(2)

n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\ldots }

Waves can only form standing waves on this string if they have a wavelength that satisfies this relationship with L., Pokud vlny cestují rychlostí v podél řetězce, pak je ekvivalentně frekvence stojících vln omezena na

f = v λ = n v 2 l. {\displaystyle f={\frac {v} {\lambda }} = {\frac {nv}{2l}}.}

stojatá vlna s n = 1 osciluje na základní frekvenci a má vlnovou délku, která je dvojnásobkem délky řetězce. Vyšší celočíselné hodnoty n odpovídají režimům oscilace nazývaným harmonické nebo podtexty. Každá stojatá vlna na řetězci bude mít N + 1 uzly včetně pevných konců a n Anti-uzlů.,

porovnat tento příklad je uzlů pro popis uzlů pro stojaté vlnění v nekonečnou délku řetězce, všimněte si, že Rovnice (2) lze přepsat jako

λ = 4 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},} n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n=2,4,6,\ldots }

V této variantě výraz pro vlnovou délku, n musí být sudé., Kříž násobení vidíme, že, protože Jsem je uzel, je sudý násobek čtvrtiny vlnové délky,

L = n λ 4 , {\displaystyle L={\frac {n\lambda }{4}},} n = 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle n=2,4,6,\ldots }

Tento příklad ukazuje typ rezonance a frekvencí, které vytvářejí stojaté vlnění může být odkazoval se na jako rezonanční frekvence.

stojící vlna na řetězci s jedním pevným endeditem

dále zvažte stejný řetězec délky L, ale tentokrát je fixován pouze na x = 0. Při X = L se řetězec může volně pohybovat ve směru y., Například řetězec může být vázán na X = L na kroužek, který může volně klouzat nahoru a dolů po pólu. Řetězec má opět malé tlumení a je poháněn malou hnací silou při x = 0.

v tomto případě rovnice (1) stále popisuje vzorec stojaté vlny, který se může tvořit na řetězci, a řetězec má stejný hraniční stav y = 0 při x = 0. Nicméně, v x = L, kde řetězec se může volně pohybovat tam by měla být anti-uzel s maximální amplituda y. Přezkoumání Rovnice (1), pro x = L největší amplituda y nastane, když

sin ⁡ ( 2 π L λ ) = 1., {\displaystyle \ sin \ left ({2 \ pi L \ over \ lambda } \ right)=1.}

to vede k jiné sadě vlnových délek než v příkladu dvou pevných konců. Tady, vlnová délka stojaté vlny je omezeno

λ = 4 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},} n = 1 , 3 , 5 , … {\displaystyle n=1,3,5,\ldots }

Ekvivalentně, frekvence je omezena na

f = n v, 4 L . {\displaystyle f={\frac {nv}{4L}}.}

Všimněte si, že v tomto příkladu n trvá pouze liché hodnoty. Protože L je anti-uzel, je to lichý násobek čtvrtinové vlnové délky., Tak základní režim v tomto příkladu má pouze jednu čtvrtinu kompletní sine cyklu–nula pro x = 0 a první vrchol v x = L–první harmonická má tři čtvrtiny kompletní sine cyklu, a tak dále.

tento příklad také demonstruje Typ rezonance a frekvence, které produkují stojaté vlny, se nazývají rezonanční frekvence.

stojatá vlna v trubceedit

zvažte stálou vlnu v trubce délky L., Vzduch uvnitř potrubí slouží jako médium pro podélné zvukové vlny pohybující se doprava nebo doleva potrubím. Zatímco příčné vlny na provázku od předchozích příkladů liší v jejich posunutí kolmá na směr pohybu vln, vlny cestují přes vzduch v potrubí se liší, pokud jde o jejich tlak a podélné posunutí ve směru pohybu vln., Vlna se šíří tím, že střídavě stlačuje a rozpíná vzduch v segmenty potrubí, které znečišťuje vzduch, mírně ze své klidové polohy a přenáší energii do okolních segmentů přes silami vyvíjený střídající se vysoké a nízké tlaky vzduchu. Rovnice připomínající rovnice pro vlnu na řetězci mohou být napsány pro změnu tlaku Δp v důsledku pravé nebo levé vlny v potrubí.,

