En måde at repræsentere Möbius strip indlejret i tre-dimensionelle Euklidiske rum er ved parametrering:

x ( u , v ) = ( 1 + v 2 cos ⁡ u 2 ) cos ⁡ u {\displaystyle x(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u} y ( u , v ) = ( 1 + v 2 cos ⁡ u 2 ) synd ⁡ u {\displaystyle y(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\synd u} z ( u , v ) = v 2 sin ⁡ u 2 {\displaystyle z(u,v)={\frac {v}{2}}\synd {\frac {u}{2}}} log ⁡ ( r ) synd ⁡ ( 1 2 θ ) = z cos ⁡ ( 1 2 θ ) ., {\displaystyle \log(r)\synd \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)=z\cos \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right).}

Bredeste isometrisk indlejring i 3-spaceEdit

Hvis en glat Möbius bånd i tre-plads er en rektangulær – det er, der er oprettet fra at identificere to modstående sider af en geometrisk rektangel med bøjning, men ikke strække overfladen – så er en sådan forankring er kendt for at være muligt, hvis billedformat for det rektangel, som er større end 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} , med de korte sider, der er identificeret., (For et mindre billedformat vides det ikke, om en glat indlejring er mulig.) Da billedformatet falder mod 3 {\displaystyle {\S .rt {3}}} , synes enhver sådan indlejring at nærme sig en form, der kan betragtes som en strimmel af tre ligesidede trekanter, foldet oven på hinanden for at besætte en ligesidet trekant.

Hvis mbbius-strimlen i tre rum kun er en gang kontinuerligt differentierbar (klasse C1), viser sætningen af Nash-Kuiper imidlertid, at der ikke findes nogen nedre grænse.,

En metode til at lave en Möbius strip fra en rektangulær strip for bred til at simpelthen twist og deltage (fx, et rektangel, som kun er en enhed, lang og en enhed bred) er først fold bredt retning frem og tilbage ved hjælp af et lige antal folder—en “harmonika fold”—så den foldede strimmel bliver smalle nok, at det kan være snoet og sluttede sig til, så meget som en enkelt lang-nok-striben kan samles. Med to folder, for eksempel, ville en 1 1 1 strimmel blive en 1 folded folded foldet strimmel, hvis tværsnit er i form af en ‘N’ og ville forblive en ‘N’ efter et halvt t .ist., Denne foldede strimmel, tre gange så lang som den er bred, ville være lang nok til derefter at slutte sig til enderne. Denne metode fungerer i princippet, men bliver upraktisk efter tilstrækkeligt mange folder, hvis der anvendes papir. Ved hjælp af normalt papir kan denne konstruktion foldes fladt, med alle lagene af papiret i et enkelt plan, men matematisk, om dette er muligt uden at strække overfladen af rektanglet, er det ikke klart.,

TopologyEdit

mbbius-båndet er en todimensionel kompakt manifold (dvs.en overflade) med grænse. Det er et standardeksempel på en overflade, der ikke er orienterbar. Faktisk er mbbius-strimlen indbegrebet af det topologiske fænomen nonorientability., Dette skyldes, at todimensionelle former (overflader) er de lavest dimensionelle former, for hvilke nonorientability er mulig, og mbbius-strimlen er den eneste overflade, der topologisk er et underrum af enhver ikke-orienterbar overflade. Som et resultat er enhver overflade ikke-orienterbar, hvis og kun hvis den indeholder et Mbbius-bånd som et underrum.

mbbius-strimlen er også et standardeksempel, der bruges til at illustrere det matematiske koncept for et fiberbundt. Specifikt er det en nontrivial bundt over cirklen S1 med dens fiber lig med enhedsintervallet, i = ., At se kun på kanten af mbbius-strimlen giver et ubehageligt to-punkts (eller22) bundt over S1.

Computer graphicsEdit

En simpel konstruktion af Möbius-striben, der kan bruges til at skildre det i computer grafik eller modellering pakker er:

• Tag et rektangulært strip. Drej det omkring et fast punkt ikke i sit plan. Ved hvert trin skal du også dreje strimlen langs en linje i dens plan (linjen, der deler strimlen i to) og vinkelret på den vigtigste orbitalradius. Overfladen, der genereres på en komplet revolution, er m .bius-strimlen.,
• tag en mbbius-strimmel og skær den langs midten af strimlen. Dette danner en ny strimmel, som er et rektangel forbundet ved at dreje den ene ende en hel tur. Ved at skære det ned i midten igen, danner dette to sammenlåsende hel-drejestrimler.

geometri af den åbne m .bius bandEdit

det kan konstrueres som en overflade med konstant positiv, negativ eller nul (Gaussisk) krumning., I tilfælde af negative og nul krumning, den Möbius-båndet kan være konstrueret som en (geodesically) komplet overflade, hvilket betyder, at alle geodesics (“lige linjer” på overfladen) kan udvides uendeligt i begge retninger.

