Základní proofEdit
Předpokládejme, že P(p/q) = 0 pro nějaké coprime p, q ∈ ℤ:
P ( p q ) = n ( p q ) n + n − 1 ( p q ) n − 1 + ⋯ + 1 ( p q ) + a 0 = 0. {\displaystyle P({\tfrac {p}{q}})\ =\ a_{n}({\tfrac {p}{q}})^{n}+a_{n-1}({\tfrac {p}{q}})^{n-1}+\cdots +a_{1}({\tfrac {p}{q}})+a_{0}\ =\ 0.}
vymazat jmenovatele,
n p n + a n − 1 p n − 1 q + ⋯ + A 1 p q n-1 + a 0 q n = 0. {\displaystyle a_{n}p^{n} + a_{n-1}p^{n-1}q+ \ cdots +a_{1}PQ^{n-1}+a_{0}q^{n} = 0.,}
Posunutí a0 výraz na pravé straně a vytknutí p na levé straně produkuje:
p ( n p n − 1 + n − 1 q p n − 2 + ⋯ + 1 q n − 1 ) = − 0 q n . {\displaystyle p\left(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}\right)=-a_{0}q^{n}.}
p tedy rozděluje a0qn. Ale p je koprime na q, a proto na qn, takže Euclidův lemma p musí rozdělit zbývající faktor a0.
Na druhou stranu, přesun na termín na pravé straně a vytknutí q na levé straně produkuje:
q ( n − 1 p n − 1 + n − 2 q p n − 2 + ⋯ + 0 q n − 1 ) = − n p n ., {\displaystyle q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1}\right)=-a_{n}p^{n}.}
uvažování jako dříve, z toho vyplývá, že q rozděluje.
Důkaz pomocí Gauss‘ lemmaEdit
měl By tam být netriviální faktor dělení všechny koeficienty polynomu, pak můžeme vydělit největší společný dělitel koeficientů tak, aby se získal primitivní polynom ve smyslu Gaussova lemmatu; to nic nemění sada racionální kořeny, a to pouze posiluje dělitelnost podmínek., To lemma říká, že pokud polynomiální faktory v Q, pak to také faktory v Z jako produkt primitivních polynomů. Teď nějaké racionální kořen p/q odpovídá faktor stupeň 1 v Q polynomu a jeho primitivní zástupce je pak qx − p, za předpokladu, že p a q jsou coprime. Ale každý násobek v Z qx-p má vedoucí termín dělitelný q a konstantní termín dělitelný p, což dokazuje prohlášení., Tento argument ukazuje, že více obecně, nějaké ireducibilní faktor P lze předpokládat, že mají celočíselné koeficienty, a přední a konstantní koeficienty vydělením odpovídající koeficienty P.