všechny běžné jednoduché polygony (jednoduchý polygon je ten, který se nikde neprotíná) jsou konvexní. Ti, kteří mají stejný počet stran, jsou také Podobní.

n-oboustranný konvexní pravidelný mnohoúhelník je označen symbolem Schläfli {n}. Pro n < 3 máme dva degenerované případy:

Monogon {1} degenerovat v běžném prostoru. (Většina úřadů nepovažuje monogon za skutečný polygon, částečně kvůli tomu, a také proto, že níže uvedené vzorce nefungují a jeho struktura není struktura abstraktního polygonu.,) Digon {2};“ dvouřádkový segment “ degeneruje v běžném prostoru. (Některé úřady nepovažují digon za skutečný polygon kvůli tomu.)

v určitých kontextech budou všechny uvažované polygony pravidelné. Za takových okolností je obvyklé vynechat předponu pravidelně. Například všechny tváře jednotné polyhedry musí být pravidelné a tváře budou popsány jednoduše jako trojúhelník, čtverec, pětiúhelník atd.,

AnglesEdit

Pro pravidelný konvexní n-úhelník, každý vnitřní úhel má velikost:

180 ( n − 2 ) n {\displaystyle {\frac {180(n-2)}{n}}} stupňů; ( n − 2 ) π n {\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}} radiánech; nebo ( n − 2 ) 2 n {\displaystyle {\frac {(n-2)}{2n}}} plné otáčky,

Jak se n blíží nekonečnu, vnitřní úhel se blíží 180 stupňů. Pro pravidelný mnohoúhelník s 10 000 stranami (myriagon) je vnitřní úhel 179 964°. Jak se počet stran zvyšuje, vnitřní úhel se může přiblížit 180° a tvar mnohoúhelníku se blíží tvaru kruhu., Polygon se však nikdy nemůže stát kruhem. Hodnota vnitřního úhlu se nikdy nemůže rovnat přesně 180°, protože obvod by se účinně stal přímkou. Z tohoto důvodu kruh není polygon s nekonečným počtem stran.

DiagonalsEdit

Pro pravidelného n-úhelníku vepsaného do jednotkové-poloměr kruhu, produkt vzdálenosti z daného vrcholu do všech ostatních vrcholů (včetně přilehlé vrcholy a vrcholy spojeny diagonální) se rovná n.,

Body v planeEdit

Na pravidelné jednoduchý n-úhelník s circumradius R a vzdálenosti di z libovolný bod v rovině vrcholy, máme

∑ i = 1 n d i 4 n + 3, R 4 = ( ∑ i = 1 n d i 2 n + R 2 ) 2 . {\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}}{n}}+3R^{4}=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}}{n}}+R^{2}\right)^{2}.,2 k {\displaystyle S_{n}^{(2)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}(S_{n}^{(2)} R^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}} ,

a

S, n ( 2 m ) = ( S n ( 2 ) ) m + voda k = 1 ⌊ m 2 ⌋ 1 2 k ( m 2 k ) ( 2 k k ) ( S n ( 4 ) − ( S n ( 2 ) ) 2 ) k ( S, n ( 2 ) ) m − 2 k {\displaystyle S_{n}^{(2)}=(S_{n}^{(2)})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}(S_{n}^{(4)}-(S_{n}^{(2)})^{2})^{k}(S_{n}^{(2)})^{m-2k}} ,

, kde m {\displaystyle m} je kladné celé číslo menší než n {\displaystyle n} .,

Pokud se L {\displaystyle L} je vzdálenost, z libovolný bod v rovině těžiště pravidelného n {\displaystyle n} -gon s circumradius R {\displaystyle R} , pak

∑ i = 1 n d i 2 m = n ( ( R 2 + L 2 ) m + ∑ k = 1 ⌊ m 2 ⌋ ( m 2 k ) ( 2 k. k ) R 2 k L 2 k ( R 2 + L 2 ) m − 2 k ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n((R^{2}+L^{2})^{m}+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}L^{2k}(R^{2}+L^{2})^{m-2k})} ,

, kde m {\displaystyle m} = 1,2,…, n {\displaystyle n} -1.,

Vnitřní pointsEdit

Pro pravidelný n-gon, součet kolmých vzdáleností od jakéhokoliv interiéru bod na n stran je n krát apothem:p. 72 (apothem, že vzdálenost od středu k žádné straně). Toto je zobecnění vivianiho věty pro případ n=3.,je, a oblasti, z pravidelný mnohoúhelník o n stranách a circumradius 1, se základnou, b obdélníku s stejné oblasti – zelená křivka ukazuje případ n = 6

circumradius R od středu pravidelný mnohoúhelník na jeden z vrcholů souvisí s boční délka s nebo apothem s tím,

R = s 2 sin ⁡ ( π n ) = a cos ⁡ ( π n ) {\displaystyle R={\frac {s}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}

vytvořeny polygony, algebraické výrazy pro tyto vztahy existují; viz Bicentric polygon#Pravidelné mnohoúhelníky.,

součet z svislicemi z pravidelného n-úhelníku vrcholy na každé trati tečně k circumcircle se rovná n krát circumradius.:p. 73

součet vzdáleností od vrcholů pravidelného n-úhelníku do libovolného bodu na jeho circumcircle rovná 2nR2, kde R je poloměr opsané kružnice:p.73

součet čtverců vzdáleností od středy stran pravidelného n-úhelníku, aby se žádný bod na circumcircle je 2nR2 − ns2/4, kde s je délka strany a R je poloměr opsané kružnice:p., 73

3 ( ∑ i = 1 n d i 2 ) 2 = 2 n ∑ i = 1 n d i 4 {\displaystyle 3(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2})^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}} .

DissectionsEdit

Coxeter uvádí, že každý zonogon (2m-gon, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné a stejně dlouhé) může být rozčleněna do ( n 2 ) {\displaystyle {\tbinom {n}{2}}} nebo m(m-1)/2 rovnoběžníky.Tyto obklady jsou obsaženy jako podmnožiny vrcholů, hran a ploch v ortogonálních projekcích m-kostky.,Zejména to platí pro pravidelné polygony s rovnoměrně mnoha stranami, v tomto případě jsou rovnoběžníky všechny kosočtverce.Seznam OEIS: A006245 udává počet řešení pro menší polygony.,f konvexní pravidelného n-úhelníku s boční s, circumradius R, apothem a a obvodu p je dána tím,

A = 1 2 n s = 1 2 p = 1 4 n s 2 dětská postýlka ⁡ ( π n ) = n 2 tan ⁡ ( π n ) = 1 2 n R 2 sin ⁡ ( 2 π n ) {\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}n^{2}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)}

všech n-gons s daném obvodu, s největší plocha je pravidelné.