Konstant negativ krumning:Ligesom flyet og de åbne flasken, den åbne Möbius-båndet indrømmer ikke kun et fuldstændigt metrisk af konstant krumning 0, men også en komplet måling af konstant negativ krumning, siger -1., En måde at se dette på er at begynde med den øverste halvdel af plan (Poincaré) model af den hyperbolske plan ℍ, nemlig ℍ = { (x, y) ∈ ℝ2 | y > 0} med Riemannian variabel givet ved (dx2 + dy2) / y2. De orienteringsbevarende isometrier af denne metriske er alle kortene f: ℍ.of af formen f ()): = (A. + B) / (C. + d), hvor A, B, c, d er reelle tal, der opfylder ad − bc = 1. Her er z et komplekst tal med Im ()) > 0, og vi har identificeret {med {. | /im (.) > 0} udstyret med den Riemannian metriske, der blev nævnt., Derefter gives en orienterings-reverserende isometri g af ℍ ved g ()):=−=, hvor. betegner det komplekse konjugat af.. disse fakta indebærer, at kortlægningen h:.. given givet af h (.): = -2. is er en orienterings-reverserende isometri af that, der genererer en uendelig cyklisk gruppe G isometrier. (Det kan udtrykkes som H ()) = (2 2i + + 0) / (0. − i/2 2), og dets firkant er isometrien H(H (()): = 4⋅,, som kan udtrykkes som (2. + 0) / (0. + 1 2 2).) Kvotienten ℍ / G af virkningen af denne gruppe kan let ses at være topologisk et mbbius-bånd., Men det er også nemt at kontrollere, at det er komplet og ikke-kompakt, med konstant negativ krumning lig med -1.

gruppen af isometrier af dette mbbius-bånd er 1-dimensionel og er isomorf til den specielle ortogonale gruppe så(2).

(konstant) nulkrumning:dette kan også konstrueres som en komplet overflade ved at starte med en del af Planet R2 defineret ved 0 y y 1 1 og identificere (0, 0) med (−,, 1) For alle in I R (realerne). Den resulterende metriske gør det åbne mbbius-bånd til en (geodesisk) fuldstændig flad overflade (dvs.Med Gauss-krumning lig med 0 overalt)., Dette er den eneste måling på mbbius-båndet, op til ensartet skalering, der er både flad og komplet.

gruppen af isometries af dette mbbius-bånd er 1-dimensionel og er isomorf til den ortogonale gruppe, så(2).

konstant positiv krumning:et Mbbius-bånd med konstant positiv krumning kan ikke være komplet, da det vides, at de eneste komplette overflader med konstant positiv krumning er kuglen og det projektive plan., Det projektive plan P2 med konstant krumning + 1 kan konstrueres som kvotienten af enhedssfæren S2 i R3 af det antipodale kort A: S2.S2, defineret af A (,, y,=) = (−., −Y,−)). Det åbne mbbius-bånd er homeomorf til det engang punkterede projektive plan, det vil sige P2 med et hvilket som helst punkt fjernet. Dette kan betragtes som det tætteste, at et mbbius-bånd med konstant positiv krumning kan komme til at være en komplet overflade: kun et punkt væk.

gruppen af isometrier af dette mbbius-bånd er også 1-dimensionel og isomorf til den ortogonale gruppe O(2).,

rummet af uorienterede linjer i planet er diffeomorf til det åbne mbbius-bånd. For at se hvorfor, lad L ()) angiver den linje gennem oprindelsen i en vinkel θ til den positive axis-akse. For hver L ()) der er familien P (.) af alle linjer i planet, der er vinkelret på L (.). Topologically er familien P ()) kun en linje(fordi hver linje i P ()) skærer linjen L (.) på kun et punkt). På denne måde, som increases stiger i intervallet 0.

gruppen af bijective lineære transformationer GL(2, R), i flyet til sig selv (reelle 2 × 2 matricer med ikke-nul-faktor) naturligt fremkalder bijections af plads linjer i flyet til sig selv, som udgør en gruppe af selvstændige homeomorphisms af plads linjer. Derfor udgør den samme gruppe en gruppe af selvhomeomorphisms af mbbius-båndet beskrevet i det foregående afsnit. Men der er ingen metrisk på linjens rum i flyet, der er invariant under virkningen af denne gruppe homomorphisms. I denne forstand har rummet af linjer i flyet ingen naturlig måling på den.,

Dette betyder, at Möbius-båndet har en naturlig 4-dimensional Lie gruppe af selvstændige homeomorphisms, givet ved GL(2, R), men denne høje grad af symmetri kan ikke blive udstillet som den gruppe af isometries af enhver variabel.

