Jeden způsob, jak reprezentovat möbiova páska vložená do tří-dimenzionální Euklidovský prostor je parametrizace:

x ( u , v ) = ( 1 + v 2 cos ⁡ u 2 ) cos ⁡ u {\displaystyle x(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\, protože u} y ( u , v ) = ( 1 + v 2 cos ⁡ u 2 ) sin ⁡ u {\displaystyle y(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u} z ( u , v ) = v 2 sin ⁡ u 2 {\displaystyle z(u,v)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}}} log ⁡ ( r ) sin ⁡ ( 1 2 θ ) = z cos ⁡ ( 1 2 θ ) ., {\displaystyle \log(r)\sin \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)=z\cos \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right).}

co Nejširší izometrické vkládání v 3-spaceEdit

Pokud je hladký Möbius strip, ve tři-prostor je obdélníkový jedno – to je, vytvořené z identifikace dvou protilehlých stranách geometrické obdélník s ohýbání, ale ne strečink povrchu – pak takové zakotvení je známo, že je možné v případě, že poměr stran obdélníku je větší než 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} , s čím kratší strany identifikovány., (Pro menší poměr stran není známo, zda je možné hladké vkládání. A ) jako poměr klesá k 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} , žádné takové vkládání zdá se, přístup, tvar, který může být myšlenka jako pruh ze tří rovnostranných trojúhelníků, složené na vrcholu jednoho jiný obsadit rovnostranný trojúhelník.

Pokud je möbiova páska v tři-prostor je pouze jednou spojitě diferencovatelné (třídy C1), nicméně, pak věta Nash-Kuiperova ukazuje, že žádný dolní odhad existuje.,

způsob výroby möbiova páska z obdélníkové pásy příliš široký, aby jednoduše otočte a připojte se (např. obdélník bloku je pouze jedna dlouhá a jedna jednotka široký) je první telefon se širokým směru tam a zpět pomocí sudý počet záhybů—“akordeon záhyb“—tak, že složený pás se stává natolik úzké, že to může být zkroucené a připojil se, stejně jako jeden dlouhý-dost pásy mohou být spojeny. Se dvěma záhyby, například, 1 × 1 proužek by se stal 1 × ⅓ složený pás, jehož průřez je ve tvaru “ N „a zůstane“ N “ po půl twist., Tento složený pás, třikrát tak dlouho, dokud je široký, by byl dostatečně dlouhý, aby se pak připojil na koncích. Tato metoda funguje v zásadě, ale stává se nepraktickým po dostatečně mnoha záhybech, pokud se používá papír. Pomocí normální papír, tuto konstrukci lze sklopit, všechny vrstvy papíru v jedné rovině, ale matematicky, zda je to možné bez natahování povrch obdélníku, není jasné.,

TopologyEdit

pás Möbius je dvourozměrný kompaktní rozdělovač (tj. povrch) s hranicí. Je to standardní příklad povrchu, který není orientovatelný. Ve skutečnosti je pás Möbius ztělesněním topologického jevu neorientovatelnosti., Je to proto, že dvojrozměrné tvary (plochy) jsou nejnižší-dimenzionální tvary, pro které nonorientability je to možné, a möbiova páska je jen povrch, který je topologicky podprostor každý nonorientable povrchu. Výsledkem je, že jakýkoli povrch je neorientovatelný, pokud a pouze pokud obsahuje pásmo Möbius jako subprostor.

pás Möbius je také standardním příkladem používaným k ilustraci matematického konceptu svazku vláken. Konkrétně se jedná o netriviální svazek nad kruhem S1 s vláknem rovným jednotkovému intervalu, i = ., Při pohledu pouze na okraj pásu Möbius dává netriviální dvoubodový (nebo Z2) svazek nad S1.

