Vis Mobile Varsel Vis Alle Noter Skjule Alle Noter

afsnit 5-3 : Dot-produkt

Nogle gange kaldes dot-produktet det skalære produkt. Dot-produktet er også et eksempel på et indre produkt, og så kan du lejlighedsvis høre det kaldes et indre produkt.

Her er nogle egenskaber ved dot-produktet.

egenskaber

beviserne for disse egenskaber er for det meste “beregningsmæssige” beviser, og derfor vil vi kun lave et par af dem og overlade resten til dig at bevise.,

Bevis på \(\vec u\centerdot \left( {\vec v + \vec w} \right) = \vec u\centerdot \vec v + \vec u\centerdot \vec w\)

Bevis : Hvis \(\vec v\centerdot \vec v = 0\) så er \(\vec v = \vec 0\)

så kan Vi have følgende sætning.

sætning

bevis

formlen fra denne sætning bruges ofte ikke til at beregne et prikprodukt, men i stedet for at finde vinklen mellem to vektorer., Bemærk også, at mens skitsen af de to vektorer i beviset er for todimensionale vektorer, er sætningen gyldig for vektorer af enhver dimension (så længe de har samme dimension selvfølgelig).

lad os se et eksempel på dette.

dot-produktet giver os en meget flot metode til at bestemme, om to vektorer er vinkelrette, og det vil give en anden metode til at bestemme, hvornår to vektorer er parallelle. Bemærk også, at vi ofte bruger udtrykket ortogonalt i stedet for vinkelret.

nu, hvis to vektorer er ortogonale, ved vi, at vinklen mellem dem er 90 grader., Fra \(\eqref{eq:eq2}\) dette fortæller os, at hvis to vektorer er ortogonale, så

\

Ligeledes, hvis to vektorer er parallelle, så er vinklen mellem dem er enten 0 grader (peger i samme retning) eller 180 grader (peger i den modsatte retning). Endnu en gang ved hjælp af \(\e .ref{e.: e .2}\) ville dette betyde, at et af følgende skulle være sandt.

\

Der er flere gode anvendelser af dot-produktet, som vi også skal se på.,

Fremskrivninger

Der er en dejlig formel til at finde projektionen af \(\vec b\) til \(\vec en\). Her er det,

Bemærk, at vi også skal være meget forsigtige med notation her. Projektionen af \(\vec a\) på \(\vec b\) er givet ved

\

Her er et eksempel.

til sammenligningsformål lad os også gøre det omvendt.

Som vi kan se fra de to foregående eksempler, er de to fremskrivninger forskellige, så vær forsigtig.,

Direction Cosines

Denne applikation af dot-produktet kræver, at vi er i tredimensionelt rum i modsætning til alle de andre applikationer, vi har kigget på til dette punkt.

Her er en skitse af en vektor og retningsvinklerne.

formlerne for retningen cosinus er,

lad os verificere det første punktprodukt ovenfor. Vi overlader resten til dig at bekræfte.

\

Her er et par gode fakta om retningen cosinus.

lad os gøre et hurtigt eksempel involverer retning cosinus.