alle regelmæssige enkle polygoner (en simpel polygon er en, der ikke skærer sig overalt) er konvekse. De, der har det samme antal sider, er også ens.

en n-sidet konveks regulær polygon betegnes med dens Schl .fli symbol {n}. For n < 3 har vi to degenererede tilfælde:

Monogon {1} degenereret i almindeligt rum. (De fleste myndigheder betragter ikke monogon som en sand polygon, dels på grund af dette, og også fordi formlerne nedenfor ikke virker, og dens struktur er ikke nogen abstrakt polygon.,) Digon {2}; en “dobbelt linje segment” degenerere i almindeligt rum. (Nogle myndigheder betragter ikke digon som en sand polygon på grund af dette.)

i visse sammenhænge vil alle de betragtede polygoner være regelmæssige. Under sådanne omstændigheder er det sædvanligt at droppe præfikset regelmæssigt. For eksempel skal alle ansigter af ensartet polyhedra være regelmæssige, og ansigterne beskrives simpelthen som trekant, firkant, Femkant osv.,

AnglesEdit

For en regelmæssige konvekse n-gon, hver indvendig vinkel er en foranstaltning af:

180 ( n − 2 ) n {\displaystyle {\frac {180(n-2)}{n}}} grader; ( n − 2 ) π n {\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}} radianer; eller ( n − 2 ) 2 n {\displaystyle {\frac {(n-2)}{2n}}} fuld sving,

, Som n tilgange uendelighed, den indre vinkel tilgange 180 grader. For en regulær polygon med 10.000 sider (en myriagon) er den indvendige vinkel 179.964.. Efterhånden som antallet af sider stiger, kan den indre vinkel komme meget tæt på 180., og polygonens form nærmer sig en cirkel., Polygonen kan dog aldrig blive en cirkel. Værdien af den indre vinkel kan aldrig blive nøjagtigt lig med 180., da omkredsen effektivt ville blive en lige linje. Af denne grund er en cirkel ikke en polygon med et uendeligt antal sider.

DiagonalsEdit

for en regelmæssig n-gon, der er indskrevet i en enhedsradiuscirkel, er produktet af afstande fra et givet toppunkt til alle andre hjørner (inklusive tilstødende hjørner og hjørner forbundet med en diagonal) lig med n.,

Point i planeEdit

For en almindelig simpel n-gon med circumradius R og afstande di fra et vilkårligt punkt i flyet til vertices, har vi

∑ i = 1 n d i 4 n + 3 R 4 = ( ∑ i = 1 n d i 2 n + R 2 ) 2 . {\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{jeg}^{4}}{n}}+3R^{4}=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{jeg}^{2}}{n}}+R^{2}\right)^{2}.,2 k {\displaystyle S_{n}^{(2m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}(S_{n}^{(2)}-R^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}} ,

og

S n ( 2 m ) = ( S, n ( 2 ) ) m + k vand = 1 eksterne m 2 henvisninger 1 2 k ( m 2 k ) ( 2 k, k ) ( S, n ( 4 ) − ( S-n – ( 2 ) ) 2 ) k ( S, n ( 2 ) ) m − 2 k {\displaystyle S_{n}^{(2m)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}(S_{n}^{(4)}-(S_{n}^{(2)})^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}} ,

, hvor m {\displaystyle m} er et positivt heltal, der er mindre end n {\displaystyle n} .,

Hvis L {\displaystyle L} er afstanden fra et vilkårligt punkt i flyet til barycentrum af en regulær n {\displaystyle n} -gon med circumradius R {\displaystyle R} , så

∑ i = 1 n d i 2 m = n ( ( R 2 + L 2 ) m + ∑ k = 1 eksterne m 2 henvisninger ( m 2 k ) ( 2 k, k ) R 2 k L 2 k ( R 2 + L 2 ) m − 2 k ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{jeg}^{2}=n((R^{2}+L^{2})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}L^{2k}(R^{2}+L^{2})^{m-2k})} ,

, hvor m {\displaystyle m} = 1,2,…, n {\displaystyle n} -1.,

Interiørpunkteredit

for en regelmæssig n-gon er summen af de vinkelrette afstande fra ethvert indre punkt til N-siderne n gange apothem:s. 72 (apothem er afstanden fra midten til enhver side). Dette er en generalisering af Viviani ‘ s sætning for N=3 tilfælde.,dem, a og område, En af regulære polygoner med n sider og circumradius 1, med base, b af et rektangel med samme areal – den grønne linje viser tilfældet n = 6

circumradius R fra centrum af en regulær polygon til et af de hjørner er relateret til side-længde s eller til apothem en by

F = r 2 sin ⁡ ( π n ) = a cos ⁡ ( π n ) {\displaystyle R={\frac {s}{2\synd \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}

For constructible polygoner, algebraisk udtryk for disse relationer eksisterer; se Bicentric polygon#Regulære polygoner.,

summen af perpendiculars fra en regelmæssig n-gon ‘ s knudepunkter til enhver linje tangent til circumcircle lig n gange circumradius.: P.73

summen af de kvadrerede afstande fra knudepunkter i en regelmæssig n-gon til ethvert punkt på sin circumcircle lig 2nR2 hvor R er circumradius.: P.73

summen af de kvadrerede afstande fra midtpunkterne på siderne af en regelmæssig n-gon til et hvilket som helst punkt på circumcircle er 2nR2 − ns2/4, Hvor s er sidelængden og R er circumradius.:p., 73

3 ( ∑ i = 1 n d i 2 ) 2 = 2 n ∑ i = 1 n d i 4 {\displaystyle 3(\sum _{i=1}^{n}d_{jeg}^{2})^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{jeg}^{4}} .

DissectionsEdit

Coxeter fastslår, at enhver zonogon (2m-gon, hvis modstående sider er parallelle, og af samme længde) kan deles op i ( n-2 ) {\displaystyle {\tbinom {n}{2}}} eller m(m-1)/2 parallelogrammer.Disse tilings er indeholdt som delmængder af knudepunkter, kanter og ansigter i retvinklede fremskrivninger m-terninger.,Dette gælder især for regelmæssige polygoner med jævnt mange sider, i hvilket tilfælde parallelogrammerne alle er rhombi.Listen OEIS: A006245 giver antallet af løsninger til mindre polygoner.,f er en konveks regulære n-sidet polygon under side s, circumradius R, apothem en, og omkredsen p er givet ved

A = 1 2 n s = 1 2 p = 1 4 n s 2 cot ⁡ ( π n ) = n 2 tan ⁡ ( π n ) = 1 2 n R 2 sin ⁡ ( 2 π n ) {\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\barneseng \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\synd \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)}

af alle n-gons med en given omkreds er den med det største område regelmæssigt.