Δ p R ( x , t ) = p max sin ⁡ ( 2 π x λ − ω t ) , {\displaystyle \Delta p_{\text{R}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right),} Δ p L ( x , t ) = p max sin ⁡ ( 2 π x λ + ω t ) , {\displaystyle \Delta p_{\text{L}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right),}

, kde

• pmax je tlak amplituda nebo maximální zvýšení nebo snížení tlaku vzduchu kvůli každé vlně,
• ω je úhlová frekvence nebo ekvivalentně 2π násobek frekvence f,
• λ je vlnová délka vlny.,

je-Li totožný vpravo a vlevo-cestování vlny cestovat přes potrubí, výsledná superpozice je popsán součtem

Δ p ( x , t ) = Δ p R ( x , t ) + Δ p L ( x , t ) = 2 p max sin ⁡ ( 2 π x λ ) cos ⁡ ( ω t ) . {\displaystyle \Delta p(x,t)=\Delta p_{\text{R}}(x,t)+\Delta p_{\text{L}}(x,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)\cos(\omega t).}

Všimněte si, že tento výraz pro tlak je stejný tvar jako Rovnice (1), takže stacionární tlakové vlny formy, které je pevné v prostoru a pohybuje se v čase.,

Pokud je konec potrubí uzavřen, tlak je maximální, protože uzavřený konec trubky působí silou, která omezuje pohyb vzduchu. To odpovídá tlakovému uzlu. Pokud je konec trubky otevřený, tlakové změny jsou velmi malé, což odpovídá tlakovému uzlu. Přesné umístění tlakového uzlu na otevřeném konci je ve skutečnosti mírně za otevřeným koncem trubky, takže účinná délka potrubí za účelem stanovení rezonančních frekvencí je o něco delší než její fyzická délka. Tento rozdíl v délce je v tomto příkladu ignorován., Pokud jde o odrazy, otevřené konce částečně odrážejí vlny zpět do potrubí, což umožňuje uvolnění určité energie do vnějšího vzduchu. V ideálním případě uzavřené konce odrážejí celou vlnu zpět v opačném směru.

nejprve zvažte trubku, která je otevřená na obou koncích, například otevřenou trubku nebo rekordér.,ds, okrajové podmínky jsou obdobné jako řetězec s dva pevné konce,

Δ p ( 0 , t ) = 0 , {\displaystyle \Delta p(0,t)=0,} Δ p ( L , t ) = 2 p max sin ⁡ ( 2 π L λ ) cos ⁡ ( ω t ) = 0 , {\displaystyle \Delta p(L,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\omega t)=0,}

, která se vyskytuje pouze, když vlnová délka stojaté vlny je

λ = 2 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {2}{n}},} n = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}

nebo ekvivalentně, když frekvence je

f = n v 2 L , {\displaystyle f={\frac {n}{2}},}

, kde v je rychlost zvuku.,

Next, zvažte potrubí, které je otevřené, a proto má tlak uzel v x = 0 a uzavřený, a proto má tlak, anti-uzel v x = L. Příklady zahrnují láhev a klarinet. Tato trubka má hraniční podmínky analogické s řetězcem pouze s jedním pevným koncem. Jeho stojaté vlny mají vlnové délky omezeno

λ = 4 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},} n = 1 , 3 , 5 , … , {\displaystyle n=1,3,5,\ldots ,}

nebo ekvivalentně frekvence stojaté vlny je omezeno

f = n v, 4 L . {\displaystyle f={\frac {nv}{4L}}.,}

Všimněte si, že pro případ, kdy je jeden konec uzavřen, bere n pouze liché hodnoty, stejně jako v případě řetězce fixovaného pouze na jednom konci.

vlna byla dosud zapsána z hlediska jejího tlaku jako funkce polohy x a času., Alternativně může být vlna zapsána z hlediska jejího podélného posunu vzduchu, kde se vzduch v segmentu trubky pohybuje mírně tam a zpět ve směru x, protože tlak se mění a vlny se pohybují buď nebo oběma směry. Změny tlaku Δp a podélné posunutí y jsou spojeny tak,

Δ p = − ρ v 2 ∂ y ∂ x,, {\displaystyle \Delta p=-\rho v^{2}{\frac {\partial}{\partial x}},}