Počítač graphicsEdit

jednoduchá konstrukce möbiova páska, která může být použita, aby se vykreslují v počítačové grafice nebo modelování balíčků je:

• Vezměte obdélníkový proužek. Otočte jej kolem pevného bodu, který není v jeho rovině. Na každém kroku také otočte pás podél čáry ve své rovině (čára, která rozděluje pás na dva) a kolmo k hlavnímu orbitálnímu poloměru. Povrch vytvořený na jedné úplné revoluci je pás Möbius.,
• vezměte Möbius pás a nakrájejte ho podél středu pásu. To tvoří nový pás, což je obdélník spojený otočením jednoho konce celé zatáčky. Tím, že jej znovu odříznete uprostřed, vytvoří se dva vzájemně propojené celotáčkové proužky.

geometrie otevřeného Möbius bandEdit

může být konstruována jako povrch konstantního pozitivního, negativního nebo nulového (Gaussovského) zakřivení., V případě záporného a nulového zakřivení může být pásmo Möbius konstruováno jako (geodeticky) úplný povrch, což znamená, že všechny geodetické („přímky“ na povrchu) mohou být prodlouženy na neurčito v obou směrech.

konstantní negativní zakřivení: stejně jako rovina a otevřený válec připouští otevřené pásmo Möbius nejen úplnou metriku konstantního zakřivení 0, ale také úplnou metriku konstantního negativního zakřivení, řekněme -1., Jeden způsob, jak vidět to je začít s horní polorovině (Poincaré) model hyperbolické rovině, ℍ, a to ℍ = { (x, y) ∈ ℝ2 | y > 0} s Riemannova metrika dána (dx2 + dy2) / y2. Orientační izometrie této metriky jsou všechny mapy f: → → ℍ tvaru f(z) := (az + b) / (cz + d), kde a, b, c, d jsou reálná čísla splňující ad − bc = 1. Tady z je komplexní číslo s Im(z) > 0, a identifikovali jsme ℍ s {z ∈ ℂ | Im(z) > 0} obdařen Riemannova metrika, která byla zmíněna., Pak jednoho orientace-couvací izometrické zobrazení g ℍ je dána vztahem g(z) := −z, kde z značí číslo komplexně sdružené k z. Tyto skutečnosti naznačují, že mapování h : ℍ → ℍ dána tím, že h(z) := -2⋅z je orientační-couvací isometry ℍ, který generuje nekonečné cyklické skupiny G isometries. (To může být vyjádřena jako h(z) = (√2i z + 0) / (0z − v/√2), a jeho náměstí je izometrické zobrazení h(h(z)) := 4⋅z, který může být vyjádřen jako (2z + 0) / (0z + 1⁄2).) Kvocientní ℍ / G působení této skupiny lze snadno považovat za topologicky skupinu Möbius., Je však také snadné ověřit, že je kompletní a nekompaktní, s konstantním negativním zakřivením rovným -1.

skupina izometrií tohoto möbiova pásma je 1-dimenzionální a je izomorfní pro speciální ortogonální skupinu SO(2).

(konstantní) nulové zakřivení:toto může být také konstruováno jako úplný povrch, počínaje částí roviny R2 definovanou 0 ≤ y ≤ 1 a identifikací (x, 0) s (−x, 1) pro všechny x v R (reals). Výsledná metrika činí otevřený möbiusový pás do (geodeticky) úplného rovného povrchu(tj. s Gaussovým zakřivením rovným 0 všude)., Toto je jediná metrika na pásmu Möbius, až po jednotné škálování, která je plochá i úplná.

skupina izometrií tohoto möbiova pásma je 1-dimenzionální a isomorfní k ortogonální skupině SO(2).