Mbbius bånd med runde boundaryEdit

kanten, eller grænsen, af en mbbius strimmel er homeomorf (topologisk ækvivalent) til en cirkel. Under de sædvanlige indlejringer af strimlen i det euklidiske rum, som ovenfor, er grænsen ikke en sand cirkel., Det er dog muligt at indlejre en mbbius-strimmel i tre dimensioner, så grænsen er en perfekt cirkel, der ligger i et eller andet plan. Se f.eks. figur 307, 308 og 309 i “geometri og fantasien”.

en meget mere geometrisk indlejring begynder med en minimal Klein-flaske nedsænket i 3-sfæren, som opdaget af Blaine La .son. Vi tager derefter halvdelen af denne Klein-flaske for at få ET m .bius-bånd indlejret i 3-kuglen (enhedssfæren i 4-rum)., Resultatet kaldes undertiden “sudanesisk Mbbius-Band”, hvor “sudanesisk” ikke henviser til landet Sudan, men til navnene på to topologer, Sue Goodman og Daniel Asimov. Anvendelse af stereografisk projektion til det sudanesiske band placerer det i tredimensionelt rum, som det kan ses nedenfor-en version på grund af George Francis kan findes her.

fra La .sons minimale Klein-flaske udleder vi en indlejring af båndet i 3-sfæren S3, der betragtes som en delmængde af C2, som er geometrisk den samme som R4., Vi kortlægger vinkler η, to til komplekse tal11 ,22 via

1 1 = sin i e E i {{\displaystyle ._ {1}=\sin \eta \,e^{i\varphi }} 2 2 = cos .η E I φ / 2. {\displaystyle z_{2}=\cos \eta \e^{i\varphi /2}.}

for at opnå en indlejring af mbbius-strimlen i R3 kortlægger man S3 til R3 via en stereografisk projektion. Projektionspunktet kan være ethvert punkt på S3, der ikke ligger på den indlejrede mbbius-strimmel (dette udelukker alle de sædvanlige projektionspunkter). Et muligt valg er { 1 / 2 i / 2 } {\displaystyle \left\{1/{\sqrt {2}},/i{\sqrt {2}}\right\}} ., Stereografiske fremskrivninger kort cirkler til cirkler og bevarer den cirkulære grænse af strimlen. Resultatet er en glat indlejring af mbbius-strimlen i R3 med en cirkulær kant og ingen selvkrydsninger.

det sudanesiske mbbius-bånd i tre-sfæren S3 er geometrisk et fiberbundt over en stor cirkel, hvis fibre er store halvcirkler. Det mest symmetriske billede af en stereografisk projektion af dette bånd i R3 opnås ved at bruge et projektionspunkt, der ligger på den store cirkel, der løber gennem midtpunktet af hver af halvcirklerne., Hvert valg af et sådant projektionspunkt resulterer i et billede, der er kongruent med ethvert andet. Men fordi en sådan projektion punkt ligger på den Möbius-båndet i sig selv, to aspekter af det billede, der er væsentligt forskellige fra sag til sag (illustreret ovenfor), hvor pointen er ikke, om bandet: 1) billedet i R3 er ikke den fulde Möbius-båndet, men snarere band med et point fjernet (fra dens midterlinie); og 2) billedet er unbounded – og som det bliver mere og mere langt fra oprindelsen af R3, der mere og mere ligner et fly., Men denne version af stereographic billede har en gruppe på 4 symmetrier i R3 (det er isomorphic til Klein 4-gruppe), sammenlignet med den afgrænsede version illustreret ovenfor har sin gruppe af symmetrier den unikke gruppe af orden 2. (Hvis alle symmetrier og ikke kun orienteringsbevarende isometrier af R3 er tilladt, fordobles antallet af symmetrier i hvert tilfælde.)

men den mest geometrisk symmetriske version af alt er det originale Sudanesiske mbbius-bånd i tre-sfæren S3, hvor dens fulde gruppe af symmetrier er isomorf til Lie-gruppen O(2)., Under en uendelig vigtighed (at kontinuum), dette er langt større end symmetri gruppe af enhver mulig indlejring af M .bius band i R3.

Projektiv geometryEdit

Ved hjælp af Projektiv geometri kan et åbent mbbius-bånd beskrives som sættet af løsninger til en polynomisk ligning. Tilføjelse af en polynomiel ulighed resulterer i en lukket mbbius band. Disse vedrører m .bius bands til geometri linje bundter og driften af sprænge i algebraisk geometri.

= {(A A , B B): {R R {{0 } } ., {\displaystyle =\{(\lambda A,\lambda B):\lambda \in \mathbf {R} \setminus \{0\}\}.}

en realisering af et åbent mbbius-bånd er givet ved sættet

M = {((,, y),) ∈ R 2 .R P 1 : A = = B y}. {\displaystyle M=\{((,, y),)\in \mathbf {R} ^{2}\gange \mathbf {Rp} ^{1}:A.=af\}.,} M ‘= { (x , y)) ∈ R 2 × R P 1 : A x = B y , B ≠ 0 } = { ( x , y , m ) ∈ R 3 : m x = y } , {\displaystyle {\begin{justeret}M’&=\{((x,y))\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=Ved,\ B\neq 0\}\\&=\{(x,y,m)\in \mathbf {R} ^{3}:mx=y\},\end{justeret}}}

hvor m svarer til A / B {\displaystyle A/B} .

Der er en realisering af den lukkede Möbius-båndet, som en lignende, men med en yderligere ulighed for at oprette en grænse:

N = { ( ( x , y)) ∈ R 2 × R P 1 : A x = B y , x 2 + y 2 ≤ 1 } ., {\displaystyle N=\{((x,y),)\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=By,\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}.}