, kde ρ je hustota vzduchu., Pokud jde o podélný posun, uzavřené konce trubek odpovídají uzlům, protože pohyb vzduchu je omezen a otevřené konce odpovídají proti uzlům, protože vzduch se může volně pohybovat. Podobný, snadněji vizualizovatelný jev se vyskytuje v podélných vlnách šířících se podél pružiny.

můžeme také zvážit trubku, která je uzavřena na obou koncích. V tomto případě, oba konce budou tlakové Anti-uzly nebo rovnocenně oba konce budou posunutí uzly., Tento příklad je analogický s případem, kdy jsou oba konce otevřené, s výjimkou vzoru stojaté vlny má fázový posun π⁄2 podél směru x pro posun umístění uzlů a anti-uzlů. Například nejdelší vlnová délka, která rezonuje-základní režim-je opět dvakrát delší než délka potrubí, s výjimkou toho, že konce potrubí mají místo tlakových uzlů tlakové uzly. Mezi konci je jeden tlakový uzel., V případě, že dva uzavřené konce, vlnová délka je opět omezena na

λ = 2 L n , {\displaystyle \lambda ={\frac {2}{n}},} n = 1 , 2 , 3 , … , {\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}

a frekvence je opět omezena na

f = n v 2 L . {\displaystyle f={\frac {nv}{2l}}.}

Rubensova trubice poskytuje způsob, jak vizualizovat změny tlaku stojících vln v trubici se dvěma uzavřenými konci.,

2D stojatých vln s obdélníkovým boundaryEdit

Next, zvažte, příčné vlny, které se může pohybovat podél dvourozměrný povrch, uvnitř obdélníkové hranice délka Lx v x-směru a délky Ly v y-směru. Příklady tohoto typu vlny jsou vodní vlny v bazénu nebo vlny na obdélníkovém listu, který byl vytažen napnutý. Vlny vytlačují povrch ve směru z, přičemž z = 0 je definována jako výška Povrchu, když je stále.,

Ve dvou dimenzích a Kartézských souřadnic, vlnová rovnice je

∂ 2 z ∂ t 2 = c 2 ( ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 ) , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\right),}

, kde

• z(x,y,t) je posunutí povrchu,
• c je rychlost vlny.

Chcete − li vyřešit tuto diferenciální rovnici, nejprve vyřešíme její Fourierovu transformaci S

Z ( x, y , ω) = ∫ − ∞ ∞ Z ( x , y , t ) e-i ω t d t ., {\displaystyle Z(x,y,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }z(x,y,t)e^{-i\omega t}dt.}

přičemž Fourierova transformace vlnové rovnice,

∂ 2 Z ∂ x 2 + ∂ 2 Z y y 2 = – ω 2 c 2 Z (x , y , ω ) . {\displaystyle {\frac {\parciální ^{2}z} {\parciální x^{2}}} + {\frac {\parciální ^{2}z} {\parciální y^{2}}}=-{\frac {\omega ^{2}}{C^{2}}}z (x, y, \ omega).}

Toto je vlastní číslo problém, kde si frekvence odpovídají, že vlastní čísla pak odpovídají frekvence-zvláštní režimy nebo funkce. Konkrétně se jedná o formu Helmholtzovy rovnice a lze ji vyřešit pomocí oddělení proměnných., Předpokládejme

Z = X (x ) Y (y). {\displaystyle Z=X (x)Y (y).}

dělení Helmholtzovy rovnice Z,

1 X ( x ) ∂ 2 X ∂ x 2 + 1 Y (y ) ∂ 2 Y y y 2 + ω 2 c 2 = 0. {\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0.}

to vede ke dvěma spojeným běžným diferenciálním rovnicím. Termín x se rovná konstantě vzhledem k x, kterou můžeme definovat jako

1 X ( x ) ∂ 2 X ∂ x 2 = (i k x ) 2 . {\displaystyle {\frac {1}{x (x)}} {\frac {\parciální ^{2}x} {\parciální x^{2}}} = (ik_{x})^{2}.,}

řešení pro X (x),

X ( x) = a k x e i k x + b k x e − i k x . {\displaystyle X(x)=A_{k_{x}}e^{ik_{x}x}+B_{k_{x}}e^{-ik_{x}x}.}

tato x-závislost je sinusová-připomínající Eulerův vzorec-s konstantami Akx a Bkx určenými okrajovými podmínkami., Podobně, y termín se rovná konstantní s ohledem na y, které můžeme definovat jako