Konstantní pozitivní zakřivení:Möbius kapela konstantní kladnou křivost nemůže být kompletní, protože je známo, že pouze kompletní plochy konstantní pozitivní zakřivení jsou oblasti a projektivní roviny., Projektivní rovina P2 konstantního zakřivení +1 může být konstruována jako kvocient jednotky koule S2 v R3 pomocí antipodální mapy A: S2 → S2, definované a (x, y, z) = (−x, −y, −z). Otevřené Möbius kapela je homeomorphic k jednou propíchnutý projektivní rovině, to znamená, že P2 se některý bod odstraněn. To lze považovat za nejbližší, že Möbius band konstantního pozitivního zakřivení se může dostat k úplnému povrchu: jen o jeden bod dál.

skupina izometrií tohoto möbiova pásma je také 1-dimenzionální a izomorfní k ortogonální skupině O (2).,

prostor neorientovaných čar v rovině je diffeomorfní do otevřeného möbiova pásma. Abychom viděli proč, nechť l (θ) označuje čáru přes původ v úhlu θ k kladné ose x. Pro každý L(θ) je rodina P(θ) všech čar v rovině, které jsou kolmé na L(θ). Topologicky je rodina P (θ) jen čára(protože každý řádek v P(θ) protíná čáru L (θ) v jediném bodě). Tímto způsobem, jak se θ zvyšuje v rozmezí 0 ° ≤ θ < 180°, představuje čára l (θ) hodnotu řádku odlišných čar v rovině., Ale když θ dosáhne 180°, L (180°) je totožný s L(0), a tak rodiny P(0°) A P(180°) kolmých čar jsou také identické rodiny. Linka L (0°) se však vrátila k sobě, protože l (180°) směřovala opačným směrem. Každý řádek v rovině odpovídá právě jeden řádek v nějaké rodinné P(θ), pro přesně jeden θ, pro 0° ≤ θ < 180°, a P(180°) je totožný s P(0°), ale vrátí se ukázal v opačném směru. Tím je zajištěno, že prostor všech linek v rovině – unie L(θ) pro 0° ≤ θ ≤ 180° – je otevřený Möbius pás.,

skupina bijektivní lineární transformace GL(2, R) v rovině k sobě (skutečné 2 × 2 matice s nenulovým determinantem) přirozeně vyvolává bijections prostoru přímek v rovině k sobě, které tvoří skupinu self-homeomorphisms prostoru linky. Proto stejná skupina tvoří skupinu self-homeomorfismů pásma Möbius popsaného v předchozím odstavci. Ale v prostoru linií v rovině není žádná metrika, která je invariantní pod působením této skupiny homeomorfismů. V tomto smyslu nemá prostor čar v rovině žádnou přirozenou metriku.,

To znamená, že Möbius kapela má přírodní 4-dimenzionální Lež skupiny self-homeomorphisms, dána GL(2, R), ale tento vysoký stupeň symetrie nemůže být vystaven jako skupina isometries nějaké metriky.

Möbius band s kulatým hranemedit

okraj, nebo hranice, Möbius pásu je homeomorfní (topologicky ekvivalentní) do kruhu. Pod obvyklými vloženími pásu v euklidovském prostoru, jak je uvedeno výše, hranice není skutečný kruh., Je však možné vložit Möbius pás ve třech rozměrech tak, aby hranice byla dokonalým kruhem ležícím v nějaké rovině. Viz například čísla 307, 308 a 309 „geometrie a představivost“.

mnohem geometričtější vkládání začíná minimální Kleinovou lahví ponořenou do 3-koule, jak objevil Blaine Lawson. Pak jsme si polovině tohoto Kleinova láhev, aby si Möbius pásmo vložené v 3-sphere (koule jednotky ve 4-prostoru)., Výsledek je někdy nazýván „Súdánský Möbius Band“, kde „súdánské“ odkazuje ne do země Súdán, ale jména dvou topologists, Sue Goodmanová a Daniel Asimova. Použití stereografické projekce na súdánskou kapelu ji umístí do trojrozměrného prostoru, jak je vidět níže-verzi kvůli Georgi Francisovi najdete zde.

z Lawsonovy minimální Kleinovy láhve odvodíme vložení pásma do 3-koule S3, považované za podmnožinu C2, která je geometricky stejná jako R4., Mapujeme úhly η, φ na složitá čísla z1, Z2 přes

z 1 = sin η η e i φ {\displaystyle Z_{1}= \ sin \ eta \, e^{i \ varphi }} z 2 = cos η η e i φ / 2 . {\displaystyle z_{2}= \ cos \ eta \, e^{i \ varphi / 2}.}

