elementær proofEdit
Antag P(p/)) = 0 for nogle coprime p,,::
p ( p.) = n ( p.) n + a N − 1 ( p.) n − 1 + + + a 1 ( p 1) + a 0 = 0. {\displaystyle P({\tfrac {p}{q}})\ =\ a_{n}({\tfrac {p}{q}})^{n}+a_{n-1}({\tfrac {p}{q}})^{n-1}+\cdots +a_{1}({\tfrac {p}{q}})+a_{0}\ =\ 0.}
for at rydde nævnere,
n p N + A n − 1 p n − 1 + + ⋯ + A 1 p.n − 1 + A 0. n = 0. {\displaystyle a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0.,}
skift af A0-termen til højre side og factoring ud p på venstre side producerer:
p ( a n p n − 1 + A n − 1 .p n − 2 + ⋯ + a 1. n − 1 ) = − A 0. n. {\displaystyle s\left(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}\right)=-a_{0}q^{n}.}
således deler p A0 .n. Men p er coprime til q og derfor tilnn, så ved Euclid ‘ s sig p skal opdele den resterende faktor a0.
På den anden side, at flytte et udtryk til højre side og factoring ud q på venstre side producerer:
q ( A n − 1 p n − 1 + A n − 2 .p n − 2 + ⋯ + A 0. n − 1 ) = − A n p n., {\displaystyle q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1}\right)=-a_{n}p^{n}.}
ræsonnement som før følger det, at.deler en.
Bevis ved hjælp af Gauss’ lemmaEdit
Skulle der være en nontrivial faktor dividere alle koefficienterne i et polynomium, så kan man dividere med den største fælles divisor af de koefficienter, så for at få et primitivt polynomium i den forstand, at Gauss ‘ s lemma; dette ændrer ikke ved det sæt af rationelle rødder og kun styrker delelighed betingelser., At lemma siger, at hvis de polynomielle faktorer i Q, så er det også faktorer i Z som et produkt af primitive polynomier. Nu svarer enhver rationel rod p / corresponds til en faktor i grad 1 i Pol i polynomet, og dets primitive repræsentant er derefter q. − p, forudsat at p og. er coprime. Men ethvert multiplum I of AF p. – p har førende term deleligt med and og konstant term deleligt med p, hvilket beviser udsagnet., Dette argument viser, at mere generelt kan enhver irreducibel faktor af P antages at have heltalskoefficienter og ledende og konstante koefficienter, der deler de tilsvarende koefficienter af P.