1 Y ( y ) ∂ 2 Y ∂ y 2 = ( i k y ) 2 = k x 2 − ω 2 c 2 , {\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}=(ik_{y})^{2}=k_{x}^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}},}

a disperzní vztah pro tuto vlnu je proto,

ω = c k x 2 + k y 2 . {\displaystyle \ omega =c {\sqrt {k_{x}^{2} + k_{y}^{2}}.}

řešení diferenciální rovnice pro termín y,

Y (y ) = C K Y e i k Y + D K y e − i k y . {\displaystyle Y(y)=C_{k_{y}}e^{ik_{y}y}+D_{k_{y}}e^{-ik_{y}y}.,}

Vynásobením těchto funkcí dohromady a použitím inverzní Fourierovy transformace, z(x,y,t) je superpozicí režimů, kdy každý režim je produkt sinusové funkce pro x, y a t,

z ( x , y , t ) ∼ e ± i k x x e ± i k y y e ± i ω t . {\displaystyle z(x,y,t)\sim e^{\pm ik_{x}x}e^{\pm ik_{y}y}e^{\pm i\omega t}.}

konstanty, které určují přesné sinusové funkce, závisí na okrajových podmínkách a počátečních podmínkách., Vidět, jak okrajových podmínek použít, zvažte příklad jako list, který byl vytáhl napnutý, kde z(x,y,t) musí být nulová všude kolem obdélníkové hranice. Pro závislost x se z(x, y,t) musí lišit způsobem,který může být nulový jak u x = 0, tak u X = Lx pro všechny hodnoty y a T.,vání, který splňuje tato okrajová podmínka je,

sin ⁡ k x x , {\displaystyle \sin {k_{x}x},}

s kx omezeno

k x = n π L, x , n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle k_{x}={\frac {n\pi }{L_{x}}},\quad n=1,2,3,\dots }

Podobně, y závislost z(x,y,t) musí být nulová na obou y = 0 a y = Ly, který je spokojen s tím,

sin ⁡ k y y k y = m π L y , m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \sin {k_{y}y},\quad k_{y}={\frac {m\pi }{L_{y}}},\quad m=1,2,3,\dots }

Omezení vlna čísla pro tyto hodnoty také omezuje frekvence, na které rezonují,

ω = c, π ( n-L x ) 2 + ( m L y ) 2 ., {\displaystyle \omega =c\pi {\sqrt {\left({\frac {n}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {m}{L_{y}}}\right)^{2}}}.}

Pokud počáteční podmínky z(x,y,0) a jeho časové derivace ż(x,y,0) jsou voleny tak, t-závislost je kosinus funkce, pak stojaté vlny, pro tento systém mít podobu

z ( x , y , t ) = z max sin ⁡ ( n π x L x ) sin ⁡ ( m π y L y ) cos ⁡ ( ω t ) . {\displaystyle z(x,y,t)=z_{\text{max}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {m\pi y}{L_{y}}}\right)\cos \left(\omega t\right).,} n = 1 , 2 , 3 , … m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\dots \quad m=1,2,3,\dots }

Takže, stojaté vlnění uvnitř této pevné obdélníkové hranice oscilovat v čase v určitých rezonančních frekvencí parametrizované na celá čísla n a m. Jak se pohybovat v čase, nejsou cestovní a jejich prostorových změn je sinusový obou x a y-pokyny takové, že splňují okrajové podmínky. Základní režim, n = 1 A m = 1, má jednu antinodu uprostřed obdélníku., Různé n A m dává složité, ale předvídatelné dvourozměrné vzory uzlů a antinod uvnitř obdélníku.

Poznámka: z disperzního vztahu, že v určitých situacích, různé režimy–význam různých kombinací z n a m–může rezonovat na stejné frekvenci, i když mají různé tvary pro jejich x – a y-závislost. Například pokud je hranice čtvercová, Lx = Ly, režimy n = 1 A m = 7, n = 7 a m = 1 a n = 5 A m = 5 Všechny rezonují při

ω = c π l x 50 . {\displaystyle \ omega ={\frac {c \ pi }{L_{x}}} {\sqrt {50}}.}