for over 2000 år siden kom den græske matematiker Euclid med en liste over fem postulater, som han troede geometri skulle bygges på. En af dem, den femte, svarede til en erklæring, som vi alle er bekendt med: at vinklerne i en trekant tilføjer op til 180 grader. Dog, dette postulat synes ikke det er så indlysende, som de fire andre på Euclid ‘ s liste, så matematikere forsøgt at udlede det fra dem: at vise, at en geometri adlyde de første fire postulater nødvendigvis ville adlyde den femte., Deres kamp fortsatte i århundreder, men til sidst mislykkedes de. De fandt eksempler på geometrier, der ikke adlyder det femte postulat.
Sfærisk geometri
Billede: Lars H. Rohwedder. sfærisk geometri er geometri på en kugle. I sfærisk geometri den euklidiske ID.om en linje bliver en stor cirkel, det vil sige en cirkel af maksimal radius spænder lige omkring den fedeste del af kuglen. Det er ikke længere sandt, at summen af vinklerne i en trekant altid er 180 grader., Meget små trekanter vil have vinkler opsummering til kun lidt mere end 180 grader (fordi, fra perspektivet af en meget lille trekant, overfladen af en kugle er næsten flad). Større trekanter vil have vinkler opsummering til meget mere end 180 grader.
en sjov ting om, hvor lang tid det tog at opdage sfærisk geometri er, at det er geometrien, der holder på jordens overflade!, Men vi bemærker aldrig rigtig, fordi vi er så små sammenlignet med Jordens størrelse, at hvis vi tegner en trekant på jorden og måler dens vinkler, er det beløb, hvormed summen af vinklerne overstiger 180 grader, så lille, at vi ikke kan registrere det.sfæren har, hvad matematikere kalder positiv krumning, og det giver intuitiv mening., Men der er en anden geometri, der tager tingene i den anden retning:
Hyperbolsk geometri
Hyperbolsk geometri er ikke så let at visualisere, som sfærisk geometri, fordi det ikke kan være modelleret i tre-dimensionelle Euklidiske rum uden forvrængning. En måde at visualisere det kaldes Poincar disc disc.
tag en rund disk, som den, der er afgrænset af den blå cirkel i figuren til højre, og forestil dig en myr, der bor i den., I euklidisk geometri er den korteste vej mellem to punkter inde i denne disk langs en lige linje. I hyperbolsk geometri afstande er målt forskelligt, så den korteste vej er ikke længere sammen en Euklidisk lige linje, men langs buen af en cirkel, der opfylder grænsen af disken vinkelret på hinanden, som vist i rødt i figuren. En hyperbolsk myre ville opleve den lineære sti som en omvej-den foretrækker at bevæge sig langs buen i en sådan cirkel. en hyperbolsk trekant, hvis sider er buer af disse halvcirkler, har vinkler, der tilføjer op til mindre end 180 grader., Alle de sorte og hvide figurer i figuren til venstre er hyperbolske trekanter.
En konsekvens af denne nye hyperbolske variabel er, at grænsen kreds af disken er uendeligt langt væk fra det synspunkt af den hyperbolske ant. Dette skyldes, at metriske fordrejer afstande i forhold til den almindelige euklidiske .n. Stier, der ser den samme længde i den euklidiske metriske er længere i den hyperbolske metriske jo tættere de er på grænsecirklen., Figuren nedenfor viser en flise af det hyperbolske plan ved regelmæssige heptagoner. På grund af den forvrængede metriske heptagons er alle af samme størrelse i den hyperbolske metriske. Og som vi kan se myren skulle krydse uendeligt mange af dem for at komme til grænsen cirkel — det er uendeligt langt væk!
i modsætning til kuglen med dens positive krumning er det hyperbolske plan negativt buet., Meget små områder af det har samme type krumning som sadler: langs en retning ser de ud som toppen af en bjergryg, og langs en anden retning ser de ud som bunden af en dal.
billede oprettet af David .right.
hyperbolsk geometri kan se ud som en fantasifuld matematisk konstruktion, men den har virkelige anvendelser. Når Einstein udviklet sin særlige relativitetsteori i 1905 fandt han, at symmetrier af hyperbolsk geometri var præcis, hvad han havde brug for at formulere teorien., I dag mener matematikere, at hyperbolsk geometri kan hjælpe med at forstå store netværk som Facebook eller internettet.
Du kan læse mere om hyperbolsk geometri i ikke-euklidisk geometri og Indras perler.