Chcete-li získat vložení Möbius pásu v R3 jeden mapuje S3 na R3 přes stereografickou projekci. Projekčním bodem může být jakýkoli bod na S3, který neleží na vloženém möbiusově proužku (to vylučuje všechny obvyklé projekční body). Jednou z možných možností je { 1 / 2,i/2 } {\displaystyle \left\{1/{\sqrt {2}}, i / {\sqrt {2}}\right\}} ., Stereografické projekce mapují kruhy do kruhů a zachovávají kruhovou hranici pásu. Výsledkem je hladké zabudování pásu Möbius do R3 s kruhovým okrajem a bez samočinných průsečíků.

Súdánské Möbius kapela na tři oblasti S3 je geometricky vláken, svazek více než velký kruh, jehož vlákna jsou velké půlkruhy. Nejvíce symetrický obraz stereografické projekce tohoto pásma do R3 se získá pomocí projekčního bodu, který leží na tomto velkém kruhu, který prochází středem každého půlkruhu., Každá volba takového projekčního bodu vede k obrazu, který je shodný s jakýmkoli jiným. Ale protože takový průmět bodu leží na Möbius kapela sama, dva aspekty obrazu výrazně liší od případu (na obrázku výše), kde bod není na kapelu: 1) obrázek v R3 není plná Möbius kapela, ale kapela s jedním bodem odstraněny (od jeho osy); a 2) obraz je nespoutaný – a tak to bude stále daleko od původu R3, stále více se blíží letadlo., Přesto tato verze stereografický obraz má skupinu 4 symetrie v R3 (to je izomorfní k Klein 4-skupina), ve srovnání s omezená verze je uvedeno výše, mají své skupiny symetrie unikátní skupina o pořadí 2. (Pokud jsou povoleny všechny symetrie a nejen izometry R3 zachovávající orientaci, počet symetrií se v každém případě zdvojnásobí.)

Ale nejvíce geometricky symetrické verze je původní Súdánské Möbius kapela ve třech-koule S3, kde jeho plné skupina symetrií je izomorfní na Lež skupiny O(2)., S nekonečnou mohutnost (kontinua), toto je daleko větší než symetrie skupina případné zakotvení Möbius kapela v R3.

Projektivní geometryEdit

Pomocí projektivní geometrie, otevřené Möbius kapely lze popsat jako sadu řešení polynomiální rovnice. Přidání polynomiální nerovnosti vede k uzavřenému pásmu Möbius. Ty se týkají möbiusových pásem s geometrií svazků linií a provozem foukání v algebraické geometrii.

= {(λ a, λ B): λ λ R {{0}., {\displaystyle = \ {(\lambda a, \ lambda B): \lambda \ in \ mathbf {R} \ setminus \ {0\}\}.}

realizace otevřeného pásma Möbius je dána sadou

m = { ( ( x , y ) , ) ∈ R 2 × r P 1 : a x = b y } . {\displaystyle M= \ {((x, y),) \ in \ mathbf {R} ^{2} \ times \ mathbf {RP} ^{1}: Ax=by\}.,} M ‚= { ( ( x , y)) ∈ R 2 × R P 1 : x = B, y , B ≠ 0 } = { ( x , y , m ) ∈ R 3 : m x = y } , {\displaystyle {\begin{aligned}M’&=\{((x,y), z)\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=O,\ B\neq 0\}\\&=\{(x,y,m)\in \mathbf {R} ^{3}:mx=y\},\end{aligned}}}

, kde m odpovídá A / B {\displaystyle A/B} .

existuje realizace uzavřeného pásma Möbius jako podobné sady , ale s další nerovností pro vytvoření hranice:

N = { ( ( x, y),) ∈ R 2 × R P 1 : a x = B y, x 2 + y 2 ≤ 1 } ., {\displaystyle N=\{((x,y),)\in \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {RP} ^{1}:Ax=By,\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}.}