Du måske kan huske fra algebra og calculus, at en funktion kan være en-til-en og på, og disse egenskaber er relateret til, hvorvidt funktionen er kommandolinjeredskab. Vi gennemgår nu disse vigtige ideer. I avanceret matematik bruges ordet injective ofte i stedet for en-til-en, og surjektiv bruges i stedet for onto. Her er de nøjagtige definitioner:

nedenfor er en visuel beskrivelse af Definition 12.4., I det væsentlige, injective betyder, at ulige elementer i En altid få sendt til ulige elementer i B. Surjective betyder, at hvert element i B har en pil, der peger til det, det er, det er lig med f(a) for nogle en i det domæne af f.

Der er fire mulige injective/surjective kombinationer, at en funktion kan være i besiddelse af. Dette er illustreret nedenfor for fire funktioner \(a \ rightarro.B\). Funktioner i den første kolonne er injective, dem i den anden kolonne er ikke injective. Funktioner i den første række er surjektive, dem i den anden række er ikke.,

Vi bemærker i forbifarten, at ifølge definitionerne er en funktion surjektiv, hvis og kun hvis dens codomain svarer til dens rækkevidde.

Sådan vises en funktion \(f : a \rightarro.B\) er injicerbar:

af disse to tilgange er det kontrapositive ofte det nemmeste at bruge, især hvis f er defineret af en algebraisk formel. Dette skyldes, at den kontrapositive tilgang starter med ligningen \(F(A) = f(A’)\) og fortsætter til ligningen \(a = a’\). I algebra, som du ved, er det normalt lettere at arbejde med ligninger end uligheder.,

Sådan vises en funktion \(f : a \rightarro.B\) er surjektiv:

Antag \(B \I B\).

Motion \(\PageIndex{1}\)

Lad \(A= \{1,2,3,4\}\), og \B = \{a,b,c\}\). Giv et eksempel på en funktion \(f : a \rightarro.B\), der hverken er injicerbar eller surjektiv.,

Exercise \(\PageIndex{2}\)

Exercise \(\PageIndex{3}\)

Exercise \(\PageIndex{4}\)

Exercise \(\PageIndex{5}\)

Exercise \(\PageIndex{6}\)

Exercise \(\PageIndex{7}\)

Exercise \(\PageIndex{8}\)

Exercise \(\PageIndex{9}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{R}-\{2\} \rightarrow \mathbb{R}-\{5\}\) defined by \(f(x)= \frac{5x+1}{x-2}\) is bijective.

Exercise \(\PageIndex{10}\)

Prove the function \(f : \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}-\{1\}\) defined by \(f(x) = (\frac{x+1}{x-1})^{3}\) is bijective.,

Exercise \(\PageIndex{11}\)

Exercise \(\PageIndex{12}\)

Exercise \(\PageIndex{13}\)

Exercise \(\PageIndex{14}\)

Exercise \(\PageIndex{15}\)

Exercise \(\PageIndex{16}\)

Exercise \(\PageIndex{17}\)

Exercise \(\PageIndex{18}\)

Prove that the function \(f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) defined as \(f (n) = \frac{(-1)^{n}(2n-1)+1}{4}\) is bijective.