_{y}y}+D_{k_{y}}e^{-ik_{y}y}.,}

Multiplicere disse funktioner sammen og anvende den inverse Fourier transform, z(x,y,t) er en superposition af tilstande, hvor hver tilstand er produktet af sinusformede funktioner for x, y og t,

z ( x , y , t ) ∼ e ± i k k x x e ± i k k y y e ± jeg ω t . {\displaystyle z(x,y,t)\sim-e^{\pm ik_{x}x}e^{\pm ik_{y}y}e^{\pm jeg\omega t}.}

de konstanter, der bestemmer de nøjagtige sinusformede funktioner, afhænger af grænsebetingelserne og de oprindelige betingelser., For at se, hvordan grænsebetingelserne gælder, skal du overveje et eksempel som det ark,der er trukket stramt,hvor. (,, Y, t) skal være nul rundt om den rektangulære grænse. For dependence-afhængigheden skal vary (,, y, t) variere på en måde, at den kan være nul ved både 0 = 0 og = = L.for alle værdier af y og t.,tion, der opfylder denne grænse betingelse er,

synd ⁡ k x x , {\displaystyle \synd {k_{x}x},}

med kx begrænset til

k x = n π L x , n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle k_{x}={\frac {n\pi }{L_{x}}},\quad n=1,2,3,\dots }

Ligeledes, y afhængighed af z(x,y,t) skal være nul, på både y = 0 og y = Ly, som er tilfredse med

synd ⁡ k y y , k y = m π L y , m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \synd {k_{y}y},\quad k_{y}={\frac {m\pi }{L_{y}}},\quad m=1,2,3,\dots }

der Begrænser den bølge tal, at disse værdier også begrænser de frekvenser, der giver genlyd at

ω = c, π ( n-L-x ) 2 + ( m-L-y ) 2 ., {\displaystyle \omega =c\pi {\sqrt {\left({\frac {n}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {m}{L_{y}}}\right)^{2}}}.}

hvis de oprindelige betingelser for 0 (,, y,0) og dets tidsderivat ((,, y , 0) vælges , så t-afhængigheden er en cosinusfunktion, tager stående bølger for dette system form

. (., y, t ) = max ma. sin ⁡ (n π. L.) sin sin ( M y Y L y ) cos. (t t). {\displaystyle z(x,y,t)=z_{\text{max}}\synd \left({\frac {n\pi x}{L_{x}}}\right)\synd \left({\frac {m\pi y}{L_{y}}}\right)\cos \left(\omega-t\right).,} n = 1 , 2 , 3 , …, m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\dots \quad m=1,2,3,\dots }

Så, stående bølger inde dette faste rektangulære grænsen svinger i tid på visse resonansfrekvenser parametriserede af heltal n og m. Som de svinger i tid, at de ikke rejse, og deres rumlige variation er sinusformet i både x – og y-retninger, således at de opfylder randbetingelserne. Den grundlæggende tilstand, n = 1 og m = 1, har en enkelt antinode i midten af rektanglet., Varierende n og m giver komplicerede, men forudsigelige todimensionale mønstre af knuder og antinoder inde i rektanglet.bemærk fra dispersionsforholdet, at forskellige tilstande–hvilket betyder forskellige kombinationer af n og m–i visse situationer kan resonere med samme frekvens, selvom de har forskellige former for deres and – og y-afhængighed. For eksempel, hvis grænsen er firkantet, Lx = Ly, de tilstande, n = 1 og m = 7, n = 7 og m = 1 og n = 5 og m = 5 alle genlyd på

ω = c, π L x 50 . {\displaystyle \ omega ={\frac {C \ pi }{L_ {\}}} {\s .rt {50}}.}